Le sto studiando ora... (eq differenziali)
Se io ho un esercizio del genere:
$y^('') - 2y^(') - 3y = 0$
E poi le seguenti possibili risposte:
a) $2e^x cos(2x)$
b) $2e^x -3sin(2x)$
c) $Ae^(3x) + 3e^(-x)$
d) $e^(-x) cos(x) + c$
Vi chiedo, a voi esperti, c'é un "trucchetto" per trovare la soluzione partendo dalle proposte stesse?
Se c'é mi spiegate qual é? Come si fa?
$y^('') - 2y^(') - 3y = 0$
E poi le seguenti possibili risposte:
a) $2e^x cos(2x)$
b) $2e^x -3sin(2x)$
c) $Ae^(3x) + 3e^(-x)$
d) $e^(-x) cos(x) + c$
Vi chiedo, a voi esperti, c'é un "trucchetto" per trovare la soluzione partendo dalle proposte stesse?
Se c'é mi spiegate qual é? Come si fa?
Risposte
basta vedere le radici dell'equazione caratteristica associata
CiaO!
ehm, si, non ho ancora confidenza..
Questa conviene risolverla con $y=e^(ax)$ giusto?
Sono queste le radici?
(Fammi decollare anche nell'argomento delle eq differenziali Luca!)
ehm, si, non ho ancora confidenza..
Questa conviene risolverla con $y=e^(ax)$ giusto?
Sono queste le radici?
(Fammi decollare anche nell'argomento delle eq differenziali Luca!)
Ma questa penso di saperla risolvere, ma fai finta che non la so risolvere... (Fai finta eh...)
Ci posso ficcare dentro in qualche modo le soluzioni? Come si fa?
Ci posso ficcare dentro in qualche modo le soluzioni? Come si fa?
Questa la trovo con $a^2 - 2a - 3 = 0$ trovo $a_(1,2)$ e poi trovo l'integrale generale che la rappresenta, giusto?
poi:
$c_(1) e^((a_1)x) + c_(2) e^((a_2)x)$
poi:
$c_(1) e^((a_1)x) + c_(2) e^((a_2)x)$
Se devi trovare la soluzione giusta fra più alternative, puoi anche sostituire le soluzioni nell'equazione; è un metodo meccanico, lungo e noioso, direi anche che non serve a niente (se non a fare le derivate), ma alla soluzione si arriverebbe comunque.
"Giova411":
Questa la trovo con $a^2 - 2a - 3 = 0$ trovo $a_(1,2)$ e poi trovo l'integrale generale che la rappresenta, giusto?
poi:
$c_(1) e^((a_1)x) + c_(2) e^((a_2)x)$
giusto, quando a_1 e a_2 sono reali distinte
La sol mi sembra c) con $c_1 = A$ e $c_2 = 3$. O no?
"Tipper":
Se devi trovare la soluzione giusta fra più alternative, puoi anche sostituire le soluzioni nell'equazione; è un metodo meccanico, lungo e noioso, direi anche che non serve a niente (se non a fare le derivate), ma alla soluzione si arriverebbe comunque.
Ecco, grazie, questo discorso mi mette curiosità.
Ok che non conviene, ma potrebbe essere una verifica e, magari, è utile quando non si sa lavorare al meglio con le eq differenziali.
Mi faresti vede come si fa?
"Giova411":
La sol mi sembra c) con $c_1 = A$ e $c_2 = 3$. O no?
giusto;
per la sostituzione basta che calcoli derivata prima, seconda e poi sostituisci nell'eq. diff. vedendo se soddisfa l'identità
Ma la scelta di mettere $A$ e $3$ è stata fatta a caso? Possono esserci infiniti numeri $R$?
L'alternativa a) era $2e^x\cos(2x)$, allora poni $y=2 e^x \cos(2x)$ e lo sostituisci in $y''-2y'-3y=0$.
Si tratta quindi di calcolare derivate prima e seconda di $2e^x\cos(2x)$ e metterle nell'equazione.
È un po' come nelle equazioni algebriche: se ho $5x+5=0$, e arrivo alla soluzione $x=(-1)$, per verificarne la correttezza posso sosituire tale valore nell'equazione iniziale, ottenendo $5(-1)+5=0$, cioè $0=0$, ok.
Si tratta quindi di calcolare derivate prima e seconda di $2e^x\cos(2x)$ e metterle nell'equazione.
È un po' come nelle equazioni algebriche: se ho $5x+5=0$, e arrivo alla soluzione $x=(-1)$, per verificarne la correttezza posso sosituire tale valore nell'equazione iniziale, ottenendo $5(-1)+5=0$, cioè $0=0$, ok.
in teoria la sol dovrebbe dipendere da 2 costanti arbitrarie A e B, ma poi si trova che B=3 soddisfa l'equaz. diff.
Che significa che B=3 soddisfa l'eq diff? Non me lo spiego ancora.
Ok Raga, ci sono sulla questione di sostituire e verificare l'eq.
GRAZIEEEEEEEE
Ma ancora quel B=3 non l'ho capito, è un vincolo da soddisfare?
GRAZIEEEEEEEE
Ma ancora quel B=3 non l'ho capito, è un vincolo da soddisfare?
$f=Ae^(3x)+3e^(-x)$
$f'=3Ae^(3x)-3e^(-x)$
$f''=9Ae^(3x)+3e^(-x)$
ora sostituisco nell'eq diff:
$9Ae^(3x)+3e^(-x)-2(3Ae^(3x)-3e^(-x))-3(Ae^(3x)+3e^(-x))=0$
come vedi l'identità è soddisfatta $AA AinRR$
$f'=3Ae^(3x)-3e^(-x)$
$f''=9Ae^(3x)+3e^(-x)$
ora sostituisco nell'eq diff:
$9Ae^(3x)+3e^(-x)-2(3Ae^(3x)-3e^(-x))-3(Ae^(3x)+3e^(-x))=0$
come vedi l'identità è soddisfatta $AA AinRR$
prova a lasciare B generico nell'espressione di f e svolgi tutti i conti
"luca.barletta":
$f=Ae^(3x)+3e^(-x)$
$f'=3Ae^(3x)-3e^(-x)$
$f''=9Ae^(3x)+3e^(-x)$
ora sostituisco nell'eq diff:
$9Ae^(3x)+3e^(-x)-2(3Ae^(3x)-3e^(-x))-3(Ae^(3x)+3e^(-x))=0$
come vedi l'identità è soddisfatta $AA AinRR$
Si si, questo l'ho capito, OTTIMO.
Ma quella costanre scelta $ c_2= 3 $? perché 3 e non MMMMille? (come direbbe l'ing. Cane..)
la sol con B=3 è una delle infinite soluzioni possibili; quella generica è con B libero
"luca.barletta":
prova a lasciare B generico nell'espressione di f e svolgi tutti i conti
Ok, ho letto ora!
Che grandi cose si possono imparare in 10 minuti!!
GRAZIE
(ma sicuro stasera arriverò con altri dubbi... "I DUBBI DEL GIO!" ... Non anticipo nulla però...)
"luca.barletta":
la sol con B=3 è una delle infinite soluzioni possibili; quella generica è con B libero
Capito pure questo,
più chiaro di così... Manco il mio ideale di Prof. CEPU potrebbe far di meglio!
PS: il pallazzo sta ancora in piedi... Barcolla un pochetto ma...
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