Le sfere in $\mathbb{R}^m$ sono insiemi compatti
Dal libro di analisi che sto leggendo, viene proposta questa dimostrazione per la compattezza della sfera:
Non riesco veramente a capire cosa vuole mostrare da quando introduce la funzione:
$$(x^1,...,x^m)\mapsto {(x^1)}^2+...+{(x^k)}^2-{(x^{k+1})}^2-...-{(x^m)}^2$$
in poi.
Io l'avrei dimostrato così:
1. le sfere sono insiemi chiusi perché preso un punto di accumulazione $\mathbf{x}_0$ per l'insieme $S(\mathbf{0},r)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^m|f(\mathbf{x}):=(x^1)^2+...+(x^m)^2=r\}$, dalla continuità della funzione $f$ si ha che:
$$f(\mathbf{x}_0)=f\left(\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}\mathbf{x}\right)=\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x})=\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}r=r \Rightarrow \mathbf{x}_0 \in S(\mathbf{0},r)$$
2. le sfere sono insiemi limitati perché:
$$\sup_{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in S(\mathbf{0},r)}d(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2)\leq \sup_{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in S(\mathbf{0},r)}d(\mathbf{x}_1,\mathbf{0}) +d(\mathbf{0},\mathbf{x}_2)= 2\cdot r$$
I miei passaggi contengono problemi?
Non riesco veramente a capire cosa vuole mostrare da quando introduce la funzione:
$$(x^1,...,x^m)\mapsto {(x^1)}^2+...+{(x^k)}^2-{(x^{k+1})}^2-...-{(x^m)}^2$$
in poi.
Io l'avrei dimostrato così:
1. le sfere sono insiemi chiusi perché preso un punto di accumulazione $\mathbf{x}_0$ per l'insieme $S(\mathbf{0},r)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^m|f(\mathbf{x}):=(x^1)^2+...+(x^m)^2=r\}$, dalla continuità della funzione $f$ si ha che:
$$f(\mathbf{x}_0)=f\left(\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}\mathbf{x}\right)=\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x})=\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}r=r \Rightarrow \mathbf{x}_0 \in S(\mathbf{0},r)$$
2. le sfere sono insiemi limitati perché:
$$\sup_{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in S(\mathbf{0},r)}d(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2)\leq \sup_{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in S(\mathbf{0},r)}d(\mathbf{x}_1,\mathbf{0}) +d(\mathbf{0},\mathbf{x}_2)= 2\cdot r$$
I miei passaggi contengono problemi?
Risposte
Quella non è più la dimostrazione che la sfera è compatta; finisce quando hai detto che è chiusa e limitata. Il resto è teorema di Weierstrass, una funzione continua su un compatto ha su quel compatto massimo e minimo; poi, per continuità, si deve anche annullare in almeno un punto.
Ok grazie, ma quindi cosa voleva far vedere con quella seconda parte della dimostrazione?
Quella funzione che ha introdotto si annulla in qualche punto sulla sfera, e allora?
Quella funzione che ha introdotto si annulla in qualche punto sulla sfera, e allora?
¯\_(ツ)_/¯
Non ne hai idea neanche tu? Bene 
No, non è che non ne ho idea, è che si tratta di un esempio che hai estrapolato da un contesto. Se è un libro per fisici, che fa mischioni improponibili di concetti che andrebbero formalmente distinti, è possibile sia semplicemente scritto da un fisico. Se è un libro di matematica, ma sta parlando del teorema di Weierstrass, ha senso che esso appaia in un esempio. Se quell'esempio appare dal nulla, è semplicemente scritto in maniera confusa.
In ogni caso, è solo un modo di chiamare in causa il teorema di W.: una funzione continua su un compatto ammette minimax assoluto.
In ogni caso, è solo un modo di chiamare in causa il teorema di W.: una funzione continua su un compatto ammette minimax assoluto.
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