Le applicazioni lineari sono dei campi vettoriali?

[magliocurioso]

Stavo cercando di osservare con uno sguardo trasversale le mie umilissime conoscenze matematiche e mi è sorta la seguente domanda, magari anche molto sciocca: ma le "applicazioni lineari" che comunemente si studiano un poco in tutti i corsi di algebra, alla fin fine, non sono a tutti gli effetti dei campi vettoriali? Mi verrebbe addirittura da dire, campi vettoriali lineari [forse addirittura elementari]. Può essere corretta questa interpretazione?

[gugo82]

Se per "campo vettoriale" intendi un'applicazione di \(F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\), sì.

[magliocurioso]

"gugo82":Se per "campo vettoriale" intendi un'applicazione di \(F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\), sì.

Ma più in generale non è \(F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) con $m \ne n$?

[gugo82]

Per "campo vettoriale" si intende, di solito, un'applicazione che ad ogni punto di una regione di \(\mathbb{R}^n\) assegna un vettore di \(\mathbb{R}^n\).

Un'applicazione \(F:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) con \(n\neq m\) ed \(m>1\) è detta, genericamente, "funzione vettoriale".

[magliocurioso]

"gugo82":Per "campo vettoriale" si intende, di solito, un'applicazione che ad ogni punto di una regione di \(\mathbb{R}^n\) assegna un vettore di \(\mathbb{R}^n\).

Un'applicazione \(F:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) con \(n\neq m\) ed \(m>1\) è detta, genericamente, "funzione vettoriale".

Ecco, questa ulteriore classificazione non la conoscevo. Quindi il concetto di funzione vettoriale è quello più generale possibile?

Però ecco, forse quello che intendevo dire prima credo che comprenda anche questo ovvero, le "applicazioni lineari" dell'algebra sono di fatto anche funzioni vettoriali. Quello che dunque mi chiedo è il perché di questa suddivisione di concetti. Non si potrebbe dire subito tutto quello che c'è da dire, anziché frammentare le informazioni tra i corsi di analisi e quelli di algebra?

[gugo82]

"magliocurioso":[quote="gugo82"]Per "campo vettoriale" si intende, di solito, un'applicazione che ad ogni punto di una regione di \(\mathbb{R}^n\) assegna un vettore di \(\mathbb{R}^n\).

Un'applicazione \(F:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) con \(n\neq m\) ed \(m>1\) è detta, genericamente, "funzione vettoriale".

Ecco, questa ulteriore classificazione non la conoscevo. Quindi il concetto di funzione vettoriale è quello più generale possibile?

Però ecco, forse quello che intendevo dire prima credo che comprenda anche questo ovvero, le "applicazioni lineari" dell'algebra sono di fatto anche funzioni vettoriali. Quello che dunque mi chiedo è il perché di questa suddivisione di concetti. Non si potrebbe dire subito tutto quello che c'è da dire, anziché frammentare le informazioni tra i corsi di analisi e quelli di algebra?[/quote]
La linearità è una proprietà importantissima, che ti consente di fare tante cose che non sono possibili in generale.
Per questo c'è un corso apposito di Algebra Lineare.

Anzi, per un'Analista è importantissimo avere solide basi di Algebra Lineare: infatti tutte le tecniche astratte che si studiano all'inizio della Teoria degli Operatori (in Analisi Funzionale) altro non sono che l'adattamento a spazi infinito-dimensionali di fatti basilari di Algebra Lineare.

[Emar1]

"magliocurioso":[quote="gugo82"]Per "campo vettoriale" si intende, di solito, un'applicazione che ad ogni punto di una regione di \(\mathbb{R}^n\) assegna un vettore di \(\mathbb{R}^n\).

Un'applicazione \(F:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) con \(n\neq m\) ed \(m>1\) è detta, genericamente, "funzione vettoriale".

Ecco, questa ulteriore classificazione non la conoscevo. Quindi il concetto di funzione vettoriale è quello più generale possibile?
[/quote]

Più "generale" solo se consideri le funzioni che coinvolgono elementi di spazi $RR^n$. Questo tipo di funzioni è pur sempre una categoria limitata rispetto alla "generalità" delle funzioni.

[magliocurioso]

"Emar":Più "generale" solo se consideri le funzioni che coinvolgono elementi di spazi $RR^n$. Questo tipo di funzioni è pur sempre una categoria limitata rispetto alla "generalità" delle funzioni.

Sì questo è vero, ma il caso più generale possibile è quello di \(F:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^m\) con \(n\neq m\) ed \(m>1\) oppure esiste qualcos'altro di ancora più generale?

[Emar1]

"magliocurioso":[quote="Emar"]Più "generale" solo se consideri le funzioni che coinvolgono elementi di spazi $RR^n$. Questo tipo di funzioni è pur sempre una categoria limitata rispetto alla "generalità" delle funzioni.

Sì questo è vero, ma il caso più generale possibile è quello di \(F:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^m\) con \(n\neq m\) ed \(m>1\) oppure esiste qualcos'altro di ancora più generale?[/quote]

Quello che volevo dire prima è appunto che dipende cosa intendi per "generale". La definizione di funzione è generica e vale per qualsiasi tipologia di insieme. Puoi considerare una funzione tra l'insieme M i cui elementi si chiamano mele e l'insieme P i cui elementi si chiamano pere (o qualsiasi altro tipo di insieme).

Se poi limiti la tua analisi agli spazi vettoriali sul campo $CC$ dotati di prodotto scalare, allora sì, una funzione $CC^n \to CC^m$ è la più generale possibile. O almeno credo.

Saluti

[magliocurioso]

Ecco, ho un'altra domanda: considerando \(F:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) oppure anche \(F:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^m\), "ai fini pratici", cosa cambia tra il caso $m>n$ ed il caso $m

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[Emar1]

La funzione è un modello per descrivere una miriade di fenomeni. Ad esempio una funzione da 3 a 1 dimensioni si chiama campo scalare. Si può ad esempio definire il campo temperatura in uno spazio, a ogni punto (3 dimensioni) associ uno scalare (valore della temperatura). Una funzione da 3 in 3 dimensioni invece rappresenta un campo vettoriale, a ogni punto associo un vettore che può essere una velocità, una forza, o, più semplicemente un altro punto. Se invece m > n solitamente la si può pensare come una curva o superficie (dipende dalle dimensioni) parametrizzata da 1 o più parametri.

Questi sono solo alcuni dei moltissimi modi di pensare le funzioni, non c'è IL modo. È come se mi chiedessi cos'è x. Può essere di tutto, dipende dal problema.

Ma queste cose le stai studiando te o stai seguendo un corso?


PS scusate per ipotetici errori di battitura ma sono con il cellulare

[magliocurioso]

"Emar":La funzione è un modello per descrivere una miriade di fenomeni. Ad esempio una funzione da 3 a 1 dimensioni si chiama campo scalare. Si può ad esempio definire il campo temperatura in uno spazio, a ogni punto (3 dimensioni) associ uno scalare (valore della temperatura). Una funzione da 3 in 3 dimensioni invece rappresenta un campo vettoriale, a ogni punto associo un vettore che può essere una velocità, una forza, o, più semplicemente un altro punto. Se invece m > n solitamente la si può pensare come una curva o superficie (dipende dalle dimensioni) parametrizzata da 1 o più parametri.

Questi sono solo alcuni dei moltissimi modi di pensare le funzioni, non c'è IL modo. È come se mi chiedessi cos'è x. Può essere di tutto, dipende dal problema.

Ma queste cose le stai studiando te o stai seguendo un corso?


PS scusate per ipotetici errori di battitura ma sono con il cellulare

Ma più o meno sapevo già quanto mi hai appena detto. In realtà sto solo cercando di approfondire, come dire, l'interpretazione puramente geometrica delle funzioni. Tieni però presente che non sono più uno studente già da molti anni oramai ma bensì un semplice appassionato della matematica [credo matematica pura perché in genere non mi vanno molto a genio le applicazioni fisiche o similari].

[Emar1]

"magliocurioso":Ecco, ho un'altra domanda: considerando \(F:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) oppure anche \(F:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^m\), "ai fini pratici", cosa cambia tra il caso $m>n$ ed il caso $m

"magliocurioso":
Ma più o meno sapevo già quanto mi hai appena detto...
...[credo matematica pura perché in genere non mi vanno molto a genio le applicazioni fisiche o similari].

Se queste cose le sapevi, e non interessano le applicazioni, cosa intendi per "fini pratici"? Cosa vuoi sapere?

Non conoscendoti ti ho chiesto, perchè solitamente nel corso di Analisi II e in quello di Algebra lineare vengono affrontate queste cose. Scusa la gaffe

[magliocurioso]

Ecco, scusami ma prima mi espressi malamente. Per "fini pratici" mi riferivo all'interpretazione o al significato geometrico.