Lavoro di un campo
Non mi è chiaro come si trovi il lavoro tra due punti A e B in un campo vettoriale perchè a volte viene usato un metodo e a volte un altro.
Il primo che ho visto più spesso è quello di calcolare un potenziale e poi fare
Un altra volta ho visto che veniva usato il teorema di green (lavoro sulla frontiera)
Un'altra ancora che si usava l'integrale
Cosa cambia tra questi? Uno vale l'altro? Non credo...
Il primo che ho visto più spesso è quello di calcolare un potenziale e poi fare
$L=U(B)-U(A)$
Un altra volta ho visto che veniva usato il teorema di green (lavoro sulla frontiera)
Un'altra ancora che si usava l'integrale
$\int_{A}^{}F(\gamma(t))*\gamma'(t)dt + \int_{B}^{}F(\gamma(t))*\gamma'(t)dt$
Cosa cambia tra questi? Uno vale l'altro? Non credo...
Risposte
Il lavoro è definito come l'integrale di linea:
\[L_{ab} := \int_{\gamma} <\mathbf{F},d\mathbf{r}> = \int_a^b <\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), \mathbf{r}'(t)> dt \]
Questa è la definizione.
Se capita che la forma differenziale $\omega = <\mathbf{F},d\mathbf{r}>$ è esatta, allora per definizione di forma esatta si ha che esiste una funzione $U$, detta potenziale, tale che $dU = \omega$.
L'integrale di prima si trasforma quindi in:
\[\int_{\gamma} <\mathbf{F},d\mathbf{r}> = \int_{\gamma} dU = U(\mathbf{r}(b)) - U(\mathbf{r}(a))\]
Se la forma $\omega$ è esatta, allora $\nabla U = \mathbf{F}$ e il campo si dice conservativo.
EDIT: Preciso che nella notazione da me usata $\mathbf{r}:[a,b] \to \mathbb{R}^3$ indica la parametrizzazione della curva $(\gamma,\mathbf{r})$ di sostegno $\gamma$.
\[L_{ab} := \int_{\gamma} <\mathbf{F},d\mathbf{r}> = \int_a^b <\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), \mathbf{r}'(t)> dt \]
Questa è la definizione.
Se capita che la forma differenziale $\omega = <\mathbf{F},d\mathbf{r}>$ è esatta, allora per definizione di forma esatta si ha che esiste una funzione $U$, detta potenziale, tale che $dU = \omega$.
L'integrale di prima si trasforma quindi in:
\[\int_{\gamma} <\mathbf{F},d\mathbf{r}> = \int_{\gamma} dU = U(\mathbf{r}(b)) - U(\mathbf{r}(a))\]
Se la forma $\omega$ è esatta, allora $\nabla U = \mathbf{F}$ e il campo si dice conservativo.
EDIT: Preciso che nella notazione da me usata $\mathbf{r}:[a,b] \to \mathbb{R}^3$ indica la parametrizzazione della curva $(\gamma,\mathbf{r})$ di sostegno $\gamma$.
Ho capito. Siccome però mi incarto a trovare un potenziale (non capisco mai dopo aver integrato il primo pezzo, chi porre uguale a cosa), posso sempre utilizzare l'integrale di linea in ogni caso?
Cosa intendi con "primo pezzo"?
Per esempio
$F=(y/(2sqrtx)+yz^2,sqrtx+xz^2+2y,2xyz)$
Per trovare il potenziale pongo
$(\partialF_1)/(\partialx)=y/(2sqrtx)+yz^2=0$
$(\partialF_2)/(\partialy)=sqrtx+xz^2=0$
$(\partialF_3)/(\partialz)=y/2y,2xyz=0$
Integro $\inty/(2sqrtx)+yz^2dx$ ecc da qui mi incarto che non so mai cosa porre dopo
$F=(y/(2sqrtx)+yz^2,sqrtx+xz^2+2y,2xyz)$
Per trovare il potenziale pongo
$(\partialF_1)/(\partialx)=y/(2sqrtx)+yz^2=0$
$(\partialF_2)/(\partialy)=sqrtx+xz^2=0$
$(\partialF_3)/(\partialz)=y/2y,2xyz=0$
Integro $\inty/(2sqrtx)+yz^2dx$ ecc da qui mi incarto che non so mai cosa porre dopo
Ho un problema con un esercizio.
Ho il campo $F=((xy)/(1+x^2))\hati+(1/2log(1+x^2)+e^y)\hatj$ e devo calcolarne il lavoro lungo $\gamma(t)=(t,arctan(t)), t\in[0,1]$
Quindi ho fatto:
$\int_[0]^[1]F(\gamma(t))*\gamma'(t)dt=\int_[0]^[1] ((tarctan(t))/(1+t^2),1/2log(1+t^2)+e^(arctant))*(1,1/(1+t^2))dt=\int_[0]^[1](tarctan(t))/(1+t^2)+log(1+t^2)/(2(1+t^2))+e^(arctant)/(1+t^2)dt$
E' giusto?? O_O E' irrisolvibile sta cosa!
Ho il campo $F=((xy)/(1+x^2))\hati+(1/2log(1+x^2)+e^y)\hatj$ e devo calcolarne il lavoro lungo $\gamma(t)=(t,arctan(t)), t\in[0,1]$
Quindi ho fatto:
$\int_[0]^[1]F(\gamma(t))*\gamma'(t)dt=\int_[0]^[1] ((tarctan(t))/(1+t^2),1/2log(1+t^2)+e^(arctant))*(1,1/(1+t^2))dt=\int_[0]^[1](tarctan(t))/(1+t^2)+log(1+t^2)/(2(1+t^2))+e^(arctant)/(1+t^2)dt$
E' giusto?? O_O E' irrisolvibile sta cosa!
di per sè è giusto, però se invece di calcolare questo integrale trovi un potenziale diventa tutto molto più semplice
Dopo aver trovato il potenziale però? Come calcolo il lavoro lungo una curva?
Se $U$ è il potenziale, $L=U(\gamma(1))-U(\gamma(0))$?
Se $U$ è il potenziale, $L=U(\gamma(1))-U(\gamma(0))$?
si esatto
Decisamente meglio!
Torna tutto! Grazie mille!
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