Laplace trasformata
Ciao a tutti e buon natale.
non riesco a capire come posso risolvere questi due problemi:
1)
$L (f) ( s) = s/(( s+ a)( s+b))$
L è la trasformata di Laplace a e b sono 2 costanti qualsiasi.
2)
$ L ( sinh at * sin at) (s)$
non riesco a capire come posso risolvere questi due problemi:
1)
$L (f) ( s) = s/(( s+ a)( s+b))$
L è la trasformata di Laplace a e b sono 2 costanti qualsiasi.
2)
$ L ( sinh at * sin at) (s)$
Risposte
Per 1) devi determinare l'antitrasformata. Il consiglio è decomporre il secondo membro in fratti semplici ed antitrasformare ogni addendo.
Per 2) devi calcolare la trasformata. Una buona via sembrerebbe tener presente che [tex]$\sinh at :=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}$[/tex] e [tex]$\sin at:= \frac{e^{\imath at}-e^{-\imath at}}{2\imath}$[/tex] ed usare le proprietà della trasformata di Laplace.
A Natale siamo tutti più buoni...
Per 2) devi calcolare la trasformata. Una buona via sembrerebbe tener presente che [tex]$\sinh at :=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}$[/tex] e [tex]$\sin at:= \frac{e^{\imath at}-e^{-\imath at}}{2\imath}$[/tex] ed usare le proprietà della trasformata di Laplace.
A Natale siamo tutti più buoni...
"Gugo82":
Per 1) devi determinare l'antitrasformata. Il consiglio è decomporre il secondo membro in fratti semplici ed antitrasformare ogni addendo.
Per 2) devi calcolare la trasformata. Una buona via sembrerebbe tener presente che [tex]$\sinh at :=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}$[/tex] e [tex]$\sin at:= \frac{e^{\imath at}-e^{-\imath at}}{2\imath}$[/tex] ed usare le proprietà della trasformata di Laplace.
A Natale siamo tutti più buoni...
Grazie mille .
ma non riesco a capire ancora come nel 1 es. si possa la fraxione in fratte semplice scomporre.....
"DarioBaldini":
[quote="Gugo82"]Per 1) devi determinare l'antitrasformata. Il consiglio è decomporre il secondo membro in fratti semplici ed antitrasformare ogni addendo.
Per 2) devi calcolare la trasformata. Una buona via sembrerebbe tener presente che [tex]$\sinh at :=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}$[/tex] e [tex]$\sin at:= \frac{e^{\imath at}-e^{-\imath at}}{2\imath}$[/tex] ed usare le proprietà della trasformata di Laplace.
A Natale siamo tutti più buoni...
Grazie mille .
ma non riesco a capire ancora come nel 1 es. si possa la fraxione in fratte semplice scomporre.....[/quote]
esiste un procedimento o simili ? ...
"DarioBaldini":
[quote="DarioBaldini"]Grazie mille .
ma non riesco a capire ancora come nel 1 es. si possa scomporre la frazione in fratti semplici...
Esiste un procedimento o simili?...[/quote]
Certo che c'è, e dovrebbe essere spiegato in quasi tutti i libri di Metodi Matematici per gli ingegneri...
Ad ogni modo, visto che la funzione [tex]$f(s)=\frac{s}{(s+a)(s+b)}$[/tex] ha due poli del primo ordine in [tex]$a,\ b$[/tex], la sua decomposizione si scrive:
[tex]$f(s)=\frac{c_a}{s+a} +\frac{c_b}{s+b}$[/tex]
in cui [tex]$c_a=\text{Res}(f(s);a),\ c_b=\text{Res}(f(s);b)$[/tex] sono i residui di [tex]$f$[/tex] nei poli.
Lascio a te spiegare perchè vale questa semplice regola per il calcolo dei coefficienti.
"Gugo82":
[quote="DarioBaldini"][quote="DarioBaldini"]Grazie mille .
ma non riesco a capire ancora come nel 1 es. si possa scomporre la frazione in fratti semplici...
Esiste un procedimento o simili?...[/quote]
Certo che c'è, e dovrebbe essere spiegato in quasi tutti i libri di Metodi Matematici per gli ingegneri...
Ad ogni modo, visto che la funzione [tex]$f(s)=\frac{s}{(s+a)(s+b)}$[/tex] ha due poli del primo ordine in [tex]$a,\ b$[/tex], la sua decomposizione si scrive:
[tex]$f(s)=\frac{c_a}{s+a} +\frac{c_b}{s+b}$[/tex]
in cui [tex]$c_a=\text{Res}(f(s);a),\ c_b=\text{Res}(f(s);b)$[/tex] sono i residui di [tex]$f$[/tex] nei poli.
Lascio a te spiegare perchè vale questa semplice regola per il calcolo dei coefficienti.[/quote]
Ok scusa se te lo chiedo ma come si fa a calcore un residuo?.. grazie.. io ho tutti libri in tedesco e dei residui non ne ho ancora sentito parlare..
[tex]$\mathrm{Res}(f(s), s_i)=\frac{1}{(n-1)!} \lim_{s \to s_i} \frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}} \left[ (s-s_i)^nf(s) \right]$[/tex]
dove [tex]s_i[/tex] indica l'i-esimo polo della funzione [tex]f(s)[/tex] di ordine [tex]n[/tex].
dove [tex]s_i[/tex] indica l'i-esimo polo della funzione [tex]f(s)[/tex] di ordine [tex]n[/tex].
"K.Lomax":
[tex]\mathrm{Res}(f(s), s_i)=\frac{1}{(n-1)!} \lim_{s \to s_i} \frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}}[(s-s_i)^nf(s)][/tex]
dove [tex]s_i[/tex] indica l'i-esimo polo della funzione [tex]f(s)[/tex] di ordine [tex]n[/tex].
grazie. e quindi la formula applicata all'esercizio come sarebbe...?
e possibile calcolare i residui senza poli al denominatore?
Perchè di fianco all' es. c 'è scritto:
s > max ( - a, - b)
Proviamo a fare a meno dei residui, visto che pare tu non abbia ancora studiato l'Analisi Complessa.
(Ma poi che senso ha studiare la trasformata di Laplace in un contesto che non è il suo naturale? Mah...)
Vogliamo determinare [tex]$c_a,\ c_b$[/tex] in modo che:
(*) [tex]$\frac{s}{(s+a)(s+b)}=\frac{c_a}{s+a} +\frac{c_b}{s+b}$[/tex];
moltiplichiamo ambo i membri per [tex]$s+a$[/tex] in (*) in modo da ottenere:
[tex]$\frac{s}{s+b}=c_a +\frac{c_b (s+a)}{s+b}$[/tex]
e passiamo al limite ambo i membri per [tex]$s\to -a$[/tex]: in tal modo troviamo:
[tex]$\frac{a}{a-b}=\lim_{s\to -a} \frac{s}{s+b}=\lim_{s\to -a} c_a +\frac{c_b (s+a)}{s+b}=c_a$[/tex].
Analogamente moltiplicando ambo i membri di (*) per [tex]$s+b$[/tex] e passando al limite per [tex]$s\to -b$[/tex] si trova:
[tex]$\frac{b}{b-a}=\lim_{s\to -b} \frac{s}{s+a}=\lim_{s\to -b} \frac{c_a(s+b)}{s+a}+c_b=c_b$[/tex].
Quindi [tex]$c_a=\frac{a}{a-b} ,\ c_b=\frac{b}{b-a}$[/tex] e la decomposizione in fratti semplici della funzione assegnata si scrive:
[tex]$\frac{a}{a-b} \frac{1}{s+a} +\frac{b}{b-a} \frac{1}{s+b}$[/tex].
(Ricontrolla i conti...
)
Inoltre la scrittura [tex]$s>\max \{-a,-b\}$[/tex] rappresenta il semipiano di convergenza della trasformata di Laplace (ammesso che [tex]$a,b\in \mathbb{R}$[/tex]).
P.S.: Libri in tedesco? Erasmus o studi in Trentino?
(Ma poi che senso ha studiare la trasformata di Laplace in un contesto che non è il suo naturale? Mah...)
Vogliamo determinare [tex]$c_a,\ c_b$[/tex] in modo che:
(*) [tex]$\frac{s}{(s+a)(s+b)}=\frac{c_a}{s+a} +\frac{c_b}{s+b}$[/tex];
moltiplichiamo ambo i membri per [tex]$s+a$[/tex] in (*) in modo da ottenere:
[tex]$\frac{s}{s+b}=c_a +\frac{c_b (s+a)}{s+b}$[/tex]
e passiamo al limite ambo i membri per [tex]$s\to -a$[/tex]: in tal modo troviamo:
[tex]$\frac{a}{a-b}=\lim_{s\to -a} \frac{s}{s+b}=\lim_{s\to -a} c_a +\frac{c_b (s+a)}{s+b}=c_a$[/tex].
Analogamente moltiplicando ambo i membri di (*) per [tex]$s+b$[/tex] e passando al limite per [tex]$s\to -b$[/tex] si trova:
[tex]$\frac{b}{b-a}=\lim_{s\to -b} \frac{s}{s+a}=\lim_{s\to -b} \frac{c_a(s+b)}{s+a}+c_b=c_b$[/tex].
Quindi [tex]$c_a=\frac{a}{a-b} ,\ c_b=\frac{b}{b-a}$[/tex] e la decomposizione in fratti semplici della funzione assegnata si scrive:
[tex]$\frac{a}{a-b} \frac{1}{s+a} +\frac{b}{b-a} \frac{1}{s+b}$[/tex].
(Ricontrolla i conti...
)Inoltre la scrittura [tex]$s>\max \{-a,-b\}$[/tex] rappresenta il semipiano di convergenza della trasformata di Laplace (ammesso che [tex]$a,b\in \mathbb{R}$[/tex]).
P.S.: Libri in tedesco? Erasmus o studi in Trentino?
"Gugo82":
Proviamo a fare a meno dei residui, visto che pare tu non abbia ancora studiato l'Analisi Complessa.
(Ma poi che senso ha studiare la trasformata di Laplace in un contesto che non è il suo naturale? Mah...)
Vogliamo determinare [tex]$c_a,\ c_b$[/tex] in modo che:
(*) [tex]$\frac{s}{(s+a)(s+b)}=\frac{c_a}{s+a} +\frac{c_b}{s+b}$[/tex];
moltiplichiamo ambo i membri per [tex]$s+a$[/tex] in (*) in modo da ottenere:
[tex]$\frac{s}{s+b}=c_a +\frac{c_b (s+a)}{s+b}$[/tex]
e passiamo al limite ambo i membri per [tex]$s\to -a$[/tex]: in tal modo troviamo:
[tex]$\frac{a}{a-b}=\lim_{s\to -a} \frac{s}{s+b}=\lim_{s\to -a} c_a +\frac{c_b (s+a)}{s+b}=c_a$[/tex].
Analogamente moltiplicando ambo i membri di (*) per [tex]$s+b$[/tex] e passando al limite per [tex]$s\to -b$[/tex] si trova:
[tex]$\frac{b}{b-a}=\lim_{s\to -b} \frac{s}{s+a}=\lim_{s\to -b} \frac{c_a(s+b)}{s+a}+c_b=c_b$[/tex].
Quindi [tex]$c_a=\frac{a}{a-b} ,\ c_b=\frac{b}{b-a}$[/tex] e la decomposizione in fratti semplici della funzione assegnata si scrive:
[tex]$\frac{a}{a-b} \frac{1}{s+a} +\frac{b}{b-a} \frac{1}{s+b}$[/tex].
(Ricontrolla i conti...
Inoltre la scrittura [tex]$s>\max \{-a,-b\}$[/tex] rappresenta il semipiano di convergenza della trasformata di Laplace (ammesso che [tex]$a,b\in \mathbb{R}$[/tex]).
P.S.: Libri in tedesco? Erasmus o studi in Trentino?
Grazie, comunque io studio in Germania a friburgo ma non come erasmus ma regolarmente come studente che studia i suoi tre anni, nella stessa universita'
La matematica che abbiamo fatto, siamo partiti dalgli insiemi per arrivare agli integrali sino alle serie di taylor con resto.
Adesso abbiamo fatto la trasformata da una settimana prima di natale.
Il programma è quello di ingegneria , molte cose sono fatte superficialmente e molte cose non vengono neanche spiegate perchè date per scontate. un' esempio è proprio questo della scomposizione di una frazione.
Volevo chiederti per il secondo esercizio che proprieta' dovrei usare?
noi ne abbiamo fatte poche e tra cui abbiamo fatto: lo spostamento dell' argomento destra e sinistra, la linearita' , e alcuni esempi di trasformate.
ma come si posso da un prodotto di funzioni (dentro una trasformata mi rimane ancora un mistero. E di tempo ne ho passato a provare a capire....
"DarioBaldini":
Grazie, comunque io studio in Germania a friburgo ma non come erasmus ma regolarmente come studente che studia i suoi tre anni, nella stessa universita'.
La matematica che abbiamo fatto, siamo partiti dalgli insiemi per arrivare agli integrali sino alle serie di taylor con resto.
Adesso abbiamo fatto la trasformata da una settimana prima di natale.
Il programma è quello di ingegneria , molte cose sono fatte superficialmente e molte cose non vengono neanche spiegate perchè date per scontate. un' esempio è proprio questo della scomposizione di una frazione.
Così impari ad andare a studiare fuori.
No, si scherza...
Se non ti piacciono i tuoi libri, cercane altri, casomai in inglese; dovrebbero essercene a caterve nella biblioteca di facoltà. Serve solo perderci una mezza giornata, così da trovare quello che fa più al caso tuo.
La trasformata di Laplace qui non la si affronta al primo anno (ma al secondo, dopo aver studiato i rudimenti di Analisi Complessa), quindi non so cosa consigliarti nello specifico. Un libro carino è Schiff, The Laplace transform: theory and applications, Springer; se poi vuoi guardare la cosa dal punto di vista dell'Analisi Complessa, potrebbe esserti utile il LePage, Complex variables and the Laplace transform for engineers, Dover.
Un altro libro da ingegneri è il Kreyszig, Advanced engineering mathematics, Wiley: è un bel mattone, ma c'è di tutto.
"DarioBaldini":
Volevo chiederti per il secondo esercizio che proprieta' dovrei usare?
noi ne abbiamo fatte poche e tra cui abbiamo fatto: lo spostamento dell' argomento destra e sinistra, la linearita' , e alcuni esempi di trasformate.
ma come si posso da un prodotto di funzioni (dentro una trasformata mi rimane ancora un mistero. E di tempo ne ho passato a provare a capire....
L'ultima frase non l'ho capita granché, ma fa nulla...
Ad ogni modo, se tieni presente che [tex]$\sinh at:=\frac{1}{2}\left( e^{at}-e^{-at}\right)$[/tex] e [tex]$\sin at:=\frac{1}{2\imath }\left( e^{\imath at}-e^{-\imath at}\right)$[/tex], il prodotto [tex]$\sinh at \cdot \sin at$[/tex] si esprime come combinazione lineare di esponenziali (complessi, of course) dei quali dovresti già conoscere la trasformata; poi applichi la linearità ed hai finito.
Prova a postare un po' di conti, così vediamo come va.
Ho provato a fare un po' di conti... è venuto fuori
$(1/2)e^{at(1+i)}-(1/2)e^{at(1-at)}-(1/(2*i))e^{at(-1+i)}+(1/(2*i))e^{at(1-i)}$
Non vedo ora come si possa semplificare..
La mia idea é che ora bisogna usare la proprietä dello spostamento dell'argomento e trasformarli uno ad uno, no?
[mod="Paolo90"]Aggiustato un po' il codice MathMl.
[/mod]
$(1/2)e^{at(1+i)}-(1/2)e^{at(1-at)}-(1/(2*i))e^{at(-1+i)}+(1/(2*i))e^{at(1-i)}$
Non vedo ora come si possa semplificare..
La mia idea é che ora bisogna usare la proprietä dello spostamento dell'argomento e trasformarli uno ad uno, no?
[mod="Paolo90"]Aggiustato un po' il codice MathMl.
[/mod]
"DarioBaldini":
Ho provato a fare un po' di conti... è venuto fuori
$(1/2)e^{at(1+i)}-(1/2)e^{at(1-at)}-(1/(2*i))e^{at(-1+i)}+(1/(2*i))e^{at(1-i)}$
Non vedo ora come si possa semplificare...
Infatti non devi semplificare nulla, ma...
"DarioBaldini":
[...] ora bisogna usare la proprietä dello spostamento dell'argomento e trasformarli uno ad uno, no?
Esatto!
Beh la funzione esponenziale salta fuori dappertutto, quando meno te lo aspetti...
Tornando seri, il fatto che seno e coseno siano esprimibili in termini di esponenziali di numeri immaginari puri è conseguenza della formula di Eulero:
[tex]$e^{\imath t}=\cos t+\imath \sin t$[/tex]
che a sua volta è conseguenza della definizione dell'esponenziale complesso per via della serie di Taylor:
(*) [tex]$e^z:=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} z^n$[/tex].
Infatti se in (*) sostituisci [tex]$z=\imath t$[/tex], tieni presente che [tex]$\imath^{4k}=1,\ \imath^{4k+1}=\imath ,\ \imath{4k+2}=-1 ,\ \imath^{4k+3}=-\imath$[/tex] e separi il reale dall'immaginario, ottieni:
[tex]$e^{\imath t}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\imath^n}{n!} t^n$[/tex]
[tex]$=\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!} t^{2h} +\imath \ \sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h+1)!} t^{2h+1}$[/tex]
[tex]$=\cos t+\imath \ \sin t$[/tex],
che è proprio la formula di Eulero.
Tornando seri, il fatto che seno e coseno siano esprimibili in termini di esponenziali di numeri immaginari puri è conseguenza della formula di Eulero:
[tex]$e^{\imath t}=\cos t+\imath \sin t$[/tex]
che a sua volta è conseguenza della definizione dell'esponenziale complesso per via della serie di Taylor:
(*) [tex]$e^z:=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} z^n$[/tex].
Infatti se in (*) sostituisci [tex]$z=\imath t$[/tex], tieni presente che [tex]$\imath^{4k}=1,\ \imath^{4k+1}=\imath ,\ \imath{4k+2}=-1 ,\ \imath^{4k+3}=-\imath$[/tex] e separi il reale dall'immaginario, ottieni:
[tex]$e^{\imath t}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\imath^n}{n!} t^n$[/tex]
[tex]$=\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!} t^{2h} +\imath \ \sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h+1)!} t^{2h+1}$[/tex]
[tex]$=\cos t+\imath \ \sin t$[/tex],
che è proprio la formula di Eulero.
"Gugo82":
Beh la funzione esponenziale salta fuori dappertutto, quando meno te lo aspetti...
Tornando seri, il fatto che seno e coseno siano esprimibili in termini di esponenziali di numeri immaginari puri è conseguenza della formula di Eulero:
[tex]$e^{\imath t}=\cos t+\imath \sin t$[/tex]
che a sua volta è conseguenza della definizione dell'esponenziale complesso per via della serie di Taylor:
(*) [tex]$e^z:=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} z^n$[/tex].
Infatti se in (*) sostituisci [tex]$z=\imath t$[/tex], tieni presente che [tex]$\imath^{4k}=1,\ \imath^{4k+1}=\imath ,\ \imath{4k+2}=-1 ,\ \imath^{4k+3}=-\imath$[/tex] e separi il reale dall'immaginario, ottieni:
[tex]$e^{\imath t}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\imath^n}{n!} t^n$[/tex]
[tex]$=\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!} t^{2h} +\imath \ \sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h+1)!} t^{2h+1}$[/tex]
[tex]$=\cos t+\imath \ \sin t$[/tex],
che è proprio la formula di Eulero.
a ok grazie. Adesso torna tutto piö chiaro. Il problema é che da solo non ci sarei mai arrivato ad una cosa del genere!
"Gugo82":
[quote="DarioBaldini"]Ho provato a fare un po' di conti... è venuto fuori
$(1/2)e^{at(1+i)}-(1/2)e^{at(1-at)}-(1/(2*i))e^{at(-1+i)}+(1/(2*i))e^{at(1-i)}$
Non vedo ora come si possa semplificare...
Infatti non devi semplificare nulla, ma...
"DarioBaldini":
[...] ora bisogna usare la proprietä dello spostamento dell'argomento e trasformarli uno ad uno, no?
Esatto!
[/quote]Solo per sapere se ho proceduto giusto.. :
prendiamo ad esempio:
$L (-(1/(2*i))e^{at(-1+i)}) $
1) $-1/(2*i)$ lo si puö portare fuori essendo una costante.
2)il rimanente é: $e^{at(-1+i)}$
-> chiamo con $c = a( -1+i) $
Poi seguo per l´anti trasformata seguo la formula che $ e^{ct} $ = $ 1/( s-c)$
Esatto, l'idea è quella.
Infatti hai:
[tex]$\mathcal{L} \left[- \frac{1}{2\imath} e^{a (-1+\imath) t}\right] (s)=-\frac{1}{2\imath} \frac{1}{s-a(-1+\imath)}$[/tex].
P.S.: Qui stiamo calcolando la trasformata di Laplace, non l'antitrasformata. Tienilo sempre presente.
Infatti hai:
[tex]$\mathcal{L} \left[- \frac{1}{2\imath} e^{a (-1+\imath) t}\right] (s)=-\frac{1}{2\imath} \frac{1}{s-a(-1+\imath)}$[/tex].
P.S.: Qui stiamo calcolando la trasformata di Laplace, non l'antitrasformata. Tienilo sempre presente.
Posto qui perché e anche una cosa che riguarda la funzione di laplace.
Avendo un´equazione del tipo:
$(x^4+3)/ (x^3*(x+1))$
Vorrei scomporla in piü frazioni ho pensato a:
$ A/x^3+ B/x^2+C/x +D/(x+1)
ma riesco solo a trovare 2 costanti.
Qualcuno sa indicarmi una strada possibile? ciao e buon anno
Avendo un´equazione del tipo:
$(x^4+3)/ (x^3*(x+1))$
Vorrei scomporla in piü frazioni ho pensato a:
$ A/x^3+ B/x^2+C/x +D/(x+1)
ma riesco solo a trovare 2 costanti.
Qualcuno sa indicarmi una strada possibile? ciao e buon anno
Sbagli a partire subito cercando la scomposizione in fratti semplici.
Prima devi fare in modo che il grado del numeratore sia strettamente minore del grado del denominatore, effettuando la divisione tra i polinomi.
Se dividi ottieni: $(x^4+3)/(x^4+x)=1-(x-3)/(x^4+x)$.
Adesso puoi procedere e cercare le tue costanti, sempre che tu ne abbia ancora bisogno.
Prima devi fare in modo che il grado del numeratore sia strettamente minore del grado del denominatore, effettuando la divisione tra i polinomi.
Se dividi ottieni: $(x^4+3)/(x^4+x)=1-(x-3)/(x^4+x)$.
Adesso puoi procedere e cercare le tue costanti, sempre che tu ne abbia ancora bisogno.
Ciao a TUTTI ho un nuovo problema da risolvere.
$y´´ + 2y´ + y = t + sin t$
con i valori iniziali:
$y(0) = 1 $ $ y´(0) = 0.$
io ho trasformato le derivate e tutto e sono arrivato ad ottenere:
$Y(s)=(1/((s^2)+1) + 1/s^2 +s+2) / (s+1)^2$
perö ora non so piü come andare avanti....
avrei pensato ad usare non so come si chiama in italiano ma in tedesco é la faltungsatz che dice che se ho il prodotto di due trasformate posso trasformarle ad una ad una e poi fare lo specifico integrale che dice la regola, cosi ottengo il prodotto.
Ma mi viene difficile pensare a cosa possa essere la antitrasformata di s e di 2 ...
$y´´ + 2y´ + y = t + sin t$
con i valori iniziali:
$y(0) = 1 $ $ y´(0) = 0.$
io ho trasformato le derivate e tutto e sono arrivato ad ottenere:
$Y(s)=(1/((s^2)+1) + 1/s^2 +s+2) / (s+1)^2$
perö ora non so piü come andare avanti....
avrei pensato ad usare non so come si chiama in italiano ma in tedesco é la faltungsatz che dice che se ho il prodotto di due trasformate posso trasformarle ad una ad una e poi fare lo specifico integrale che dice la regola, cosi ottengo il prodotto.
Ma mi viene difficile pensare a cosa possa essere la antitrasformata di s e di 2 ...
Faltung = convoluzione, satz = teorema
Quindi faltungsatz = Teorema sulla convoluzione: praticamente, l'antitrasformata del prodotto è uguale alla convoluzione delle antitrasformate dei fattori.
Il problema è che l'antitrasformata di [tex]$s+2$[/tex] è un oggetto che non è una funzione... C'entra una "cosa" detta [tex]$\delta$[/tex] di Dirac.
Quindi se sai cos'è la $\delta$ possiamo anche cercare di andare avanti; altrimenti ti conviene antitrasformare il pezzo [tex]$\frac{s+2}{(s+1)^2}$[/tex] ricorrendo alla decomposizione in fratti semplici e non al faltungsatz.
Quindi faltungsatz = Teorema sulla convoluzione: praticamente, l'antitrasformata del prodotto è uguale alla convoluzione delle antitrasformate dei fattori.
Il problema è che l'antitrasformata di [tex]$s+2$[/tex] è un oggetto che non è una funzione... C'entra una "cosa" detta [tex]$\delta$[/tex] di Dirac.
Quindi se sai cos'è la $\delta$ possiamo anche cercare di andare avanti; altrimenti ti conviene antitrasformare il pezzo [tex]$\frac{s+2}{(s+1)^2}$[/tex] ricorrendo alla decomposizione in fratti semplici e non al faltungsatz.
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