Landau e Sviluppi Asintotici (Taylor - Maclaurin)

[youngz]

Ciao a tutti, son nuovo e vi pongo un mio dilemma, ho studiato gli argomenti, ma non riesco a comprendere come applicarli negli esercizi forniti a lezione.
Qui di seguito vi scrivo un po' di esercizi (son di tre tipi), mi servirebbe capire come risolverli, e giuro tutto sto argomento mi manda in una confusione incredibile!

Stabilire se l’affermazione o(n)O(n) = o(n^2 ) è vera oppure falsa, dimostrandola nel primo caso ed esibendo un controesempio nel secondo.[/list:u:1ewafvpp]

Stabilire se l’affermazione o(n) + O(n^2 ) = o(n) è vera oppure falsa, dimostrandola nel primo caso ed esibendo
un controesempio nel secondo.[/list:u:1ewafvpp]

Nell’ipotesi che per per n → +∞ si abbia an = n2 + o(n) e bn = −n2 + O(n) Si consideri l’affermazione : an + bn = O(n); dimostrarla se vera ed esibire un controesempio se falsa[/list:u:1ewafvpp]

Stabilire se l’affermazione n^2 + o(n^2 ) = Ω(n) è vera quando n → +∞[/list:u:1ewafvpp]

Stabilire se l’affermazione n2 − o(n2 ) = Ω(n) ` e vera quando n → +∞ [/list:u:1ewafvpp]

Usando il criterio del rapporto, calcolare il limite della successione an = (2^n)^2/(4^n+1) [/list:u:1ewafvpp]

Usando il criterio del rapporto, stabilire il carattere della successione 4^n/√(n!)[/list:u:1ewafvpp]

Determinare lo sviluppo asintotico, per x → 0, dell’espressione f(x)=(1 + x^2)/(1-x) con resto o(x5).[/list:u:1ewafvpp]

Determinare lo sviluppo asintotico, per x → 0, dell’espressione f(x) = (1 − 2x^2)/(1+ x), con resto O(x4). (fin qui credo di saperli fare)[/list:u:1ewafvpp]

Determinare, nel modo più preciso possibile, il comportamento asintotico per x → 0+ di √( x + x^2 + x^3 + o(x^3 )).(non comprendo proprio cosa io debba fare e come comportarmi quando ho la o(x) all'interno della funzione)[/list:u:1ewafvpp]

Determinare lo sviluppo asintotico per n → +∞ della successione (n^6 + n^3)^1/3 con una precisione di o(1/n^2).[/list:u:1ewafvpp]

Determinare lo sviluppo asintotico all’infinito, in potenze di x e con resto o(1) di f (x) = (x^2)/(x-1)[/list:u:1ewafvpp]

Determinare lo sviluppo asintotico per x → −∞ dell’espressione: x + √(x^2 + 2x) in potenze di x e con resto o(1/x).[/list:u:1ewafvpp]

Determinare lo sviluppo asintotico per x → −∞ dell’espressione: x + √(x^2 − 2x) in potenze di x e con resto o(1/x).[/list:u:1ewafvpp]

Determinare lo sviluppo asintotico per x → +∞ della funzione f (x) = x − √(x^2 − x), in potenze (positive enegative) di x e con precisione O(1/x2).[/list:u:1ewafvpp]

In più in un esercizio si richiedeva di trovare tramite taylor l'asintoto obliquo di una funzione.

Aiutatemi,sareste la mia manna dal cielo
Grazie Mille!

[Seneca1]

Il regolamento prevede che per ogni esercizio tu aggiunga un tuo tentativo di risoluzione.

[youngz]

Ah, ok scusate, ora tento di trascrivere in qualche modo le soluzioni che ho provato a fare per il 3* gruppo.

I primi due gruppi non so dove sbattere la testa, mi sapreste almeno indicare come partire

[youngz]

Così credo si debba risolvere il primo esercizio (e similmente pure il secondo), è corretto?

$x->0$ $f(x)=(1+x^2)/(1-x)$ $o(x^5)$
$ d'((1+x^2)/(1-x))=(2x*(1-x)-1-x^2)/(1-x)^2=(-3x^2+2x-1)/(1-x)^2=(-3x^2+2x-1)/(x^2-2x+1)$
$ d''((1+x^2)/(1-x))=((-6x+2)(x^2-2x+1)-(2x-2)(-3x^2+2x+1))/(1-x)^4=$
$=(-6x^3+12x^2-6x+2x^2-4x+2+6x^3-4x^2-2x-6x^2+4x+2)/(1-x)^4=$
$=(4x^2-8x+4)/(1-x)^4$

---DERIVO 5 VOLTE PER ARRIVARE AL RESTO $o(x^5)$ e concludo:
$f(x)=1-x+4/(2!)*x^2+ ... +c/5!*x^5+o(x^5)$

Dopo mangiato, vi trascrivo come farei l'ultimo dell'elenco. Gli altri son un mistero!

(ma esistono esempi di esercizi simili svolti?)

[Seneca1]

Ti consiglio di imparare ad usare ASCIIMathML oppure TeX per scrivere le formule sul forum (avrai maggiore probabilità di ottenere risposta).

come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html