La soluzione di $\Delta u -\mu u = f$ è in $H^2$

[in_me_i_trust]

Salve ragazzi

Vi scrivo perché non so più dove sbattere la testa dopo aver cosultato valanghe di libri. Io devo capire se la soluzione di

$\Delta u -\mu u = f$ su $\Omega$
$\frac(\partial u)(\partial n)=0$ su $\partial\Omega$

sta in $H^2(\Omega)$, posto che $u\in L^2(\Omega)$, $f\in L^2(\Omega)$, $\mu$ è un reale positivo ed $\Omega$ è il quadrato $[0,1]x[0,1]$. Sul Gilbarg & Trudinger (Elliptic partial differential equations of second order) mi pare di aver capito che si riesce a mostrare solo che $u\in H^2(\Omega')$ dove $\Omega'$ è un sottoinsieme di $\Omega$. Se si vuole la regolarità della soluzione su tutto il dominio è necessario che $\Omega$ sia almeno $C^2$ (e un quadrato non lo è di sicuro nei vertici)

Potete darmi conferma/smentita di questo?

Vi ringrazio per qualunque suggerimento, infamata ecc...

Simone

[Rigel1]

Prova a consultare Grisvard, "Elliptic problems in nonsmooth domains".
Se non ricordo male, quando $\Omega$ è convesso, la soluzione del tuo problema è $H^2(\Omega)$.

[in_me_i_trust]

Cavolo ma lo sai che anche lo avevo preso quel libro..però mi ero focalizzato sul capitolo successivo ai domini convessi perché trattava proprio i domini poligonali, solo che li dava delle stime della soluzione presupponendo già che era $H^2$. Adesso lo ripiglio subito e lo spulcio per bene. Grazie tantissimo!

Simone