La serie converge o diverge?
Ciao!
Qualcuno mi sa dire come si risolve la seguente serie a segni alterni?
SOMMATORIA da 0 a infinito di:
(-1)^n*((2n^2-3n+2)/(4n^2+3n+1))
La serie dei moduli è divergente, ma cosa posso dire della serie a segni alterni?
Ho provato anche con leibnitz, ma il limite per n che va a infinito è diverso da 0!
Mi sapete aiutare?
Qualcuno mi sa dire come si risolve la seguente serie a segni alterni?
SOMMATORIA da 0 a infinito di:
(-1)^n*((2n^2-3n+2)/(4n^2+3n+1))
La serie dei moduli è divergente, ma cosa posso dire della serie a segni alterni?
Ho provato anche con leibnitz, ma il limite per n che va a infinito è diverso da 0!
Mi sapete aiutare?
Risposte
Non ne sono sicuro al 100% ma mi pare che il metodo di Leibnitz dia delle condizioni necessarie e sufficenti per la convergenza delle serie a segno alterno; quindi se anche una di quelle non è verificata la serie non dovrebbe convergere.
Platone
Platone
Il fatto è che io so che le condizioni sulla convergenza di Leibnitz sono sufficienti, ma sul mio libro non c'è scritto se sono necessarie. Quindi se una non si verifica, non so se posso dire che è divergente!
...proprio come pensavo!
La condizione di Leibnitz è sufficiente, ma non necessaria!
Quindi se la serie dei moduli diverge come faccio a sapere cosa fa la mia serie a segni alterni?
Aiuto!
La condizione di Leibnitz è sufficiente, ma non necessaria!
Quindi se la serie dei moduli diverge come faccio a sapere cosa fa la mia serie a segni alterni?
Aiuto!
Scusa per la cazzata.
Puoi provare a studizre separatamente i termini positivi e quelli negativi e ve3dere se convergono allo stesso limite.
Sinceramente sono un pò arrugginito su queste cose.
Platone
Puoi provare a studizre separatamente i termini positivi e quelli negativi e ve3dere se convergono allo stesso limite.
Sinceramente sono un pò arrugginito su queste cose.
Platone
Nessuno mi sa dire altro? [:(]
Allora si tratta della serie…
Sum [n=0,+oo] (-1)^n * (2n^2-3n+2)/(4n^2+3n+1) (1)
In essa il termine generale, a prescindere dal fattore (-1)^n, può essere scritto come segue…
(2n^2-3n+2)/(4n^2+3n+1) = ½ -3/2 *(3n-1)/(4n^2+3n+1) (2)
La serie originale pertanto può essere considerata come somma delle due serie seguenti…
Sum [n=0,+oo] (-1)^n * (2n^2+3n+2)/(4n^2+3n+1) =
½ Sum [n=0,+oo] (-1)^n –3/2 Sum [n=0,+oo] (-1)^n * (3n-1)/(4n^2+3n+1) (3)
Se so osservano le due serie che contribuiscono alla (3) è facile verificare che la seconda, serie a segni alterni il cui termine generale tende a = 0 per n che tende a +oo, è convergente mentre la prima è indeterminata. Da ciò consegue che la serie data non è né convergente né divergente, bensì indeterminata…
cordiali saluti
lupo grigio
Sum [n=0,+oo] (-1)^n * (2n^2-3n+2)/(4n^2+3n+1) (1)
In essa il termine generale, a prescindere dal fattore (-1)^n, può essere scritto come segue…
(2n^2-3n+2)/(4n^2+3n+1) = ½ -3/2 *(3n-1)/(4n^2+3n+1) (2)
La serie originale pertanto può essere considerata come somma delle due serie seguenti…
Sum [n=0,+oo] (-1)^n * (2n^2+3n+2)/(4n^2+3n+1) =
½ Sum [n=0,+oo] (-1)^n –3/2 Sum [n=0,+oo] (-1)^n * (3n-1)/(4n^2+3n+1) (3)
Se so osservano le due serie che contribuiscono alla (3) è facile verificare che la seconda, serie a segni alterni il cui termine generale tende a = 0 per n che tende a +oo, è convergente mentre la prima è indeterminata. Da ciò consegue che la serie data non è né convergente né divergente, bensì indeterminata…
cordiali saluti
lupo grigio
Mi sei stato molto utile!
Ma allora ho due domande:
1)E' giusta qusta affermazione (che ho fatto io perchè sui libri non c'è)?
**********
"Data la serie
Sum [n=0,+oo](a)
dove (a) indica la successione, se
Lim [n->oo] (a) non esiste
allora la serie è indeterminata."
**********
2) Se è giusta allora bastava calcolare il limite della successione a segni alterni data per vedere che tale limite non esisteva (senza scomporla in due serie come hai mostrato tu). Giusto?
Resto in attesa!
Ma allora ho due domande:
1)E' giusta qusta affermazione (che ho fatto io perchè sui libri non c'è)?
**********
"Data la serie
Sum [n=0,+oo](a)
dove (a) indica la successione, se
Lim [n->oo] (a) non esiste
allora la serie è indeterminata."
**********
2) Se è giusta allora bastava calcolare il limite della successione a segni alterni data per vedere che tale limite non esisteva (senza scomporla in due serie come hai mostrato tu). Giusto?
Resto in attesa!
L’osservazione da fatta, ossia che, data una successione an, se non esiste il lim n-> +oo di an non esiste neppure il lim n-> +00 Sum [i=0,n] ai, è certamente esatta. In effetti il procedimento da me seguito è stato quello di calcolare il limite come somma di due limiti, uno dei quali non esiste. Il limite cercato di conseguenza anch’esso non esiste…
cordiali saluti
lupo grigio
cordiali saluti
lupo grigio
Grazie mille davvero per l'aiuto!
quote:
Originally posted by lupo grigio
L’osservazione da fatta, ossia che, data una successione an, se non esiste il lim n-> +oo di an non esiste neppure il lim n-> +00 Sum [i=0,n] ai, è certamente esatta.
Errore. Sia a_n=2+cos(n). segue che il non esiste il:
lim a_n , tuttavia:
n->inf
sum(a_n,n=1..inf) >= sum(1,n=1..inf)=inf.
Saluti,
Woody
E quindi quello di lupo grigio era l'unico modo?
Si poteve fare anche così. Sia a_n=(2n^2-3n+2)/(4n^2+3n+1) . Poichè
lim a_n = 1/2 diverso da 0 ,
n->inf
la serie non è convergente. Poichè la serie dei termini pari:
sum((-1)^(2*n)*a_(2*n),n=1..inf) = sum(a_(2*n),n=1..inf)=inf , e invece la serie dei termini dispari:
sum((-1)^(2*n-1)*a_(2*n-1),n=1..inf) = -sum(a_(2*n-1),n=1..inf) = -inf,
se ne deduce che la serie è indeterminata.
Saluti,
Woody
lim a_n = 1/2 diverso da 0 ,
n->inf
la serie non è convergente. Poichè la serie dei termini pari:
sum((-1)^(2*n)*a_(2*n),n=1..inf) = sum(a_(2*n),n=1..inf)=inf , e invece la serie dei termini dispari:
sum((-1)^(2*n-1)*a_(2*n-1),n=1..inf) = -sum(a_(2*n-1),n=1..inf) = -inf,
se ne deduce che la serie è indeterminata.
Saluti,
Woody
Capito!
Grazie mille!
Grazie mille!
Scusate ragazzi ma qui mi sa che qualcuno abbia preso un ‘piccolo abbaglio’. Intanto non sarà male rivedere un attimo che cosa si intende per serie convergente, divergente o indeterminata. Data una serie…
Sum [n=0,+oo] an (1)
… se la successione delle somme parziali, definite come…
sn= Sum [i=0, n] an (2)
… amette limite per n -> +00 allora la serie si dice convergente . Se no, vale a dire il limite non esiste, la serie si dice non convergente. In questo caso se la successione delle somme parziali tende a +oo o a –oo per n -> +oo allora la serie si dice divergente, diversamente essa è indeterminata [spesso in quest’ultimo caso, al crescere di n, le sn hanno un andamento ‘oscillante’…]. Pertanto la serie originariamente fornita da Swalke…
Sum [n=0,+oo] (-1)^n * (2n^2-3n+2)/(4n^2+3n+1) (3)
… non essendo convergente [il termine generale non tende a 0 per n-> +oo] , né divergente [la successione selle somme parziali resta limitata in un certo intervallo…] è indeterminata…
Altra cosa del tutto errata che si è vista consiste nell’analisi di una serie a segni alterni [quale è la (3)…] analizzando separatamente le due serie composte dai termini ‘pari e dispari’. Tale procedimento è errato come si può dedurre la semplice esempio che segue. Consideriamo la serie…
Sum [n=1,+oo] (-1)^n /n (4)
Essa è conosciuta come ‚serie armonica a segni alterni’ ed è noto che è conergente e la sua somma è pari a ln 2. Se però esaminiamo le due serie costituite dai termini ‘pari’ e ‘dispari’, vale a dire…
1+1/3+1/5+… -1/2 –1/4 –1/6… (1)
… osserviamo che esse sono entrambe divergenti [sia pure di segno opposto…]. In generale se la serie data non è assolutamente convergente elaborazioni del genere non possono essere fatte e anzi possono portare a veri e propri abbagli…
cordiali saluti
lupo grigio
Sum [n=0,+oo] an (1)
… se la successione delle somme parziali, definite come…
sn= Sum [i=0, n] an (2)
… amette limite per n -> +00 allora la serie si dice convergente . Se no, vale a dire il limite non esiste, la serie si dice non convergente. In questo caso se la successione delle somme parziali tende a +oo o a –oo per n -> +oo allora la serie si dice divergente, diversamente essa è indeterminata [spesso in quest’ultimo caso, al crescere di n, le sn hanno un andamento ‘oscillante’…]. Pertanto la serie originariamente fornita da Swalke…
Sum [n=0,+oo] (-1)^n * (2n^2-3n+2)/(4n^2+3n+1) (3)
… non essendo convergente [il termine generale non tende a 0 per n-> +oo] , né divergente [la successione selle somme parziali resta limitata in un certo intervallo…] è indeterminata…
Altra cosa del tutto errata che si è vista consiste nell’analisi di una serie a segni alterni [quale è la (3)…] analizzando separatamente le due serie composte dai termini ‘pari e dispari’. Tale procedimento è errato come si può dedurre la semplice esempio che segue. Consideriamo la serie…
Sum [n=1,+oo] (-1)^n /n (4)
Essa è conosciuta come ‚serie armonica a segni alterni’ ed è noto che è conergente e la sua somma è pari a ln 2. Se però esaminiamo le due serie costituite dai termini ‘pari’ e ‘dispari’, vale a dire…
1+1/3+1/5+… -1/2 –1/4 –1/6… (1)
… osserviamo che esse sono entrambe divergenti [sia pure di segno opposto…]. In generale se la serie data non è assolutamente convergente elaborazioni del genere non possono essere fatte e anzi possono portare a veri e propri abbagli…
cordiali saluti
lupo grigio
Ragazzi.
Il vostro botta e risposta ha fatto si che io non capissi la validità o meno di una cosa (e per me è importante vederci chiaro anche se in matematica non sono preparato bene come voi).
Sopra io ho fatto un'affrmazione chiedendo se era corretta:
********** (1)
"Data la serie
Sum [n=0,+oo](a)
dove (a) indica la successione, se
Lim [n->oo] (a) non esiste
allora la serie è indeterminata."
**********
Lupo Grigio mi ha risposto dicendo:
**********
L’osservazione da te fatta, ossia che, data una successione an, se non esiste il lim n-> +oo di an non esiste neppure il lim n-> +00 Sum [i=0,n] ai, è certamente esatta.
**********
Poi (a mio avviso giustamente), Woody arrivare i miei sogni di gloria dicendo:
**********
Errore. Sia a_n=2+cos(n). segue che il non esiste il:
lim a_n , tuttavia:
n->inf
sum(a_n,n=1..inf) >= sum(1,n=1..inf)=inf.
**********
Dunque la mia affermazione (1) era errata. Perchè sia corretta come devo fare? Ci sono delle eccezioni? Quali?
Il vostro botta e risposta ha fatto si che io non capissi la validità o meno di una cosa (e per me è importante vederci chiaro anche se in matematica non sono preparato bene come voi).
Sopra io ho fatto un'affrmazione chiedendo se era corretta:
********** (1)
"Data la serie
Sum [n=0,+oo](a)
dove (a) indica la successione, se
Lim [n->oo] (a) non esiste
allora la serie è indeterminata."
**********
Lupo Grigio mi ha risposto dicendo:
**********
L’osservazione da te fatta, ossia che, data una successione an, se non esiste il lim n-> +oo di an non esiste neppure il lim n-> +00 Sum [i=0,n] ai, è certamente esatta.
**********
Poi (a mio avviso giustamente), Woody arrivare i miei sogni di gloria dicendo:
**********
Errore. Sia a_n=2+cos(n). segue che il non esiste il:
lim a_n , tuttavia:
n->inf
sum(a_n,n=1..inf) >= sum(1,n=1..inf)=inf.
**********
Dunque la mia affermazione (1) era errata. Perchè sia corretta come devo fare? Ci sono delle eccezioni? Quali?
caro Swalke
se mi permetti vorrei darti un consiglio: se veramente vuoi venire a capo dei tuoi dubbi cerca di convincere te stesso ragionando con la tua testa e non avrai difficoltà a capire chi tra noi due [l'altro è Woody...] ha preso una solenne cantonata...
Se questo ti può agevolare ti dirò che nel linguaggio matematico il 'limite per n ->+oo di una successione', se esiste, è un numero e che '+oo' non è un numero...
cordiali saluti
lupo grigio
se mi permetti vorrei darti un consiglio: se veramente vuoi venire a capo dei tuoi dubbi cerca di convincere te stesso ragionando con la tua testa e non avrai difficoltà a capire chi tra noi due [l'altro è Woody...] ha preso una solenne cantonata...
Se questo ti può agevolare ti dirò che nel linguaggio matematico il 'limite per n ->+oo di una successione', se esiste, è un numero e che '+oo' non è un numero...
cordiali saluti
lupo grigio
Bhe, io ti ringrazio del consiglio però ti sarei grato se riuscissi a spiegarmi una cosa:
Woody, qui sopra ha postato
*******
Errore. Sia a_n=2+cos(n). segue che il non esiste il:
lim a_n , tuttavia:
n->inf
sum(a_n,n=1..inf) >= sum(1,n=1..inf)=inf.
*******
Questo sembra (a me che forse non ci arrivo tanto) una contraddizione a quella tesi che avevo fatto e che tu mi avevi confermato essere giusta e cioè:
*****
"Data la serie
Sum [n=0,+oo](a)
dove (a) indica la successione, se
Lim [n->oo] (a) non esiste
allora la serie è indeterminata."
*****
Ora, ti sarei davvero infinitamente grato se tu mi spiegassi come mai quella postata da woodi in realtà non è una contraddizione alla mia tesi!
Woody, qui sopra ha postato
*******
Errore. Sia a_n=2+cos(n). segue che il non esiste il:
lim a_n , tuttavia:
n->inf
sum(a_n,n=1..inf) >= sum(1,n=1..inf)=inf.
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Questo sembra (a me che forse non ci arrivo tanto) una contraddizione a quella tesi che avevo fatto e che tu mi avevi confermato essere giusta e cioè:
*****
"Data la serie
Sum [n=0,+oo](a)
dove (a) indica la successione, se
Lim [n->oo] (a) non esiste
allora la serie è indeterminata."
*****
Ora, ti sarei davvero infinitamente grato se tu mi spiegassi come mai quella postata da woodi in realtà non è una contraddizione alla mia tesi!
Devo ammettere due cose.
1)Ho preso davvero una solenne cantonata quando ho trattato separatamente la serie dei termini dispari e quella dei termini pari, e in questo devo dare ragione a Lupo Grigio.
2)Continuo a credere che sia falsa l'affermazione di Lupo Grigio:
"L’osservazione da te fatta, ossia che, data una successione an, se non esiste il lim n-> +oo di an non esiste neppure il lim n-> +00 Sum [i=0,n] ai, è certamente esatta. " Ho già fornito il mio controesempio:
Se a_n=2+cos(n), allora la serie degli a_n diverge a +inf per il criterio del confronto.
Sarei grato se qualcuno provasse a confutare il mio ragionamento.
Saluti,
Woody
1)Ho preso davvero una solenne cantonata quando ho trattato separatamente la serie dei termini dispari e quella dei termini pari, e in questo devo dare ragione a Lupo Grigio.
2)Continuo a credere che sia falsa l'affermazione di Lupo Grigio:
"L’osservazione da te fatta, ossia che, data una successione an, se non esiste il lim n-> +oo di an non esiste neppure il lim n-> +00 Sum [i=0,n] ai, è certamente esatta. " Ho già fornito il mio controesempio:
Se a_n=2+cos(n), allora la serie degli a_n diverge a +inf per il criterio del confronto.
Sarei grato se qualcuno provasse a confutare il mio ragionamento.
Saluti,
Woody
Il problema è solo quello di una corretta definizione. Data la successione di somme parziali, definita come sn= Sum [i=0, n] an, se esiste il limite per n-> +oo della successione delle sn, la serie è per definizione convergente. Diversamente il limite non esiste e in questo caso la serie può essere divergente, se la successione di somme parziali tende a +oo e –oo, oppure indeterminata. Nel caso della serie fornita da Woody…
Sum [n=0,+oo] 2 + cos(n) (1)
… essa è per l’appunto divergente e pertanto il limite delle somme parziale per n-> +oo non esiste…
cordiali saluti
lupo grigio
Sum [n=0,+oo] 2 + cos(n) (1)
… essa è per l’appunto divergente e pertanto il limite delle somme parziale per n-> +oo non esiste…
cordiali saluti
lupo grigio
Appunto...
...ma quindi aveva ragione Woody a dire che la mia tesi:
*****
"Data la serie
Sum [n=0,+oo](a)
dove (a) indica la successione, se
Lim [n->oo] (a) non esiste
allora la serie è indeterminata."
*****
Non è sempre vera!
...infatti nel suo esempio non lo è!
...ma quindi aveva ragione Woody a dire che la mia tesi:
*****
"Data la serie
Sum [n=0,+oo](a)
dove (a) indica la successione, se
Lim [n->oo] (a) non esiste
allora la serie è indeterminata."
*****
Non è sempre vera!
...infatti nel suo esempio non lo è!
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