La nozione di limite non esplicita un dettaglio.

[Schiele.2]

La nozione di limite, presentata formalmente, non esplicita un piccolo dettaglio. Per esempio, quando si dice che una successione converge a un certo numero si scrive che per n tendente a infinito la distanza di a e an è minore di epsilon per un certo n e per ogni epslion. Cioè per ogni epsilon riesco a trovare un n tale per cui tutti i punti dopo distano da a meno di esplion (o meno o uguale). Ora, il dettaglio tralasciato è che se io prendo un epsilon più piccolo necessarimente si troverá dentro l'intorno che ha segnato l'epslion che avevo preso prima, non può trovarsi esternamente, perchè altrimenti non era vera la condizione precedente. Siete d'accordo? Lo so, è ovvio, ma se vogliamo formalizzare si dovrebbe aggiungere questa cosa ma nei libri sembra che non ci badino.

[Epimenide93]

"Schiele.":quando si dice che una successione converge a un certo numero si scrive che per n tendente a infinito la distanza di a e an è minore di epsilon per un certo n e per ogni epslion.

Neanche per sogno. Quello che scrivi non ha senso in nessun contesto. Visto che parli di distanza suppongo tu stia analizzando il caso di successioni a valori in uno spazio metrico \(\displaystyle (X, d) \). In tal caso la definizione è \[ \lim_{i \to \infty} a_i = a \iff \left [ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \nu ( \varepsilon ) \in \mathbb{N} : n > \nu ( \varepsilon) \Rightarrow d(a_n, a) < \varepsilon \right ] \]

"Schiele.":Cioè per ogni epsilon riesco a trovare un n tale per cui tutti i punti dopo distano da a meno di esplion

Questo è approssimativamente corretto, ma non è quello che hai scritto sopra.

"Schiele.":Ora, il dettaglio tralasciato è che se io prendo un epsilon più piccolo necessarimente si troverá dentro l'intorno che ha segnato l'epslion che avevo preso prima, non può trovarsi esternamente, perchè altrimenti non era vera la condizione precedente. Siete d'accordo? Lo so, è ovvio, ma se vogliamo formalizzare si dovrebbe aggiungere questa cosa ma nei libri sembra che non ci badino.

Prima di metterti a discutere la correttezza formale di una definizione dovresti capirla. Il fatto è che non hai chiaro il significato dei quantificatori. Il \(\forall\) nella definizione rende la tua obiezione priva di senso. Precisamente: un epsilon più piccolo di che?

Al massimo si può dire che fissati due valori reali positivi \( \varepsilon < \eta \) allora per i naturali \(\nu (\varepsilon)\) e \(\nu (\eta)\) della definizione vale la relazione \(\nu ( \varepsilon) \geq \nu (\eta)\), ma è una cosa che si dimostra, non c'è ragione di inserirla nella definizione.

[Schiele.2]

"Epimenide93":[quote="Schiele."]quando si dice che una successione converge a un certo numero si scrive che per n tendente a infinito la distanza di a e an è minore di epsilon per un certo n e per ogni epslion.

Neanche per sogno. Quello che scrivi non ha senso in nessun contesto. Visto che parli di distanza suppongo tu stia analizzando il caso di successioni a valori in uno spazio metrico \(\displaystyle (X, d) \). In tal caso la definizione è \[ \lim_{i \to \infty} a_i = a \iff \left [ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \nu ( \varepsilon ) \in \mathbb{N} : n > \nu ( \varepsilon) \Rightarrow d(a_n, a) < \varepsilon \right ] \]

"Schiele.":Cioè per ogni epsilon riesco a trovare un n tale per cui tutti i punti dopo distano da a meno di esplion

Questo è approssimativamente corretto, ma non è quello che hai scritto sopra.

"Schiele.":Ora, il dettaglio tralasciato è che se io prendo un epsilon più piccolo necessarimente si troverá dentro l'intorno che ha segnato l'epslion che avevo preso prima, non può trovarsi esternamente, perchè altrimenti non era vera la condizione precedente. Siete d'accordo? Lo so, è ovvio, ma se vogliamo formalizzare si dovrebbe aggiungere questa cosa ma nei libri sembra che non ci badino.

Prima di metterti a discutere la correttezza formale di una definizione dovresti capirla. Il fatto è che non hai chiaro il significato dei quantificatori. Il \(\forall\) nella definizione rende la tua obiezione priva di senso. Precisamente: un epsilon più piccolo di che?

Al massimo si può dire che fissati due valori reali positivi \( \varepsilon < \eta \) allora per i naturali \(\nu (\varepsilon)\) e \(\nu (\eta)\) della definizione vale la relazione \(\nu ( \varepsilon) \geq \nu (\eta)\), ma è una cosa che si dimostra, non c'è ragione di inserirla nella definizione.[/quote]
Ah, non pensavo si dimostrasse l'ultima cosa che hai scritto. Comunque non avendo padronanza del linguaggio in formule che si usa qui sul Forum mi esprimo male. Quello che volevo dire è l'ultima cosa che hai scritto.