La norma e l'aggiunto di un operatore
Sto affrontando un esercizio sugli operatori nello spazio di hilbert:
In $L^2(-\pi,\pi)$ viene definito l'operatore lineare T come :$(Tf)(x)=\int_-\pi^\pi e^(x-y) f(y)dy$.
Ora la norma di T è definita come $text{sup}_(f in L^2) ||(Tf)(x)||/(||f(x)||)$
quindi per calcolare la norma dovrei fare il sup $sqrt((\int_(-\pi)^(\pi) |\int_-\pi^\pi e^(x-y) f(y)|^2dy)/(\int_(-\pi)^(\pi) |f(y)|^2dy))$ dove il vettore (Tf)(x) può essere calcolato ad esempio sulla base ${1/sqrt(2\pi)e^(i n y)}$????
E poi per trovare l'aggiunto devo fare in modo che $ = $ dove f' e g sono elementi dei rispettivi domini di partenza?
grazie
In $L^2(-\pi,\pi)$ viene definito l'operatore lineare T come :$(Tf)(x)=\int_-\pi^\pi e^(x-y) f(y)dy$.
Ora la norma di T è definita come $text{sup}_(f in L^2) ||(Tf)(x)||/(||f(x)||)$
quindi per calcolare la norma dovrei fare il sup $sqrt((\int_(-\pi)^(\pi) |\int_-\pi^\pi e^(x-y) f(y)|^2dy)/(\int_(-\pi)^(\pi) |f(y)|^2dy))$ dove il vettore (Tf)(x) può essere calcolato ad esempio sulla base ${1/sqrt(2\pi)e^(i n y)}$????
E poi per trovare l'aggiunto devo fare in modo che $
grazie
Risposte
Innanzitutto, come hai fatto a dimostrare che [tex]$T$[/tex] è un operatore di [tex]$L^2$[/tex] in sé?
Se rileggi con attenzione la tua dimostrazione (in cui sicuramente hai usato la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz da qualche parte), ti accorgerai che puoi usare la maggiorazione ottenuta con C-S per ottenere un rough upper bound dei valori possibili per [tex]$||T||$[/tex].
Vedi un po' cosa riesci a trarre da questo suggerimento; poi casomai continuiamo a parlarne qui sul foro.
Se rileggi con attenzione la tua dimostrazione (in cui sicuramente hai usato la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz da qualche parte), ti accorgerai che puoi usare la maggiorazione ottenuta con C-S per ottenere un rough upper bound dei valori possibili per [tex]$||T||$[/tex].
Vedi un po' cosa riesci a trarre da questo suggerimento; poi casomai continuiamo a parlarne qui sul foro.
in effetti provando a risolvere l'integrale mi sembra che l'operatore non mandi in L2, infatti facendo tendere n a infinito....percui quello che ho scritto non è giusto.......
però non ho la più pallida idea di come si maggiora un operatore differenziale;
hai qualche link con degli esempi, il mio libro Real Analysis -Stein- non ne riporta ho solo qualche esempio dello spazio l2(minuscolo)
Ma no, dai... Ti perdi in un bicchier d'acqua.
Hai [tex]$Tf(x) =e^x \int_{-\pi}^\pi e^{-y}\ f(y) \text{ d} y$[/tex] ([tex]$e^x$[/tex] lo puoi portare fuori dall'integrale, perchè è una costante moltiplicativa che non dipende da [tex]$y$[/tex]); quindi [tex]$Tf$[/tex] è un esponenziale moltiplicato per una costante e si ha:
[tex]$||Tf||_2^2=\Big( \int_{-\pi}^\pi e^{-y}\ f(y) \text{ d} y\Big)^2 \ \int_{-\pi}^\pi e^{2x} \text{ d} x =\Big( \int_{-\pi}^\pi e^{-y}\ f(y) \text{ d} y\Big)^2 \ ||e^x||_2^2$[/tex]
ed [tex]$||e^x||_2 <+\infty$[/tex] perchè [tex]$e^x\in L^\infty([-\pi,\pi]) \subseteq L^2([-\pi ,\pi])$[/tex], d'altra parte, per C-S hai:
[tex]$\int_{-\pi}^\pi e^{-y}\ f(y) \text{ d} y \leq \int_{-\pi}^\pi |e^{-y}f(y)| \text{ d} y \leq ||e^{-y}||_2\ ||f||_2$[/tex]
con [tex]$e^{-y} \in L^\infty \subseteq L^2$[/tex] in [tex]$[-\pi ,\pi]$[/tex]; pertanto:
[tex]$||Tf||_2^2\leq ||e^{-y}||_2^2 \ ||e^x||_2^2 ||f||_2^2$[/tex]
ed infine:
[tex]$||Tf||_2\leq ||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2\ ||f||_2 <+\infty$[/tex]
sicché [tex]$Tf \in L^2$[/tex].
In effetti c'è bisogno di Cauchy-Schwarz per far vedere che [tex]$Tf \in L^2$[/tex].
La precedente maggiorazione ti fornisce anche l'upper bound [tex]$||T||\leq ||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2$[/tex]; quindi si tratta di provare (ad esempio) che esiste qualche [tex]$u\in L^2$[/tex] tale che [tex]$||Tu||_2=||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2\ ||u||_2$[/tex]...
Se riesci a farlo vinci, perchè provi che [tex]$||T||=||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2$[/tex].
P.S.: Ho ragionato come se le funzioni fossero reali; se sono complesse non cambia quasi nulla...
Hai [tex]$Tf(x) =e^x \int_{-\pi}^\pi e^{-y}\ f(y) \text{ d} y$[/tex] ([tex]$e^x$[/tex] lo puoi portare fuori dall'integrale, perchè è una costante moltiplicativa che non dipende da [tex]$y$[/tex]); quindi [tex]$Tf$[/tex] è un esponenziale moltiplicato per una costante e si ha:
[tex]$||Tf||_2^2=\Big( \int_{-\pi}^\pi e^{-y}\ f(y) \text{ d} y\Big)^2 \ \int_{-\pi}^\pi e^{2x} \text{ d} x =\Big( \int_{-\pi}^\pi e^{-y}\ f(y) \text{ d} y\Big)^2 \ ||e^x||_2^2$[/tex]
ed [tex]$||e^x||_2 <+\infty$[/tex] perchè [tex]$e^x\in L^\infty([-\pi,\pi]) \subseteq L^2([-\pi ,\pi])$[/tex], d'altra parte, per C-S hai:
[tex]$\int_{-\pi}^\pi e^{-y}\ f(y) \text{ d} y \leq \int_{-\pi}^\pi |e^{-y}f(y)| \text{ d} y \leq ||e^{-y}||_2\ ||f||_2$[/tex]
con [tex]$e^{-y} \in L^\infty \subseteq L^2$[/tex] in [tex]$[-\pi ,\pi]$[/tex]; pertanto:
[tex]$||Tf||_2^2\leq ||e^{-y}||_2^2 \ ||e^x||_2^2 ||f||_2^2$[/tex]
ed infine:
[tex]$||Tf||_2\leq ||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2\ ||f||_2 <+\infty$[/tex]
sicché [tex]$Tf \in L^2$[/tex].
In effetti c'è bisogno di Cauchy-Schwarz per far vedere che [tex]$Tf \in L^2$[/tex].
La precedente maggiorazione ti fornisce anche l'upper bound [tex]$||T||\leq ||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2$[/tex]; quindi si tratta di provare (ad esempio) che esiste qualche [tex]$u\in L^2$[/tex] tale che [tex]$||Tu||_2=||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2\ ||u||_2$[/tex]...
Se riesci a farlo vinci, perchè provi che [tex]$||T||=||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2$[/tex].
P.S.: Ho ragionato come se le funzioni fossero reali; se sono complesse non cambia quasi nulla...
Aggiungo un paio di considerazioni per determinare l'operatore aggiunto di [tex]$T$[/tex].
Guardo le cose da un punto di vista puramente astratto, così ti mostro una cosa un po' più generale che spero ti possa essere d'aiuto in futuro.
Mettiamoci in uno spazio di Hilbert reale [tex]$\big( \mathfrak{H},\langle \cdot ,\cdot \rangle \big)$[/tex]*; fissiamo [tex]$a_1,\ldots ,a_N,b_1\ldots ,b_N \in \mathfrak{H}$[/tex] e per [tex]$u\in \mathfrak{H}$[/tex] poniamo:
(*) [tex]$Tu:=\sum_{n=1}^N \langle u,a_n \rangle \ b_n$[/tex];
si vede immediatamente che il rango [tex]$\mathcal{R}(T)$[/tex] (i.e. l'immagine di [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] mediante [tex]$T$[/tex]) è contenuto nel sottospazio finito dimensionale [tex]$\text{span} \{ b_1,\ldots ,b_N\} \subset \mathfrak{H}$[/tex]: per questa ragione, un operatore di [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] in sé del tipo (*) è detto operatore a rango finito.
Per inciso notiamo che, senza ledere la generalità, si può supporre che i [tex]$b_n$[/tex] siano linearmente indipendenti (infatti, se così non fosse, si potrebbe scrivere [tex]$Tu$[/tex] come combinazione lineare dei soli elementi indipendenti di [tex]$\{ b_1,\ldots ,b_N\}$[/tex] sfruttando le proprietà del prodotto scalare).
Veniamo alla questione dell'aggiunto: scegliamo [tex]$u,v\in \mathfrak{H}$[/tex] e, ricordando la relazione che definisce l'operatore aggiunto, scriviamo:
[tex]$\langle u,T^*v\rangle = \langle Tu,v\rangle =\Big\langle \sum_{n=1}^N \langle u,a_n \rangle \ b_n ,v \Big\rangle = \sum_{n=1}^N \langle b_n,v \rangle \ \langle u,a_n\rangle = \Big\langle u,\sum_{n=1}^N \langle b_n,v\rangle a_n\Big\rangle$[/tex]
quindi confrontando il primo e l'ultimo membro e tenendo presente che [tex]$T^*v$[/tex] è l'unico elemento di [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] che rappresenti l'oparatore lineare [tex]$u\mapsto \langle Tu,v\rangle$[/tex] si trova la:
(**) [tex]$T^*v :=\sum_{n=1}^N \langle b_n,v\rangle \ a_n$[/tex]
cosicché anche [tex]$T^*$[/tex] è un operatore a rango finito ed [tex]$\mathcal{R}(T^*) \subseteq \text{span} \{ a_1,\ldots a_N\}$[/tex].
Probabilmente, se lo spazio è complesso, c'è bisogno di un po' di coniugati qua e là... Ma l'idea è sempre la stessa.
Nel tuo caso hai [tex]$\mathfrak{H} =L^2([-\pi ,\pi]),\ N=1,\ a_1=e^{-y},\ b_1=e^x$[/tex], quindi il tuo operatore [tex]$T$[/tex] è a rango finito e, come osservato sopra, per determinare [tex]$T^*$[/tex] basta applicare saggiamente la (**).
__________
* Wowowowow... La [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] gotica! Wowowowowow!!!
Guardo le cose da un punto di vista puramente astratto, così ti mostro una cosa un po' più generale che spero ti possa essere d'aiuto in futuro.
Mettiamoci in uno spazio di Hilbert reale [tex]$\big( \mathfrak{H},\langle \cdot ,\cdot \rangle \big)$[/tex]*; fissiamo [tex]$a_1,\ldots ,a_N,b_1\ldots ,b_N \in \mathfrak{H}$[/tex] e per [tex]$u\in \mathfrak{H}$[/tex] poniamo:
(*) [tex]$Tu:=\sum_{n=1}^N \langle u,a_n \rangle \ b_n$[/tex];
si vede immediatamente che il rango [tex]$\mathcal{R}(T)$[/tex] (i.e. l'immagine di [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] mediante [tex]$T$[/tex]) è contenuto nel sottospazio finito dimensionale [tex]$\text{span} \{ b_1,\ldots ,b_N\} \subset \mathfrak{H}$[/tex]: per questa ragione, un operatore di [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] in sé del tipo (*) è detto operatore a rango finito.
Per inciso notiamo che, senza ledere la generalità, si può supporre che i [tex]$b_n$[/tex] siano linearmente indipendenti (infatti, se così non fosse, si potrebbe scrivere [tex]$Tu$[/tex] come combinazione lineare dei soli elementi indipendenti di [tex]$\{ b_1,\ldots ,b_N\}$[/tex] sfruttando le proprietà del prodotto scalare).
Veniamo alla questione dell'aggiunto: scegliamo [tex]$u,v\in \mathfrak{H}$[/tex] e, ricordando la relazione che definisce l'operatore aggiunto, scriviamo:
[tex]$\langle u,T^*v\rangle = \langle Tu,v\rangle =\Big\langle \sum_{n=1}^N \langle u,a_n \rangle \ b_n ,v \Big\rangle = \sum_{n=1}^N \langle b_n,v \rangle \ \langle u,a_n\rangle = \Big\langle u,\sum_{n=1}^N \langle b_n,v\rangle a_n\Big\rangle$[/tex]
quindi confrontando il primo e l'ultimo membro e tenendo presente che [tex]$T^*v$[/tex] è l'unico elemento di [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] che rappresenti l'oparatore lineare [tex]$u\mapsto \langle Tu,v\rangle$[/tex] si trova la:
(**) [tex]$T^*v :=\sum_{n=1}^N \langle b_n,v\rangle \ a_n$[/tex]
cosicché anche [tex]$T^*$[/tex] è un operatore a rango finito ed [tex]$\mathcal{R}(T^*) \subseteq \text{span} \{ a_1,\ldots a_N\}$[/tex].
Probabilmente, se lo spazio è complesso, c'è bisogno di un po' di coniugati qua e là... Ma l'idea è sempre la stessa.
Nel tuo caso hai [tex]$\mathfrak{H} =L^2([-\pi ,\pi]),\ N=1,\ a_1=e^{-y},\ b_1=e^x$[/tex], quindi il tuo operatore [tex]$T$[/tex] è a rango finito e, come osservato sopra, per determinare [tex]$T^*$[/tex] basta applicare saggiamente la (**).
__________
* Wowowowow... La [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] gotica! Wowowowowow!!!
Riguardo il primo punto sia $u(y)=e^(-y),int_\-pi^\pi |e^(-y)|^2dy = ||u||_2^2<\infty=>u\inL^2 ( [-\pi ,\pi] )$
Ora $||Te^(-y)||_2 = sqrt(int_\-pi^\pi e^(2x)dx(int_\-pi^\pi e^(-2y)dy)^2) = sinh(2\pi)^(3/2)$
confrontando con $||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2\ ||u||_2\ = sinh(2\pi)^(3/2)$ quindi $||T||=sinh(2\pi)$
per il secondo puntomi verrebbe da dire in base a quanto hai detto: $T^+v = int_\-pi^\pi e^(x-y)v(x) dx$
infatti si ha $ = =int_-\pi^\pi u(y)e^(-y)dy int_-\pi^\pie^xv(x)dx = int_-\pi^\pi v(x)dxint_\-pi^\piu(y)e^(x-y)dy= = $ u,v ovviamente reali....
Ancora una cosa: i 2domini coincidono percio' si parla di autoaggiunto? ovvero $T=T^+$?
ovviamente grazie per la spiegazione esauriente.. ore 2.32 a.m ...vado a nanna
Ora $||Te^(-y)||_2 = sqrt(int_\-pi^\pi e^(2x)dx(int_\-pi^\pi e^(-2y)dy)^2) = sinh(2\pi)^(3/2)$
confrontando con $||e^{-y}||_2\ ||e^x||_2\ ||u||_2\ = sinh(2\pi)^(3/2)$ quindi $||T||=sinh(2\pi)$
per il secondo puntomi verrebbe da dire in base a quanto hai detto: $T^+v = int_\-pi^\pi e^(x-y)v(x) dx$
infatti si ha $
Ancora una cosa: i 2domini coincidono percio' si parla di autoaggiunto? ovvero $T=T^+$?
ovviamente grazie per la spiegazione esauriente.. ore 2.32 a.m ...vado a nanna
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