Jacobiano e differenziabilita di F

[ferretti1]

salve ho incontrato questo esercizio in quelli in preparazione all'esame:

$F:R^2->R^2$ definita come $(x,y)->(sen|x|, x^5+e^y)$ mi chiede di calcolare lo jacobiano e fino qui dovrei aver fatto bene:

$J=((cos|x|,5x^4),(0,e^y))$ e percio il determinante mi viene $J_F=(e^y)*cos|x|$

nella seconda parte invece mi chiede se la funzione è differenziabile in $(1,1)$ e $(0,1)$ io so che una funzione è differenziabile in un punto se le sue derivate parziali sono continue in quel punto essendo tutte funzioni continue è cosi quindi sono arrivato a dire che è differenziabile in entrambi i punti.
puo andare come giustificazione oppure occorre fare il limite per h che tende a zero ecc ecc?
oppure c'è qualche proprieta dello jacobiano di cui sono all'oscure che me lo può confermare?

[Quinzio]

Mi sembra che lo jacobiano corretto sia

$((\"sgn"(x)cos(x), 0),(5x^4, e^y))$

dove $\"sgn"(x)$ è il segno di x.

Per la seconda parte devi stare attento perchè il $\sin|x|$ ha dei punti angolosi, degli spigoli... quindi...

[ferretti1]

si nello jacobiano avevo invertito le derivate miste. Per quanto riguarda la seconda parte è vero ha un punto angoloso nell'origine e percio la derivata non è continua su tutto il dominio. Tuttavia nei punti presi in considerazione non ci dovebbero essere problemi. o sbaglio?