Jacobiano

[bimbozza]

Devo calcolare il jacobiano della trasformazione

[math]u=x^2-y^2[/math]

,

[math] v=2xy[/math]

e la soluzione è una delle seguenti:
a)

[math]sqrt{x^2+y^2}[/math]

b)

[math]\frac{1}{sqrt{x^2+y^2}}[/math]

c)

[math]\frac{1}{4sqrt{x^2+y^2}}[/math]

d)

[math]\frac{1}{6sqrt{x^2+y^2}}[/math]

.
Il determinante mi viene

[math]J= \left(
2x\ -2y\\
2y\ 2x\\
\right)
[/math]

e quindi

[math]J=4(x^2 + y^2)[/math]

che non coincide con nessuna delle soluzioni sopra elencate.
Ho provato anche a determinare il jacobiano della funzione inversa ma mi viene

[math]x=\frac{\sqrt{u- \sqrt{ u^{2} + v^{2}}}}{\sqrt2}[/math]

[math]y=\frac{\sqrt{2} \sqrt{u- \sqrt{u^{2} + v^{2}}}(u+ \sqrt{u^{2} + v^{2}})}{2v}[/math]

da cui, dopo aver calcolato le varie derivate parziali, mi viene

[math]J= \frac{u(u- \sqrt{u^{2} + v^{2}})}{4(u^{2} + v^{2})}[/math]

a questo punto ho sostituito u e v con la trasformazione data per avere un risultato in x e y e, semplificando mi viene

[math] \frac{y^2(y^2 - x^2)}{2(x^2 + y^2)^2}[/math]

. Dove sbaglio?

[ciampax]

Lo Jacobiano! :asd Allora procediamo con calma: abbiamo la trasformazione

[math]\Phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math]

fatta così

[math]\Phi(x,y)=(u,v)=(x^2-y^2,2xy)[/math]

Indichiamo con

[math]\Psi=\Phi^{-1}[/math]

la trasformazione inversa: allora dovrebbe esserti noto che le matrici Jacobiane associate a queste due trasformazioni risultano una l'inversa dell'altra, e cioè

[math]J_\Psi=(J_\Phi)^{-1}[/math]

, per cui i determinanti (o gli jacobiani) delle due matrici soddisfano alla regola

[math]\det(J_{\Psi})=\det(J_\Phi)^{-1}[/math]

Ora, la matrice che hai calcolato è

[math]J_\Phi[/math]

, mentre quello che ti viene chiesto, visto che è espresso in termini di

[math]x,y[/math]

e la trasformazione inversa. Per cui ti chiedo: quale sarà la risposta corretta?

[bimbozza]

Avevo provato anche quel modo, ma evidentemente sbaglio i calcoli. Li posto magari riesci a vedere dov'è l'errore perchè a me non viene nessuna radice quadrata!

[math]J_{\psi}= \left(
\frac{x}{2(x^2+y^2)}\ \frac{y}{2(x^2+y^2)}\\
\frac{-y}{2(x^2+y^2)}\ \frac{x}{2(x^2+y^2)}\\
\right)
[/math]

cioè

[math] J_{\psi}= \frac{1}{4(x^2+y^2)}[/math]

[ciampax]

Effettivamente ora che ci penso a me pare che tra le risposte che hai fornito non vi sia quella corretta (che dovrebbe essere

[math]1/{4(x^2+y^2)}[/math]

). Sei sicura della traccia dell'esercizio?

[bimbozza]

Sicurissima.

[ciampax]

Forse ho capito dove sta il problema: secondo me la cosa è stata scritta in un modo ma la simbologia è diversa. Mi spiego: visto che

[math]u^2+v^2=(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2[/math]

allora

[math]x^2+y^2=\sqrt{u^2+v^2}[/math]

, per cui il determinate Jacobiano della trasformazione risulterebbe

[math]\frac{1}{4(x^2+y^2)}=\frac{1}{4\sqrt(u^2+v^2)}[/math]

Credo che sia l'unica osservazione possibile, però mi pare strano ci sia questa confusione con le notazioni. Da dove salta fuori questo esercizio?

[bimbozza]

è un testo di un vecchio esame

[ciampax]

La risposta è quella (ma rimane la stranezza delle notazioni): se risolvo il sistema

[math]u=x^2-y^2,\ v=2xy[/math]

trovo

[math]x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u},\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}[/math]

(sono sicuro di questo), e se faccio un po' di conti ottengo

[math]J=\left|\begin{array}{ccccc}
\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}}\left(\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}+1\right) & & & & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}}\left(\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\right)\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\
\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}\left(\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}-1\right) & & & & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}\left(\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\right)
\end{array}\right|=[/math]

[math]=\frac{v}{8\sqrt{u^2+v^2}\sqrt{u^2+v^2-u^2}}\cdot\left(\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}+1-\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}+1\right)=\frac{1}{4\sqrt{u^2+v^2}}[/math]

[bimbozza]

Forse, quel giorno,il professore avrà detto a voce che c'era un errore di stampa...Comunque, grazie mille per il tuo aiuto!

[ciampax]

Prego! :asd