Isolare una varibile
allora io ho una un sistema dato dalle lagrangiane eguagliate a zero per trovare gli ottimi di parieto, in sostanza si parla di vincoli per la funzione prinipale.
ho una $L_y= x+3-lambdax=0 $ in cui $lambda=y/(y-1)$ quindi $x+3-yx/(y-1)=0$ io non riesco a isolare la $y$ si dovrebbe trattare di semplici passaggi ma non riesco a separare $xy$
$(y-1)$ può essere al denominatore poichè $y=1$ non risolve la prima equazione del sistema
sul libro la $y$ isolata è $y=1+x/3$
ho una $L_y= x+3-lambdax=0 $ in cui $lambda=y/(y-1)$ quindi $x+3-yx/(y-1)=0$ io non riesco a isolare la $y$ si dovrebbe trattare di semplici passaggi ma non riesco a separare $xy$
$(y-1)$ può essere al denominatore poichè $y=1$ non risolve la prima equazione del sistema
sul libro la $y$ isolata è $y=1+x/3$
Risposte
in sostanza devo esplicitare questa $y/(y-1)=3/x$
.....
.....
$yx=3(y-1)$ da cui $y(x-3)=-3$ e quindi $y=3/(3-x)$?
si anche a me viene così ma allora $y=3/(3-x)$ è uguale a $y=1+x/3$ ed io non riesco a "vederlo"?
edit
si la soluzione del libro di lambda è sbagliata, credo ci sia stato un errore infatti il lambda dell'esercizio precedente è uguale a questo che invece dopo è segnalato nei passaggi successivi come $lambda=y/(1-y)$
se posti il testo dell'esercizio è meglio
mi pare ci siano un po' di sviste/incomprensioni nei post precedenti
a me viene:
$x+3-yx/(y-1)=0$
$(x+3)(y-1) - yx=0$
$xy - x +3y - 3 - yx=0$
$ -x +3y - 3=0$
$3y = 3 + x$
$y = 1 + x/3$
ciao
mi pare ci siano un po' di sviste/incomprensioni nei post precedenti
a me viene:
$x+3-yx/(y-1)=0$
$(x+3)(y-1) - yx=0$
$xy - x +3y - 3 - yx=0$
$ -x +3y - 3=0$
$3y = 3 + x$
$y = 1 + x/3$
ciao
si direi che ho scritto una castroneria nel post in cui ho eguagliato i due membri
allora le due funzioni sono $f(x,y)=xy+3y$ e $g(x,y)=xy+x$
la lagrangiana è $L(x,y)=xy+3y+lambda(x-xy)$ che porta al sistema
${(L_x=y+lambda(1-y)=0), (L_y=x+3-lambdax=0),(lambda>0):}
allora le due funzioni sono $f(x,y)=xy+3y$ e $g(x,y)=xy+x$
la lagrangiana è $L(x,y)=xy+3y+lambda(x-xy)$ che porta al sistema
${(L_x=y+lambda(1-y)=0), (L_y=x+3-lambdax=0),(lambda>0):}
ok, allora i conti che avevo fatto hanno senso e mi sembrano corretti
non capisco però perché tu non esprimi x ed y in funzione di lambda nelle due condizioni che hai scritto, per poi andare a sostituire nel vincolo g=0 da cui determini lambda e, quindi, poi la x ed y
cioè otterresti (s.e.o.):
$y = \frac{\lambda}{\lambda - 1}$
$x = \frac{3}{\lambda - 1}$
che vai appunto a sostituire in $xy+x = 0$ ti trovi $\lambda$ e da qui risali a x ed y
non capisco però perché tu non esprimi x ed y in funzione di lambda nelle due condizioni che hai scritto, per poi andare a sostituire nel vincolo g=0 da cui determini lambda e, quindi, poi la x ed y
cioè otterresti (s.e.o.):
$y = \frac{\lambda}{\lambda - 1}$
$x = \frac{3}{\lambda - 1}$
che vai appunto a sostituire in $xy+x = 0$ ti trovi $\lambda$ e da qui risali a x ed y
solo che non capisco perchè dopo pone lambda maggiore di zero con $y/(1-y)>0$ che dà quindi un insieme di ottimi costitutio da due semirette invece di $y/(y-1)>0$ da lui stesso trovato al mometo di esplicitare le soluzioni
al di là dei conti, la ragione che posso intuire per porre $\lambda$ maggiore o uguale a 0 è che ha un vincolo di disuguaglianza (insomma, si sta lavorando con Kuhn-Tucker, non con Lagrange)
tu hai scritto chi è $g$ ma non hai scritto che vincolo c'è
tu hai scritto chi è $g$ ma non hai scritto che vincolo c'è
diciamo che seguivo l'ordine di risoluzione che in genere usa il libro cioè dalla prima ho ricavato lambda e l'ho sostituito nella seconda per avere X
"Fioravante Patrone":
al di là dei conti, la ragione che posso intuire per porre $\lambda$ maggiore o uguale a 0 è che ha un vincolo di disuguaglianza (insomma, si sta lavorando con Kuhn-Tucker, non con Lagrange)
tu hai scritto chi è $g$ ma non hai scritto che vincolo c'è
si hai ragione ho messo qualcosa.
gli ottimi delle due funzioni f e g sono nei punti in cui i rispettivi gradienti sono linearmente dipendenti e di verso opposto e quindi nei punti di tangenza delle corrispondenti cuve di livello. devo quindi porre $phi(x,y)=g(x,y)-k$
$L(x,y)=f(x,y)+lambda*phi(x,y)$ è la Lagrangiana delle due funzioni e $lambda$ il corrispondente moltiplicatore di Lagrange.
avendo però $gradphi=gradg$ e della Lagrangiana mi interessa solo il gradiente può essere usata la forma
$L(x,y)=f(x,y)+lambda*g(x,y)$ in accordo con il libro
cioè la condizione $lambda>0$ sta a significare che i due gradienti hanno stessa direzione ma versi opposti.
"motorhead":
gli ottimi delle due funzioni f e g sono nei punti in cui i rispettivi gradienti sono linearmente dipendenti e di verso opposto
mi spieghi, se vuoi, cosa stai facendo?
pensavo fosse un pb di max vincolato, mentre forse stai seguendo un'altra strada
che però non mi sembra la strada della scalarizzazione
forse tu blocchi il valore di $g$ a un certo valore $k$ e in corrispondenza di quel valore vai a trovare dove $f$ raggiunge il max
allora hai una famiglia di pb di max vincolato, parametrizzata con $k$
che libro è, quello cui ti riferisci?
certo, scusami la lunghezza ma uso le parole del libro onde evitare magagne
A. Blasi "Corso base di matematica per Economia" ed eserciziario
partendo da una situazioe economica in cui si esaminano esempio due gruppi di individui è definito sul testo "ottimale" nel senso di Pareto se non esiste alcun modo di aumentare la soddifazione di uno dei due gruppi senza ridurre quella dell'altro.
una situazione di questo tipo è descritta ad esempio dalle due funzioni $f(x)=x $ e $g(x)=-x$
dal punto di vista matematico si parte da una schematizzazione che fà riferimento a una funzione $f$ da $S_2$ in $S_2$ e quindi a due funzioni componenti f(x,y) e g(x,y) differenziabili in un aperto $A$ di $S_2$
Vanno ricercati i punti di $A$ nei quali entrambe le funzioni f e g assumono valore quanto più piccolo (o più grande: il problema è concettualmente lo stesso poichè i minimi di $f$ sono i massimi di $-f$) possibile, punti cioè dai quali non sia possibile spostarsi diminuendo (o aumentando) simultaneamente le due funzioni: la diminuzione di una necessariamente aumenta l'altra
sempr dal punto di vista matematico questio problemi possono esser ricondotti a problemi di estremo condizionato: nel caso di funzioni vettoriali con due componenti f e g i punti di ottimo corrispondono ai massimi( minimi) di f sulle curve di livello di g ed ai massimi (minimi) di g sulle cirve di livello di f.
questi punti possono esser quindi cercati facendo uso delle condizioni per gli estremi di funzione (jacobiano,lagrangiana) purchè si tenga conto che:
se si suppone di ricondurre il problema a quello della ricerca degli estremi di $f(x,y)$ sulle curve di livello $Phi_k$, di equazione $g(x,y)=k$, di $g$
Posto $phi(x,y)=g(x,y)-k$ si devono quidi cercare gli estremi di $f(x,y)$ soggetti al vincolo $phi(x,y)=0$
Nell'ipotesi di f e g entrambe di classe $C^1[A]$ si ha ovviamente , qualunque sia k, $gradphi=gradg$ che si suppone diverso dal vettore nullo
$gradf$ e $gradphi$ (e quindi $gradg$) appartengono alla stessa retta.
Ma per un punto di ottimo di Parieto cioò non basta; occorre anche che i due gradienti $gradf$ e $gradg$ abbiano verso opposto in quanto se avessero lo stesso verso , spostandosi concordemente ad esso, aumenterebbero i valori di entrambe le funzioni
A. Blasi "Corso base di matematica per Economia" ed eserciziario
partendo da una situazioe economica in cui si esaminano esempio due gruppi di individui è definito sul testo "ottimale" nel senso di Pareto se non esiste alcun modo di aumentare la soddifazione di uno dei due gruppi senza ridurre quella dell'altro.
una situazione di questo tipo è descritta ad esempio dalle due funzioni $f(x)=x $ e $g(x)=-x$
dal punto di vista matematico si parte da una schematizzazione che fà riferimento a una funzione $f$ da $S_2$ in $S_2$ e quindi a due funzioni componenti f(x,y) e g(x,y) differenziabili in un aperto $A$ di $S_2$
Vanno ricercati i punti di $A$ nei quali entrambe le funzioni f e g assumono valore quanto più piccolo (o più grande: il problema è concettualmente lo stesso poichè i minimi di $f$ sono i massimi di $-f$) possibile, punti cioè dai quali non sia possibile spostarsi diminuendo (o aumentando) simultaneamente le due funzioni: la diminuzione di una necessariamente aumenta l'altra
sempr dal punto di vista matematico questio problemi possono esser ricondotti a problemi di estremo condizionato: nel caso di funzioni vettoriali con due componenti f e g i punti di ottimo corrispondono ai massimi( minimi) di f sulle curve di livello di g ed ai massimi (minimi) di g sulle cirve di livello di f.
questi punti possono esser quindi cercati facendo uso delle condizioni per gli estremi di funzione (jacobiano,lagrangiana) purchè si tenga conto che:
se si suppone di ricondurre il problema a quello della ricerca degli estremi di $f(x,y)$ sulle curve di livello $Phi_k$, di equazione $g(x,y)=k$, di $g$
Posto $phi(x,y)=g(x,y)-k$ si devono quidi cercare gli estremi di $f(x,y)$ soggetti al vincolo $phi(x,y)=0$
Nell'ipotesi di f e g entrambe di classe $C^1[A]$ si ha ovviamente , qualunque sia k, $gradphi=gradg$ che si suppone diverso dal vettore nullo
$gradf$ e $gradphi$ (e quindi $gradg$) appartengono alla stessa retta.
Ma per un punto di ottimo di Parieto cioò non basta; occorre anche che i due gradienti $gradf$ e $gradg$ abbiano verso opposto in quanto se avessero lo stesso verso , spostandosi concordemente ad esso, aumenterebbero i valori di entrambe le funzioni
ciao, il topic è vecchio ma provo a dare un contributo, magari può tornare utile ad altri.
In parole semplici il problema è trovare un ottimo vincolato e quindi (per il teorema del Dini) deve verificarsi, analiticamente, l'uguaglianza di due saggi marginali di sostituzione (rapporto tra grandezze marginali).
Non credo centri nulla Khun-Tucker dato che qui non si parla di vincoli di disuguaglianza.
L'ottimo paretiano si trova proprio dove una posizione non può migliorare senza peggiorarne un'altra: se fosse possibile migliorare contemporaneamente più posizioni allora basterebbe spostarsi su curve di indifferenza migliori e si otterrebbe una benessere più elevato per almeno un operatore e almeno identico (se non migliore) per gli altri.
Questo fatto implica (per considerazioni geometriche) che i gradienti delle curve di vincolo e della funzione da ottimizzare siano sì "tangenti" e quindi abbiano gradienti PROPORZIONALI, ma siano anche orientate in "direzioni" antiparallele e quindi, traducendo il problema a mezzo della Lagrangiana, si deve avere un lambda<0.
Solo così infatti si può avere un punto di ottimo di questo tipo ove il trade-off tra le due curve porterebbe a una situazione peggiore almeno per un operatore.
In parole semplici il problema è trovare un ottimo vincolato e quindi (per il teorema del Dini) deve verificarsi, analiticamente, l'uguaglianza di due saggi marginali di sostituzione (rapporto tra grandezze marginali).
Non credo centri nulla Khun-Tucker dato che qui non si parla di vincoli di disuguaglianza.
L'ottimo paretiano si trova proprio dove una posizione non può migliorare senza peggiorarne un'altra: se fosse possibile migliorare contemporaneamente più posizioni allora basterebbe spostarsi su curve di indifferenza migliori e si otterrebbe una benessere più elevato per almeno un operatore e almeno identico (se non migliore) per gli altri.
Questo fatto implica (per considerazioni geometriche) che i gradienti delle curve di vincolo e della funzione da ottimizzare siano sì "tangenti" e quindi abbiano gradienti PROPORZIONALI, ma siano anche orientate in "direzioni" antiparallele e quindi, traducendo il problema a mezzo della Lagrangiana, si deve avere un lambda<0.
Solo così infatti si può avere un punto di ottimo di questo tipo ove il trade-off tra le due curve porterebbe a una situazione peggiore almeno per un operatore.
Wow, dieci anni? Niente male. 
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