Invertire funzione di terzo grado
Buongiorno,
la funzione che devo invertire è la seguente:
$ y = ax^{3} + 3ax $
dove $ a \ne 0 $ è un parametro.
Io ho calcolato la derivata prima e ne ho studiato il segno ricavando che
.se a è negativo allora la funzione è decrescente
.se a è positivo allora la funzione è crescente
quindi, per ogni a (diverso da 0) la funzione è monotona, biettiva e quindi invertibile.
Non riesco però ad invertirla. Non sono nemmeno riuscito a trovare informazioni che mi abbiano aiutato.
Che procedimento dovrei seguire? Grazie mille del vostro tempo
la funzione che devo invertire è la seguente:
$ y = ax^{3} + 3ax $
dove $ a \ne 0 $ è un parametro.
Io ho calcolato la derivata prima e ne ho studiato il segno ricavando che
.se a è negativo allora la funzione è decrescente
.se a è positivo allora la funzione è crescente
quindi, per ogni a (diverso da 0) la funzione è monotona, biettiva e quindi invertibile.
Non riesco però ad invertirla. Non sono nemmeno riuscito a trovare informazioni che mi abbiano aiutato.
Che procedimento dovrei seguire? Grazie mille del vostro tempo
Risposte
In altre parole, vuoi risolvere un'equazione di terzo grado.
È noto che le strade sono due: trovare un raccoglimento furbo che ti consenta di isolare la \(x\) in funzione di \(y\) oppure usare le formule di Cardano, che sono il raccoglimento più furbo di tutti, e ti portano direttamente alla soluzione.
È noto che le strade sono due: trovare un raccoglimento furbo che ti consenta di isolare la \(x\) in funzione di \(y\) oppure usare le formule di Cardano, che sono il raccoglimento più furbo di tutti, e ti portano direttamente alla soluzione.
oh grazie,
non avevo proprio mai sentito parlare di Cardano.
grazie ancora
non avevo proprio mai sentito parlare di Cardano.
grazie ancora
dato che non sono molto sicuro di aver capito bene,
la funzione da invertire è questa:
$ y = ax^3 + 3ax $
quindi io l'ho scritta in forma implicita ed ho diviso per a
$ x^3 + 3x -y/a = 0 $
a questo punto ho applicato la formula di Cardano:
[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9dffe2a434a9c0c35292821b691b4c4f04b2d35[/img]
con
$ q = -y/a $ e $ p = 3 $
ed ho ottenuto
$ x = root3 { y/(2a) + root2{(y/(2a))^2 + 1} } + root3{ y/(2a) - root2{(y/(2a))^2 + 1} } $
è corretto? o ho sbagliato qualche concetto?
la funzione da invertire è questa:
$ y = ax^3 + 3ax $
quindi io l'ho scritta in forma implicita ed ho diviso per a
$ x^3 + 3x -y/a = 0 $
a questo punto ho applicato la formula di Cardano:
[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9dffe2a434a9c0c35292821b691b4c4f04b2d35[/img]
con
$ q = -y/a $ e $ p = 3 $
ed ho ottenuto
$ x = root3 { y/(2a) + root2{(y/(2a))^2 + 1} } + root3{ y/(2a) - root2{(y/(2a))^2 + 1} } $
è corretto? o ho sbagliato qualche concetto?
È corretto a meno di errori di calcolo. Attento che possono capitare pasticci con numeri complessi in alcuni casi.
"Raptorista":
Attento che possono capitare pasticci con numeri complessi in alcuni casi.
A cosa dovrei stare attento di preciso?
Wiki!
"Raptorista":
Wiki!
scusa ma non capisco.
quale wiki devo guardare? e a quale voce?
io ho già guardato quella pagina. Continuo a non capire in quali pasticci potrei imbattermi.
Mi state dicendo che esistono casi particolari a cui devo prestare attenzione per cui la funzione inversa che ho scritto potrebbe non essere corretta?
Mi state dicendo che esistono casi particolari a cui devo prestare attenzione per cui la funzione inversa che ho scritto potrebbe non essere corretta?
La formula inversa ti dà la soluzione di un'equazione di terzo grado, ma un'equazione di terzo grado ha tre soluzioni in \(\mathbb C\). Nel caso in cui sia invertibile, solo una è reale, però non è detto che la formula non faccia strani scherzi. Non è un argomento molto frequente, per cui devi guardarlo ocn occhio critico e capire se stai facendo bene o no.
scusami se insisto ma continuo a non capire cosa intendi con "strani scherzi".
Intendi dire che il suo dominio potrebbe non essere tutto R?
avevo già controllato che la funzione fosse invertibile ed infatti ha solo una soluzione reale.
inoltre il dominio della funzione inversa è tutto R (in quanto è presente solo la radice quadrata di numeri positivi)
intendi questo con "guardare con occhio critico" ? oppure devo controllare qualcos altro?
Intendi dire che il suo dominio potrebbe non essere tutto R?
avevo già controllato che la funzione fosse invertibile ed infatti ha solo una soluzione reale.
inoltre il dominio della funzione inversa è tutto R (in quanto è presente solo la radice quadrata di numeri positivi)
per cui devi guardarlo ocn occhio critico e capire se stai facendo bene o no
intendi questo con "guardare con occhio critico" ? oppure devo controllare qualcos altro?
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