Inversa f(x)
$f(x)=log|(x-5)/(x-3)|+((x-5)/(x-3))$
f(x) ristretta all'intervallo $x$ appartenente $]5;+infty[$[
a) ha un punto critico di minimo assoluto
b) altro
c) è invertibile e $f^(-1): ]-infty;1[ -> ]5;+infty[$[
d) ha un punto critico di massimo assoluto
come si fa??? io instivamente facevo lo studio di funzione, ne tracciavo il grafico, poi prendevo solo l'intervallo richiesto e attraverso la simmetria rispetto alla retta $x=y$ ne ricavavo il grafico di $f^(-1)$
tuttavia la mia prof ha detto che è un metodo incompleto in quanto non so se su quell'intervallo la funz è invertibile e lei ha adoperato la derivata prima della funzione ma non ci ho capito nulla....a cosa serve???
mi postate un procedimento meno grafico e piu matematico della risoluzione del problema??? grazie!!
f(x) ristretta all'intervallo $x$ appartenente $]5;+infty[$[
a) ha un punto critico di minimo assoluto
b) altro
c) è invertibile e $f^(-1): ]-infty;1[ -> ]5;+infty[$[
d) ha un punto critico di massimo assoluto
come si fa??? io instivamente facevo lo studio di funzione, ne tracciavo il grafico, poi prendevo solo l'intervallo richiesto e attraverso la simmetria rispetto alla retta $x=y$ ne ricavavo il grafico di $f^(-1)$
tuttavia la mia prof ha detto che è un metodo incompleto in quanto non so se su quell'intervallo la funz è invertibile e lei ha adoperato la derivata prima della funzione ma non ci ho capito nulla....a cosa serve???
mi postate un procedimento meno grafico e piu matematico della risoluzione del problema??? grazie!!
Risposte
stavo pensando...ma probabilmente mi sbaglierò.....una funzione per essere invertibile deve essere monotona in un dato intervallo???
perchè pensavo alla funzione $f(x)=x^2$ che non è iniettiva (a meno di una restrizione del dominio) e non è monotona in quanto tra $-infty$ e $0$ è decrescente, poi è crescente; per cui sulla base di questo ragionamento potrei concludere che se una funzione è monotona su un dato intervallo, allora li è invertibile???
perchè pensando a cio potrei fare (sulla base del dominio ristretto della funzione) lo studio della derivata prima e vedere se è sempre crescente o sempre decrescente.....se cio è verificato allora posso invertire la funzione in questo modo:
$f(x):]a;b[->]c;d[$[ allora $f^(-1): ]c;d[->]a;b[$[
chissa se sto facendo un pasticcio...
perchè pensavo alla funzione $f(x)=x^2$ che non è iniettiva (a meno di una restrizione del dominio) e non è monotona in quanto tra $-infty$ e $0$ è decrescente, poi è crescente; per cui sulla base di questo ragionamento potrei concludere che se una funzione è monotona su un dato intervallo, allora li è invertibile???
perchè pensando a cio potrei fare (sulla base del dominio ristretto della funzione) lo studio della derivata prima e vedere se è sempre crescente o sempre decrescente.....se cio è verificato allora posso invertire la funzione in questo modo:
$f(x):]a;b[->]c;d[$[ allora $f^(-1): ]c;d[->]a;b[$[
chissa se sto facendo un pasticcio...
L'inversa della funzione che cerchi non è scrivibile direttmente, ma puoi verificare la sua invertibilità facendo vedere che è sia iniettiva che suriettiva nel suo dominio.
ok.....
1) ma i ragionamenti che ho cercato di formulare sono corretti in generale...o sono delle panzanate assurde???
2) in ogni caso, con iniettività e suriettività (credo che tu intenda, andando a provare dei valori numerici) non risolvo comunque il dilemma del perchè di una derivata......
1) ma i ragionamenti che ho cercato di formulare sono corretti in generale...o sono delle panzanate assurde???
2) in ogni caso, con iniettività e suriettività (credo che tu intenda, andando a provare dei valori numerici) non risolvo comunque il dilemma del perchè di una derivata......
"mikelozzo":
stavo pensando...ma probabilmente mi sbaglierò.....una funzione per essere invertibile deve essere monotona in un dato intervallo???
perchè pensavo alla funzione $f(x)=x^2$ che non è iniettiva (a meno di una restrizione del dominio) e non è monotona in quanto tra $-infty$ e $0$ è decrescente, poi è crescente; per cui sulla base di questo ragionamento potrei concludere che se una funzione è monotona su un dato intervallo, allora li è invertibile???
Direi sì.
perchè pensando a cio potrei fare (sulla base del dominio ristretto della funzione) lo studio della derivata prima e vedere se è sempre crescente o sempre decrescente.....se cio è verificato allora posso invertire la funzione in questo modo:
$f(x):]a;b[->]c;d[$[ allora $f^(-1): ]c;d[->]a;b[$[
chissa se sto facendo un pasticcio...
Nessun pasticcio!
"mikelozzo":
stavo pensando...ma probabilmente mi sbaglierò.....una funzione per essere invertibile deve essere monotona in un dato intervallo???
Direi di no: prendi la funzione che vale $x$ in $[0,1]$ e $1-x$ in $(1, 2]$. Mica è monotona, però è invertibile: l'inversa è la funzione che vale $y$ per $y\in[0,1]$ e $1-y$ per $y\in[-1, 0)$. (mi pare...ma se anche avessi sbagliato qualche conto il concetto è quello).
Tu mi dirai: vabbé, ma comunque sempre di funzioni monotone su intervalli si tratta. E invece si possono costruire funzioni invertibili che non sono monotone neanche su un intervallino lungo un miliardesimo. Per esempio, prendiamo una funzione $sigma:NN\toNN$ che scambia i numeri dispari con i più vicini numeri pari, quindi $1\mapsto2, 2\mapsto1, ...$. Chiaramente questa funzione è invertibile. Allora definiamo una funzione $f:RR\toRR$ che dato un numero $x=d_1...d_k.d_(k+1)d_(k+2)...$ associa $f(x)=d_(sigma(1))d_(sigma(2))...d_(sigma(k)).d_(sigma(k+1))...$. In sostanza dato un numero decimale, gli rimescoliamo tutte le cifre secondo la permutazione $sigma$.
Questa $f$ è invertibile, perché invertibile è pure $sigma$, ma certamente non è monotona. E non lo è su nessun intervallo.
P.S.: Comunque, ai fini del tuo esercizio, questo mio intervento non serve a nulla. E' sicuramente vero che, se una funzione è (strettamente) monotona in un intervallo, allora è invertibile.
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