Inversa

[gior.gia911]

L'esercizio mi dice di determinare in quali intervalli la funzione è invertibile e trovarne l'inversa.
LA funzione data è |arctan(x^2-1/x^2+1) |

allora io so che l 'arctg è l inversa della tag.. poi devo calcolarmi y in funzione di x..e avro così l'inversa..ma del rapporto come faccio? calcolo prima l'inversa della fratta e poi quella dell arctag???
poi ho ragionato sul fatto che l'arctg è definita su tutto R ma la tangente no..quindi gli intervalli sono tutto R tranne 90 e 270 o no?? e soprattutto..in generale gli intervalli come li determino???

[gior.gia911]

forse ci sono..devo calcolare la derivata prima e vedere in quali intervalli questa è > o < di zero..cioè strettamente crescente e decrescente..in questi intervalli la mia funzione sara invertibile giusto??
fatto cio..mi calcolo x in funzione di y..

[gior.gia911]

nessuno sa dirmi come calcolo l inversa di questa funzione???

[Quinzio]

Va bene come dici tu. Trovi degli intervalli in cui la derivata non cambia segno (comunque $!=0$). Devi fare attenzione alle discontinuità,e ai moduli.

[Sk_Anonymous]

Anche se richiede un po' di abilità, puoi procedere in modo puramente algebrico:

$y=|arctan((x^2-1)/(x^2+1))| rarr$

$rarr [tany=(x^2-1)/(x^2+1) ^^ [x<=-1 vv x>=1]] vv [tany=(-x^2+1)/(x^2+1) ^^ [-1
$rarr [x^2=(1+tany)/(1-tany) ^^ [x<=-1 vv x>=1]] vv [x^2=(1-tany)/(1+tany) ^^ [-1
$rarr [x=-sqrt((1+tany)/(1-tany)) ^^ [x<=-1]] vv [x=-sqrt((1-tany)/(1+tany)) ^^ [-1=1]]$