Introduzione assiomatica di $RR$

[Seneca1]

Dopo aver trattato la costruzione del campo reale "alla Dedekind", mi sono messo in testa di affrontare la (forse-più-sterile) trattazione assiomatica dei numeri reali.

Quali assiomi mi servono e quali sono le loro formulazioni equivalenti?

L'assioma di Dedekind ( o di separazione ), che asserisce in buona sostanza che se io ho $A,B$ due sottoinsiemi non vuoti di $RR$ tali che ogni elemento di $A$ sia minore o eguale ad ogni elemento di $B$, allora esiste $xi$ tale che $a <= xi <= b$, $AA a in A , AA b in B$.

Assumendo l'assioma di Dedekind, quali altri assiomi mi servono per costruire $RR$?


Inoltre c'è il seguente assioma:
L'assioma di continuità. Data una successione di intervalli chiusi dimezzati (cioè ogni intervallo è costituito da una delle due metà del precedente) esiste uno ed un solo punto comune a tutti gli intervalli. E' indipendente dall'assioma precedente?

[Seneca1]

Riassumendo: io scrivo gli assiomi che definiscono l'insieme dei numeri reali. Non so ancora se effettivamente $RR$ è non vuoto, ma supponendo noti gli insiemi $NN$, $ZZ$ e $QQ$, l'esistenza di un isomorfismo $psi : QQ -> RR$ mi garantisce che l'insieme dei numeri reali contiene l'insieme dei numeri razionali. L'isomorfismo non fa altro che associare a ciascun elemento di $QQ$ un corrispettivo elemento di $RR$ (coerentemente con l'assiomatica data) (giusto?).
Poi bisognerebbe dimostrare che esiste qualche elemento di $RR$ che non appartiene a $QQ$.

Sbaglio?

[Paolo902]

Ciao Seneca!

Ecco uno spunto di riflessione per te: https://www.matematicamente.it/forum/sul ... 49316.html

Se conosci le successioni di Cauchy (come credo), potrebbe essere un'interessante lettura.

[Sidereus1]

Riflessioni molto interessanti, in questo 3d.

$RR$ è l'insieme più artificioso mai escogitato dai matematici. In definitiva, ritengo che abbia l'unico scopo di giustificare la nozione di limite. La definizione di estremo superiore è in fondo una maschera che nasconde l'idea di limite. Senza estremi superiori non potremmo definire i radicali e i numeri $pi$ ed $e$, per esempio.

In termini molto informali, i numeri reali sono semplicemente i limiti delle successioni di Cauchy di numeri razionali. Basta postulare che ogni successione di Cauchy ammette un limite, per tagliare la testa al toro. In tal caso potremmo scrivere

$x$ $in$ $RR$ se e solo se esiste una successione di Cauchy $x_n$ di razionali tale che $\lim_{n \to \infty}x_n=x$

[j18eos]

"Sidereus":...In termini molto informali, i numeri reali sono semplicemente i limiti delle successioni di Cauchy di numeri razionali...

Informali ma non troppo!

[gugo82]

[OT]

"Sidereus":$RR$ è l'insieme più artificioso mai escogitato dai matematici.

Detto da uno che ha discettato a lungo di iperreali... Divertente!

[/OT]

[Sidereus1]

"gugo82":[OT]

[quote="Sidereus"]$RR$ è l'insieme più artificioso mai escogitato dai matematici.

Detto da uno che ha discettato a lungo di iperreali... Divertente!

[/OT][/quote]

Ho sproloquiato solo di infinitesimi, giammai di iperreali

[yajurveda]

"Seneca":Dopo aver trattato la costruzione del campo reale "alla Dedekind", mi sono messo in testa di affrontare la (forse-più-sterile) trattazione assiomatica dei numeri reali.

Quali assiomi mi servono e quali sono le loro formulazioni equivalenti?

L'assioma di Dedekind ( o di separazione ), che asserisce in buona sostanza che se io ho $A,B$ due sottoinsiemi non vuoti di $RR$ tali che ogni elemento di $A$ sia minore o eguale ad ogni elemento di $B$, allora esiste $xi$ tale che $a <= xi <= b$, $AA a in A , AA b in B$.

Assumendo l'assioma di Dedekind, quali altri assiomi mi servono per costruire $RR$?


Inoltre c'è il seguente assioma:
L'assioma di continuità. Data una successione di intervalli chiusi dimezzati (cioè ogni intervallo è costituito da una delle due metà del precedente) esiste uno ed un solo punto comune a tutti gli intervalli. E' indipendente dall'assioma precedente?

Io mi sto preparando per il primo anno di università e sto studiando autonomamente la trattazione assiomatica di $RR$ perché nessun programma di Analisi la contempla.
Secondo tale trattazione, ovvero secondo quella che io sto seguendo, l'assioma di Dedekind è un teorema: in realtà, il teorema è quello dell'esistenza del sup, equivalente all'assioma di Dedekind.
A parere mio, è una trattazione assolutamente NON sterile quella assiomatica dei numeri reali: rende il piacere intellettuale di costruire una struttura (di cui poi si studiano così profondamente le proprietà) inserendo il minor numero possibile di assiomi (quelli di Zermelo-Fraenkel e quelli di Peano): altrimenti è necessario inserirne proprio a giustificazione delle idee intellettuali fondamentali e non solo per superare ostacoli tecnici.
Tra queste idee fondamentali, sicuramente c'è quella dell'esistenza del sup che discrimina la completezza di $RR$.

Ti fornisco, nel caso sia curioso, il link ad un pdf dei miei appunti (purtroppo manoscritti, quindi anche se di pochissime pagine occupano parecchi bytes, ma la grafia credo sia piuttosto comprensibile) che include il teorema menzionato ed una serie di esercizi i cui risultati sono usati nello stesso.
C'è da precisare che per definire i numeri reali (ed evitare circolarità), si utilizza una notazione non-standard in letteratura:
$ x in RR $ è definito come un oggetto della forma $ LIM_(n -> oo) a(n)$ - dove a(n) è una successione di Cauchy di razionali - senza specificare che cosa essi siano, ma "limitandosi" a definire come funziona l'uguaglianza di tale oggetti (equivalenza di successioni di Cauchy), l'algebra su tali oggetti e l'incorporazione dei razionali tra tali oggetti (verificando la coerenza della loro uguaglianza e algebra) (in pratica, si finisce per definire esattamente cosa sono tali oggetti).
La notazione non standard è quella di LIM: $ LIM_(n -> oo) a(n)$ $ != $ $ lim_(n -> oo) a(n)$ .
Si usa questa perchè poi, dopo aver definito l'operazione di lim sui reali, si dimostra che può incorporare l'oggetto LIM come prima definito.
In sostanza, LIM è una sorta di impalcatura che si mantiene sino a quando non si abbia completamente edificato la struttura lim.

I link sono:
Definizione e uguaglianza dei reali:
http://dl.dropbox.com/u/7378155/1-Definizione%20di%20reali.pdf
Teorema di esistenza del sup(E) ed esercizi i cui risultati sono usati nel teorema (NOTA: quasi tutti sono ESSENZIALI per "percepire" quale sia la proprietà fondamentale utilizzata):
http://dl.dropbox.com/u/7378155/2-Teorema%20esistenza%20sup%28E%29.pdf

EDIT: Mi permetto di copiare qui ciò che ho scritto in un altro thread perchè credo che sia attinente. Alcuni dei passaggi elencati qui sotto sono contenuti negli appunti qui sopra.

La costruzione di [tex]\mathbb{R}[/tex] può, grosso modo, essere svolta in questo modo (dopo aver definito [tex]\mathbb{Q}[/tex]) :
1. Un numero reale può essere definito come una successione di Cauchy. Si può aggiungere, anzichè parlare astrattamente di oggetti, una notazione che serva solo a ricordare che ciò che interessa della successione di cauchy è la possibilità di avvicinarsi arbitrariamente ad un valore: può essere utile una notazione simile a quella di limite, operazione ovviamente non ancora definita, ad esempio LIM al posto di lim, perchè, col senno di poi, si sa che da questa verrà sostituita.
2. Due numeri reali sono definiti uguali SSE le due successioni di Cauchy sono equivalenti (ad esempio, a(n)=1/n e b(n)=-1/n ). Due succ. di Cauchy a(n) e b(n) si possono dire equivalenti [tex]\Leftrightarrow \forall q > 0, q \in \mathbb{Q} , \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \in \mathbb{N}, n\geqslant N, |a(n)-b(n)|\leqslant q[/tex];
3. Si verifica che tale definizione di uguaglianza sia ben definita (verifichi simmetria, transitività, riflessività);
4. Si definiscono le operazioni aritmetiche tra i numeri reali come operazioni aritmetiche sugli elementi razionali della successione corrispondente. Ad eccezione dell'operazione di reciprocità e, quindi, della divisione, che sono molto più "delicate": una successione di reciproci degli elementi razionali di una successione di Cauchy può non essere più una successione di Cauchy; ad esempio si prenda la successione a(n)=1/n.
5. Si verifica che le operazioni aritmetiche siano ben definite (che sia verificato secondo le definizioni fornite per le operazioni l'assioma di sostituzione).
6. Si definisce la positività dei reali: anche questa è un'operazione molto delicata che non si può basare sulla positività dei razionali elementi della successione di Cauchy. Ad esempio, a(n)=1/n è evidentemente costituita da razionali tutti positivi, eppure è equivalente alla successione di Cauchy costituita da tutti 0.
7. Si definisce l'ordinamento dei reali attraverso la positività;
8. Si verifica la tricotomia dei reali.
9. Si verificano una serie di proprietà algebriche sui reali.
10. Si verifica che è possibile incorporare i razionali tra i reali e che tutto ciò sia coerente: che tutte le proprietà precedentemente definite sui razionali valgono anche se questi sono considerati come successioni di Cauchy.
11. Si definisce il maggiorante di un sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex] limitato.
12. Si dimostra il teorema di esistenza del sup (cioè che esiste sempre, costruendolo, un oggetto della forma "successione di Cauchy" che abbia le proprietà di sup).
13. Si definiscono le successioni di Cauchy di REALI e si verifica che tutte le propeità su elencate valgano anche per questi nuovi oggetti (di nuovo, in alcuni punti l'operazione è piuttosto complessa).
14. Si definisce l'operazione di lim attraverso le successioni di Cauchy di reali.
15. Si verifica che la notazione introdotta al punto 1 (io ho usato la notazione LIM) sia compatibile con l'operazione di lim sulle successioni di Cauchy di reali.
16. Si sostituisce definitivamente la notazione introdotta al punto 1 potendo affermare, senza circolarità, che un numero reale è il lim di una successione di Cauchy di razionali.