Introduzione assiomatica di $RR$
Dopo aver trattato la costruzione del campo reale "alla Dedekind", mi sono messo in testa di affrontare la (forse-più-sterile) trattazione assiomatica dei numeri reali.
Quali assiomi mi servono e quali sono le loro formulazioni equivalenti?
L'assioma di Dedekind ( o di separazione ), che asserisce in buona sostanza che se io ho $A,B$ due sottoinsiemi non vuoti di $RR$ tali che ogni elemento di $A$ sia minore o eguale ad ogni elemento di $B$, allora esiste $xi$ tale che $a <= xi <= b$, $AA a in A , AA b in B$.
Assumendo l'assioma di Dedekind, quali altri assiomi mi servono per costruire $RR$?
Inoltre c'è il seguente assioma:
L'assioma di continuità. Data una successione di intervalli chiusi dimezzati (cioè ogni intervallo è costituito da una delle due metà del precedente) esiste uno ed un solo punto comune a tutti gli intervalli. E' indipendente dall'assioma precedente?
Quali assiomi mi servono e quali sono le loro formulazioni equivalenti?
L'assioma di Dedekind ( o di separazione ), che asserisce in buona sostanza che se io ho $A,B$ due sottoinsiemi non vuoti di $RR$ tali che ogni elemento di $A$ sia minore o eguale ad ogni elemento di $B$, allora esiste $xi$ tale che $a <= xi <= b$, $AA a in A , AA b in B$.
Assumendo l'assioma di Dedekind, quali altri assiomi mi servono per costruire $RR$?
Inoltre c'è il seguente assioma:
L'assioma di continuità. Data una successione di intervalli chiusi dimezzati (cioè ogni intervallo è costituito da una delle due metà del precedente) esiste uno ed un solo punto comune a tutti gli intervalli. E' indipendente dall'assioma precedente?
Risposte
In genere oltre ai naturali assiomi algebrici che ti dicono le proprietà delle operazioni, l'assioma che più contraddistingue i numeri reali è la classica proprietà dell'estremo superiore: ogni sottoinsieme di $\RR$ superiormente limitato ammette estremo superiore.
"Luca.Lussardi":
In genere oltre ai naturali assiomi algebrici che ti dicono le proprietà delle operazioni, l'assioma che più contraddistingue i numeri reali è la classica proprietà dell'estremo superiore: ogni sottoinsieme di $\RR$ superiormente limitato ammette estremo superiore.
Perfetto. Ma questo è deducibile da quello di Dedekind che ho riportato nel post precedente?
Sì, credo che siano equivalenti.
In definitiva dovrebbe essere equivalente anche l'assioma degli intervalli inscatolati (quello che prima ho citato come assioma di continuità); giusto?
Grazie!
Grazie!
http://www.dmmm.uniroma1.it/~aglio/a2/supinf.pdf
Qui leggo, infatti, che viene assunto l'assioma di Dedekind e attraverso questo si dimostra, come teorema, che un insieme non vuoto e superiormente limitato di numeri reali ammette sempre un estremo superiore.
Quindi posso tenere a mente l'assioma di Dedekind come punto di partenza?
Grazie.
PS: La proprietà di Archimede è necessaria?
Qui leggo, infatti, che viene assunto l'assioma di Dedekind e attraverso questo si dimostra, come teorema, che un insieme non vuoto e superiormente limitato di numeri reali ammette sempre un estremo superiore.
Quindi posso tenere a mente l'assioma di Dedekind come punto di partenza?
Grazie.
PS: La proprietà di Archimede è necessaria?
Ho provato a dimostrare che se ogni insieme non vuoto e superiormente limitato ha un estremo superiore, allora vale l'assioma di Dedekind.
Dimostrazione:
Comunque si fissi un sottoinsieme di numeri reali $A$ non vuoto e superiormente limitato e un sottoinsieme dell'insieme $M(A)$ dei maggioranti di $A$ ( vale a dire comunque si fissino due insiemi di numeri reali tali che ogni elemento del primo è minore o eguale ad ogni elemento del secondo ) esiste per ipotesi un numero reale $lambda$ (l'estremo superiore di $A$ e il minimo di $M(A)$ ($sup B$)) tale che $a <= lambda <= b$, $AA a in A$ e $AA b in B$.
E' corretta?
Dimostrazione:
Comunque si fissi un sottoinsieme di numeri reali $A$ non vuoto e superiormente limitato e un sottoinsieme dell'insieme $M(A)$ dei maggioranti di $A$ ( vale a dire comunque si fissino due insiemi di numeri reali tali che ogni elemento del primo è minore o eguale ad ogni elemento del secondo ) esiste per ipotesi un numero reale $lambda$ (l'estremo superiore di $A$ e il minimo di $M(A)$ ($sup B$)) tale che $a <= lambda <= b$, $AA a in A$ e $AA b in B$.
E' corretta?
E' corretto, modulo il fatto che potresti essere un po' più chiaro all'inizio, scrivendo:
siano date $A, B$ classi separate con $A<=B$, allora $B \subset M(A)$ e di conseguenza ecc...
Nella tua dimostrazione $B$ salta fuori alla fine senza essere stato presentato. Comunque, ripeto, è solo una questione di forma, l'idea è corretta.
siano date $A, B$ classi separate con $A<=B$, allora $B \subset M(A)$ e di conseguenza ecc...
Nella tua dimostrazione $B$ salta fuori alla fine senza essere stato presentato. Comunque, ripeto, è solo una questione di forma, l'idea è corretta.
"dissonance":
Nella tua dimostrazione $B$ salta fuori alla fine senza essere stato presentato.
Hai ragione, grazie mille...
Comunque la proprietà di Archimede si può desumere dagli assiomi. A me piace dividere gli assiomi dei numeri reali in tre classi:
- [*:4pql4kib]assiomi algebrici: $RR$ è un campo;[/*:m:4pql4kib]
[*:4pql4kib]assiomi topologici: $RR$ è un continuo lineare (linear continuum):
su di esso è definita una relazione d'ordine stretto $<$ che ha
la proprietà dell'estremo superiore;
la proprietà $x
$x
_______________
Una noticina: assumendo l'esistenza di $RR$ introdotto in questa maniera assiomatica è possibile costruire i numeri naturali come sottoinsieme, precisamente come il più piccolo sottoinsieme induttivo di $RR$. In sostanza si segue il percorso inverso rispetto a quello di Dedekind. Riferimento: J. Munkres Topology, §4: The Integers and the Real Numbers.
C'è un passaggio sul testo "Analisi Matematica" di Prodi che non mi è molto chiaro:
http://img59.imageshack.us/img59/8536/scan10004g.jpg
Non mi sono chiari i passaggi concettuali.
Credo che stia dando materialmente un isomorfismo $psi$ per dimostrare che $RR$, come corpo ordinato, senza l'assioma di completezza ( o la proprietà dell'estremo superiore ) , è isomorfo a $QQ$. Sbaglio?
http://img59.imageshack.us/img59/8536/scan10004g.jpg
Non mi sono chiari i passaggi concettuali.
Credo che stia dando materialmente un isomorfismo $psi$ per dimostrare che $RR$, come corpo ordinato, senza l'assioma di completezza ( o la proprietà dell'estremo superiore ) , è isomorfo a $QQ$. Sbaglio?
Sì, egli scrive che $\mathbb{Q}$ è isomorfo ad un sottocorpo di $\mathbb{R}$ mediante $\psi$ come corpo ordinato; ultimo periodo della pagina mostrata!
"j18eos":
Sì, egli scrive che $\mathbb{Q}$ è isomorfo ad un sottocorpo di $\mathbb{R}$ mediante $\psi$ come corpo ordinato; ultimo periodo della pagina mostrata!
Su quello, allora, siamo d'accordo. Ma i passaggi della dimostrazione?
E' tutto piuttosto obbligato, Seneca. Lui dice: se una applicazione $psi$ con le caratteristiche richieste dovesse esistere, necessariamente $psi(0)=0, psi(1)=1$; da ciò segue che necessariamente $psi(m)=psi(1+1+...+1)=psi(1)+psi(1)+...+psi(1)$, $psi(-m)=-psi(m)$, $psi(p/q)=(psi(p))/(psi(q))$, ... Quindi l'applicazione $psi$ è univocamente individuata: successivamente si verifica, ma l'autore giustamente lascia correre per non entrare in dettagli seccanti, che questa $psi$ ha le caratteristiche richieste.
L'autore ha usato la proprietà di $RR$ di essere un corpo ordinato; senza l'ordine, non avrebbe potuto fare nulla di tutto questo (e infatti esistono corpi non ordinati che non contengono affatto una copia di $QQ$ - per esempio $ZZ_3$, oppure ne contengono delle copie ma non univocamente individuate - per esempio $CC$).
*** EDIT ***
Sull'ultimo esempio, che adesso è segnato in rosso, ho qualche perplessità al ripensarci. Formalizzo meglio la terminologia usata.
Se $K, F$ sono due campi, dicendo che $K$ contiene una copia di $F$ intendo che esiste una applicazione $psi: F \to K$ ingettiva e tale che $psi(a+b)=psi(a)+psi(b), psi(ab)=psi(a)psi(b)$ (omomorfismo ingettivo). Dicendo che $K$ contiene una copia univocamente individuata di $F$ intendo che un tale omomorfismo $psi$ è unico.
Ora quello che Prodi dimostra nel testo è che $RR$ contiene una copia univocamente individuata di $QQ$. Io mi sono spinto ad affermare che $CC$ non contiene una unica copia di $QQ$. Ma quest'ultima affermazione mi sembra falsa, ad una occhiata più attenta.
L'autore ha usato la proprietà di $RR$ di essere un corpo ordinato; senza l'ordine, non avrebbe potuto fare nulla di tutto questo (e infatti esistono corpi non ordinati che non contengono affatto una copia di $QQ$ - per esempio $ZZ_3$, oppure ne contengono delle copie ma non univocamente individuate - per esempio $CC$).
*** EDIT ***
Sull'ultimo esempio, che adesso è segnato in rosso, ho qualche perplessità al ripensarci. Formalizzo meglio la terminologia usata.
Se $K, F$ sono due campi, dicendo che $K$ contiene una copia di $F$ intendo che esiste una applicazione $psi: F \to K$ ingettiva e tale che $psi(a+b)=psi(a)+psi(b), psi(ab)=psi(a)psi(b)$ (omomorfismo ingettivo). Dicendo che $K$ contiene una copia univocamente individuata di $F$ intendo che un tale omomorfismo $psi$ è unico.
Ora quello che Prodi dimostra nel testo è che $RR$ contiene una copia univocamente individuata di $QQ$. Io mi sono spinto ad affermare che $CC$ non contiene una unica copia di $QQ$. Ma quest'ultima affermazione mi sembra falsa, ad una occhiata più attenta.
Gli assiomi di continuità sono: Assioma di Dedekind, Assioma di Archimede e l'assioma di Aristotele. Ma di fatto dall'assioma di dedekind si può dimostrare quello di Archimede e da quello di Archimede quello di Aristotele. Vengono tutti chiamati assiomi per due motivi:
1) ragioni storiche
2) si possono definire geometrie in cui l'assioma di continuità viene rilassato nelle due forme scritte sopra.
In ogni caso di fatto gli assiomi usati non sono sempre fissi... Quelli di dissonance mi paiono completi. Anche se di fatto penso che si possa definire $\RR$ come il completamento di $\QQ$ definito come campo di caratteristica 0 e come ordine denso senza estremi.
1) ragioni storiche
2) si possono definire geometrie in cui l'assioma di continuità viene rilassato nelle due forme scritte sopra.
In ogni caso di fatto gli assiomi usati non sono sempre fissi... Quelli di dissonance mi paiono completi. Anche se di fatto penso che si possa definire $\RR$ come il completamento di $\QQ$ definito come campo di caratteristica 0 e come ordine denso senza estremi.
"vict85":
In ogni caso di fatto gli assiomi usati non sono sempre fissi... Quelli di dissonance mi paiono completi. Anche se di fatto penso che si possa definire $\RR$ come il completamento di $\QQ$ definito come campo di caratteristica 0 e come ordine denso senza estremi.
Però il punto di vista è diverso (quasi opposto). Come dici tu si DEFINISCONO i reali come completamento di $QQ$ (a sua volta definito a partire dagli interi ...). Il Prodi invece non definisce
i reali, dà una serie di assiomi che li individuano univocamente (a meno di isomorfismi). Se si segue questa strada ci si fida dell'esistenza dei reali (e, come dice dissomance, gli interi
si possono definire come il minimo insieme induttivo). E' una via "economica" per fare rigorosamente l'analisi senza invischiarsi nella costruzione dei numeri reali.
Grazie delle esemplificazioni. Probabilmente mi sono perso nel cercare di capire come definisse questo isomorfismo.
"ViciousGoblin":
[quote="vict85"]
In ogni caso di fatto gli assiomi usati non sono sempre fissi... Quelli di dissonance mi paiono completi. Anche se di fatto penso che si possa definire $\RR$ come il completamento di $\QQ$ definito come campo di caratteristica 0 e come ordine denso senza estremi.
Però il punto di vista è diverso (quasi opposto). Come dici tu si DEFINISCONO i reali come completamento di $QQ$ (a sua volta definito a partire dagli interi ...). Il Prodi invece non definisce
i reali, dà una serie di assiomi che li individuano univocamente (a meno di isomorfismi). Se si segue questa strada ci si fida dell'esistenza dei reali (e, come dice dissomance, gli interi
si possono definire come il minimo insieme induttivo). E' una via "economica" per fare rigorosamente l'analisi senza invischiarsi nella costruzione dei numeri reali.[/quote]
Più che economico penso sia motivato dal fatto che la mia definizione richiede come minimo (le altre cose possono essere definite assiomaticamente senza entrare nelle teorie algebriche e logiche annesse) delle definizioni e proprietà base di spazi metrici, successioni e limiti. La costruzione comunque di $QQ$ non deve necessariamente essere quella canonica a partire da $ZZ$. A meno di isomorfismi è univocamente determinato dalle sue proprietà di ordine e di campo. Comunque questa definizione semplicemente evita l'uso dell'assioma di Dedekind e aggiunge tutta la teoria topologica degli spazi metrici. Può essere comodo rispetto a Dedekind perché non richiede di dimostrare la completezza di $RR$...
"vict85":
Più che economico penso sia motivato dal fatto che la mia definizione richiede come minimo (le altre cose possono essere definite assiomaticamente senza entrare nelle teorie algebriche e logiche annesse) delle definizioni e proprietà base di spazi metrici, successioni e limiti. La costruzione comunque di $QQ$ non deve necessariamente essere quella canonica a partire da $ZZ$. A meno di isomorfismi è univocamente determinato dalle sue proprietà di ordine e di campo. Comunque questa definizione semplicemente evita l'uso dell'assioma di Dedekind e aggiunge tutta la teoria topologica degli spazi metrici. Può essere comodo rispetto a Dedekind perché non richiede di dimostrare la completezza di $RR$...
Guarda, io parlavo dell'approccio del libro di Analisi Uno del Prodi, in cui si si introducono i reali, con quella lista di assiomi in cui c'è l'assioma di completezza, e tutto il resto si deriva da questi.
Quindi si definiscono gli interi (come minimo insieme induttivo - anche se qui il Prodi non è precisissimo) e poi i razionali e da qui si parte per fare estremi superiori, successioni limite e via via tutta l'analisi. A me sembrava più economico del modo che avevo imparato io a suo tempo consistente nel partire dagli interi, mediante gli assiomi di Peano, costruire i razionali e poi
i reali (come sezioni) DIMOSTRANDO la validità di quegli assiomi. Naturalmente ti devi fidare dell'esistenza dei reali (ma nell'altro modo ti devi fidare dell'esistenza degli interi - a meno di non costruire gli interi mediante la teoria degli insiemi, e qui ti fidi e basta
).Tutto qui.
Già. Poi, se non sbaglio, per far vedere che effettivamente esiste un corpo che soddisfa questi assiomi, fornisce un modello: quello degli allineamenti decimali.
"Seneca":
Già. Poi, se non sbaglio, per far vedere che effettivamente esiste un corpo che soddisfa questi assiomi, fornisce un modello: quello degli allineamenti decimali.
Però questo è un po' barare, visto che per parlare di allineamenti ci vogliono gli interi (e in effetti, come dicevo prima, il Prodi gioca su due tavoli e gli interi li dà per buoni) .
Qui però ci vorrebbe un esperto di logica ...
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