Intervallo aperto, intervallo chiuso..
In molti teoremi che sto studiando, come ipotesi iniziali si dice che una funzione e' continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in un intervallo aperto (a,b)... Non riesco bene a capire il significato di questo, non basta dire continua e derivabile in un intervallo [a,b]?
Risposte
No forse mi avete frainteso. Io intendevo veramente ringraziare signor.nessuno per la sua definizione! Volevo semplicemente dire che questa questione sulle definizioni un po' mi ha turbato visto che si tratta di cose che dovrebbero essere per me ben assodate! Poi per me, l'usare una definizione o l'altra non e' poi un dramma (visto che comunque cambierebbe qualcosa solo in casi "speciali"), ma mi piacerebbe sapere quale e' la definizione "ufficiale" da tutti accettata. NON volevo assolutamente dire che io ne so' piu' di voi e che quindi ho ragione io...
Visto che sul mio libro si parla di punti interni, ma non si fa esplicitamente riferimento ai punti esterni sono contento che su qualche altro testo si faccia invece esplicito riferimento a questa situazione...
Al dila' di questo ci sono un paio di cose che ancora non ho capito:
Di topologia sono un po' ignorante perche' faccio ing. e da me un corso di topologia non esiste, ma un insieme che contiene un solo punto per me e' un insieme chiuso! Infatti contiene tutti i suoi punti di accumulazione ed in oltre detto p quell'unico punto R \ {p} e' aperto perche' p e' un punto di frontiera per R \ {p}. Quindi {p} NON e' un intorno di p. Come (a,p] non e' un intorno di p visto che non esiste un aperto interamente in esso contenuto cui appartenga p.
La funzione che citi tu se ristretta agli irrazionali non e' derivabile in 0 visto che 0 non e' irrazionale. Una funzione non puo' essere derivabile fuori dal suo dominio...
Come ultima cosa vorrei proporre un modo, perverso lo ammetto, per conciliare la questione: quando si fa la derivata in zero di sin(x)/x, in realta' si prolunga per continuita' la funzione in zero e poi si fa la derivata. Qui', lasciando la definizione canonica di derivata col limite da due parti (se poi e' quella canonica, ormai non ne sono piu' tanto sicuro) si puo' pensare di prolungare con una retta di pendenza uguale alla derivata da destra (o da sinistra a seconda della funzione) in un intervallo "piccolo" la funzione... In questo modo e' sempre ammessa la derivata sul bordo e non occorre dire che essa e' una derivata calcolata con una definizione ad hoc per il bordo...
Visto che sul mio libro si parla di punti interni, ma non si fa esplicitamente riferimento ai punti esterni sono contento che su qualche altro testo si faccia invece esplicito riferimento a questa situazione...
Al dila' di questo ci sono un paio di cose che ancora non ho capito:
Di topologia sono un po' ignorante perche' faccio ing. e da me un corso di topologia non esiste, ma un insieme che contiene un solo punto per me e' un insieme chiuso! Infatti contiene tutti i suoi punti di accumulazione ed in oltre detto p quell'unico punto R \ {p} e' aperto perche' p e' un punto di frontiera per R \ {p}. Quindi {p} NON e' un intorno di p. Come (a,p] non e' un intorno di p visto che non esiste un aperto interamente in esso contenuto cui appartenga p.
La funzione che citi tu se ristretta agli irrazionali non e' derivabile in 0 visto che 0 non e' irrazionale. Una funzione non puo' essere derivabile fuori dal suo dominio...
Come ultima cosa vorrei proporre un modo, perverso lo ammetto, per conciliare la questione: quando si fa la derivata in zero di sin(x)/x, in realta' si prolunga per continuita' la funzione in zero e poi si fa la derivata. Qui', lasciando la definizione canonica di derivata col limite da due parti (se poi e' quella canonica, ormai non ne sono piu' tanto sicuro) si puo' pensare di prolungare con una retta di pendenza uguale alla derivata da destra (o da sinistra a seconda della funzione) in un intervallo "piccolo" la funzione... In questo modo e' sempre ammessa la derivata sul bordo e non occorre dire che essa e' una derivata calcolata con una definizione ad hoc per il bordo...
Hai ragione, dovevo dire «... mentre lo è se la restringo ai razionali o all'unione di {0} e degli irrazionali.»
Riposto da sopra:
«Mi pare che ... si confondano "chiuso" con "non aperto", mentre non c'è alcun nesso ...»
{P} è sicuramente chiuso, ma questo non implica automaticamente che non possa anche essere aperto: lo è sse P è un punto isolato.
La derivata in 0 di sen(x)/x non esiste, eventualmente se hai la funzione x²·sen(x)puoi (prima) prolungarla e (poi) farne la derivata.
Ma il prolungamento "canonico" è per contunuità, per cui puoi prolungarla sulla chiusura di un insieme, ma non in un intero intervallo. Eventualmente in un intervallo puoi prolungarlo con altre tecniche (per esempio Taylor), ma non è assolutamente detto che trovi un tratto di retta.
Riposto da sopra:
«Mi pare che ... si confondano "chiuso" con "non aperto", mentre non c'è alcun nesso ...»
{P} è sicuramente chiuso, ma questo non implica automaticamente che non possa anche essere aperto: lo è sse P è un punto isolato.
La derivata in 0 di sen(x)/x non esiste, eventualmente se hai la funzione x²·sen(x)puoi (prima) prolungarla e (poi) farne la derivata.
Ma il prolungamento "canonico" è per contunuità, per cui puoi prolungarla sulla chiusura di un insieme, ma non in un intero intervallo. Eventualmente in un intervallo puoi prolungarlo con altre tecniche (per esempio Taylor), ma non è assolutamente detto che trovi un tratto di retta.
x infinito
Scusa ma in R: {p} e' chiuso secondo tutte le definizioni di chiusura che ho trovato. Non e' anche aperto perche' tutti i suoi punti non sono interni ma di frontiera.
Per la funzione che hai dato come esempio hai ragione ristretta come dici tu viene fuori derivabile in zero.
Infine il seno cardinale (sin(x)/x) e' una funzione analitica (piu' che C^\infty) e sui suoi sviluppi si fonda gran parte della teoria del segnale.
Concludendo: direi che mi avete convinto si puo' estendere la derivata sul bordo e, che sia questa o no la definizione "vera", non cambia, in realta', molto. Anzi molto probabilmente questa E' la definizione "ufficiale": e' equivalente a quella che prima consideravo quella "standard", ma permette di definire, senza creare problemi, la derivata anche sui bordi degli insiemi. E' "piu' appetibile" e quindi probabilmente i matematici del passato, da grandi furboni che erano, scelsero questa...
Scusa ma in R: {p} e' chiuso secondo tutte le definizioni di chiusura che ho trovato. Non e' anche aperto perche' tutti i suoi punti non sono interni ma di frontiera.
Per la funzione che hai dato come esempio hai ragione ristretta come dici tu viene fuori derivabile in zero.
Infine il seno cardinale (sin(x)/x) e' una funzione analitica (piu' che C^\infty) e sui suoi sviluppi si fonda gran parte della teoria del segnale.
Concludendo: direi che mi avete convinto si puo' estendere la derivata sul bordo e, che sia questa o no la definizione "vera", non cambia, in realta', molto. Anzi molto probabilmente questa E' la definizione "ufficiale": e' equivalente a quella che prima consideravo quella "standard", ma permette di definire, senza creare problemi, la derivata anche sui bordi degli insiemi. E' "piu' appetibile" e quindi probabilmente i matematici del passato, da grandi furboni che erano, scelsero questa...
Allora, forse e' il caso di mettere in chiaro alcune cose. Il limite e' definito per x che tende ad un punto di accumulazione per una funzione. Quindi la definizione di derivata si potrebbe dare anche solo se 0 e' un punto di accumulazione del rapporto incrementale R(x,h).
Il punto e' che la derivata fatta al bordo o in punti non interni in generale non ha la stessa utilita' che ha se viene definita all'interno. Ad esempio non e' piu' vero il Th che dice che una funzione regolare e derivabile con massimo o minimo locali in x ha f'(x)=0.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Il punto e' che la derivata fatta al bordo o in punti non interni in generale non ha la stessa utilita' che ha se viene definita all'interno. Ad esempio non e' piu' vero il Th che dice che una funzione regolare e derivabile con massimo o minimo locali in x ha f'(x)=0.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Per il signor.nessuno
Quindi se definisci la derivata in un punto interno come quella "ufficiale" (... destra e sinistra ...) e ai bordi come "destra" o "sinistra", in pratica la definisci semplicemente come limite del rapporto incrementale. Concordi, no?
Se poi vuoi dare un ruolo particolare alla derivata in un punto di un aperto (ma perché aggiungere sempre "intervallo"? se serva si può eventualmente aggiungere come ipotesi "aggiuntiva") le puoi dare un mome particolare, per esempio: "derivata aperta", "derivata interna, "derivata in un punto interno" o "derivona".
Per david_e{P} non nè aperto in R, ma lo è, per esempio, in N, poichè N è discredto, cioè ogni suo punto è isolato.
Non ho capito bene se dici che sen(x)/x è derivabile infintamente in 0: lo è in tutti gli altri punti, mentre in 0 non è nemmeno definibile con continuità.
Per Luca.Lussardi.
Riscrivo qualcosa che ho già postato sopra:
«
La domande principali che mi faccio quando scelgo una definizione non riguardano l’uso nei teoremi (se li semplifico o li complico), ma mi chiedo «LA DEFINIZIONE è più semplice?» (cioè: si eliminano richieste aggiuntive che possono non essere indispensabili?) e «gli enti “aggiunti” con la definizione generalizzata sono effettivamente quello che ho definito?».
Quindi chiedo a voi se quello che ottengo negli estremi con la “proposta di derivata” è effettivamente la derivata negli estremi, o c’è qualche motivo “intrinseco” che vi porta a scartarla?
»
Ne segue che la motivazione «Il punto e' che la derivata fatta al bordo o in punti non interni in generale non ha la stessa utilita' che ha se viene definita all'interno» non è significativo.
Comunque credo di aver capito che, nonostante le differenti impostazioni, concordi che dalla definizione che usi anche tu (limite del rapporto incrementale) segue "obbligatoriamente" che la derivata è definita anche negli estremi di un intervallo (quando esistono).
E comunque ti chiedo: se dovessi introdurre tu "ex novo" la definizione di derivata (cioè se l'avessi scoperta tu e nessuno ne sapesse nulla) come la introduresti?
Quindi se definisci la derivata in un punto interno come quella "ufficiale" (... destra e sinistra ...) e ai bordi come "destra" o "sinistra", in pratica la definisci semplicemente come limite del rapporto incrementale. Concordi, no?
Se poi vuoi dare un ruolo particolare alla derivata in un punto di un aperto (ma perché aggiungere sempre "intervallo"? se serva si può eventualmente aggiungere come ipotesi "aggiuntiva") le puoi dare un mome particolare, per esempio: "derivata aperta", "derivata interna, "derivata in un punto interno" o "derivona".
Per david_e{P} non nè aperto in R, ma lo è, per esempio, in N, poichè N è discredto, cioè ogni suo punto è isolato.
Non ho capito bene se dici che sen(x)/x è derivabile infintamente in 0: lo è in tutti gli altri punti, mentre in 0 non è nemmeno definibile con continuità.
Per Luca.Lussardi.
Riscrivo qualcosa che ho già postato sopra:
«
La domande principali che mi faccio quando scelgo una definizione non riguardano l’uso nei teoremi (se li semplifico o li complico), ma mi chiedo «LA DEFINIZIONE è più semplice?» (cioè: si eliminano richieste aggiuntive che possono non essere indispensabili?) e «gli enti “aggiunti” con la definizione generalizzata sono effettivamente quello che ho definito?».
Quindi chiedo a voi se quello che ottengo negli estremi con la “proposta di derivata” è effettivamente la derivata negli estremi, o c’è qualche motivo “intrinseco” che vi porta a scartarla?
»
Ne segue che la motivazione «Il punto e' che la derivata fatta al bordo o in punti non interni in generale non ha la stessa utilita' che ha se viene definita all'interno» non è significativo.
Comunque credo di aver capito che, nonostante le differenti impostazioni, concordi che dalla definizione che usi anche tu (limite del rapporto incrementale) segue "obbligatoriamente" che la derivata è definita anche negli estremi di un intervallo (quando esistono).
E comunque ti chiedo: se dovessi introdurre tu "ex novo" la definizione di derivata (cioè se l'avessi scoperta tu e nessuno ne sapesse nulla) come la introduresti?
x infinito
f(x) = sin(x) / x
Prolungata con continuita ponendo f(0)=1 e' derivabile infinite volte ed in oltre e' uguale al suo polinomio di Mac-Laurin su tutto C. (Detto bene il limite delle somme parziali del poli. di Mac-Laurin converge uniformemente a sin(x) / x).
Per la definizione di derivata destra e sinistra: se si potesse estendere il teorema di Taylor facendo sviluppi con le derivate sul bordo del dominio (credo di si) sarebbe una cosa utilissima visto che, a quanto pare, non introduce particolari problemi... quindi ben venga la definizione "alternativa"...
f(x) = sin(x) / x
Prolungata con continuita ponendo f(0)=1 e' derivabile infinite volte ed in oltre e' uguale al suo polinomio di Mac-Laurin su tutto C. (Detto bene il limite delle somme parziali del poli. di Mac-Laurin converge uniformemente a sin(x) / x).
Per la definizione di derivata destra e sinistra: se si potesse estendere il teorema di Taylor facendo sviluppi con le derivate sul bordo del dominio (credo di si) sarebbe una cosa utilissima visto che, a quanto pare, non introduce particolari problemi... quindi ben venga la definizione "alternativa"...
Mi scuso se rispondo solo ora, ma avevo il telefono fuori uso.
Per il signor.nessuno
Mi pare che si sia perfettamente daccordo, anche se io conosco molto meno libri di te (e comunemente non rovi lì le mie idee/convinzioni).
Per david_e
Mi scuso per davvero: riguardo a sen(x)/x ho detto delle emerite cavolate (pensa che mi ero confuso con sen(1/x)/x, per cui non mi sembrava nemmeno limitata in un intorno dello 0...). Scusa.
Quindi alla fine mi pare che possiamo concordare tutti che la definizione divisa in "...destra e sinistra ..." sia inutilmente (ansi: dannosamente) complicata, e che sia logico definirla semplcemente come limite del rapporto incrementale.-
Viva le definizioni semplici!
Per il signor.nessuno
Mi pare che si sia perfettamente daccordo, anche se io conosco molto meno libri di te (e comunemente non rovi lì le mie idee/convinzioni).
Per david_e
Mi scuso per davvero: riguardo a sen(x)/x ho detto delle emerite cavolate (pensa che mi ero confuso con sen(1/x)/x, per cui non mi sembrava nemmeno limitata in un intorno dello 0...). Scusa.
Quindi alla fine mi pare che possiamo concordare tutti che la definizione divisa in "...destra e sinistra ..." sia inutilmente (ansi: dannosamente) complicata, e che sia logico definirla semplcemente come limite del rapporto incrementale.-
Viva le definizioni semplici!
x Infinito
Non ti preoccupare io di cavolate ne dico molte piu' di te.
Non c'e' bisogno di scusarsi: non mi hai fatto alcun torto...
Direi che siamo tutti d'accordo...
Non ti preoccupare io di cavolate ne dico molte piu' di te.
Non c'e' bisogno di scusarsi: non mi hai fatto alcun torto...
Direi che siamo tutti d'accordo...
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