Intervallo aperto, intervallo chiuso..
In molti teoremi che sto studiando, come ipotesi iniziali si dice che una funzione e' continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in un intervallo aperto (a,b)... Non riesco bene a capire il significato di questo, non basta dire continua e derivabile in un intervallo [a,b]?
Risposte
Il punto della questione e' che la derivate non e' definita agli estremi dell'intervallo; se vai a guardarti la definzione di derivata come limite del rapporto incrementale, vedrai che ti serve avere la funzione definita in tutto un intervallino centrato nel punto.
Il meglio che puoi fare per alleggerire linguisticamente quelle ipotesi e' richiedere che la funzione sia derivabile in (a,b) e continua in a ed in b.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Il meglio che puoi fare per alleggerire linguisticamente quelle ipotesi e' richiedere che la funzione sia derivabile in (a,b) e continua in a ed in b.
Luca Lussardi
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Scusa Luca, vorrei sapere qual è il problema nel definire la derivata in un punto x0 semplicemente come il limite del rapporto incrementale in x0, senza introdurre il imite destro e quello sinistro.
Il limite del rapporto incrementale e' sia da destra che da sinistra.
Al massimo si potrebbe fare una definizione alternativa di derivata fatta apposta per gli estremi dell'intervallo...
Al massimo si potrebbe fare una definizione alternativa di derivata fatta apposta per gli estremi dell'intervallo...
Forse non mi sono spiegato.
La definizione classica "delle superiori" è
«Se esistono il limite destro ed il limite sinistro del rapporto incrementale della funzione f(x) nel punto x0 e se tali limiti coincidono, allora tale limite è la derivata della funzione f nel punto x0».
Io chiedo, invece, quali problemi ci sarebbero se dessimo questa definizione:
«La derivata della funzione f nel punto x0 esiste sse esiste il limite D del rapporto incrementale della funzione f(x) nel punto x0, e tale limite è la derivata della funzione f nel punto x0».
Se non ci fossero problemi allora si sarebbe semplicemente estesa la definizione anche agli estremi dell'intervallo "ogetto della domanda" di Fabry_Shock, per cui la definizione sarebbe sicuramente migliore (oltre che più semplice).
Quindi ripeto la domanda
«Scusa Luca, vorrei sapere qual è il problema nel definire la derivata in un punto x0 semplicemente come il limite del rapporto incrementale in x0, senza introdurre il imite destro e quello sinistro.»
La definizione classica "delle superiori" è
«Se esistono il limite destro ed il limite sinistro del rapporto incrementale della funzione f(x) nel punto x0 e se tali limiti coincidono, allora tale limite è la derivata della funzione f nel punto x0».
Io chiedo, invece, quali problemi ci sarebbero se dessimo questa definizione:
«La derivata della funzione f nel punto x0 esiste sse esiste il limite D del rapporto incrementale della funzione f(x) nel punto x0, e tale limite è la derivata della funzione f nel punto x0».
Se non ci fossero problemi allora si sarebbe semplicemente estesa la definizione anche agli estremi dell'intervallo "ogetto della domanda" di Fabry_Shock, per cui la definizione sarebbe sicuramente migliore (oltre che più semplice).
Quindi ripeto la domanda
«Scusa Luca, vorrei sapere qual è il problema nel definire la derivata in un punto x0 semplicemente come il limite del rapporto incrementale in x0, senza introdurre il imite destro e quello sinistro.»
La derivata e' definita come limite del rapporto incrementale infatti, non c'e' nessun problema. Ma per scrivere il rapporto incrementale classico la funzione deve essere definita in un intorno del punto, quindi il punto deve essere interno all'insieme di definizione.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Secondo me si può fare anche la seguente osservazione:
se si dimostra, ad esempio il teorema di Rolle, sotto
l'ipotesi che la funzione sia derivabile nell'intervallo
aperto, che senso ha richiedere la condizione più pesante
di derivabilità nell'intervallo chiuso?
Quando in matematica si dimostra un teorema le ipotesi
devono essere le più leggere possibili.
se si dimostra, ad esempio il teorema di Rolle, sotto
l'ipotesi che la funzione sia derivabile nell'intervallo
aperto, che senso ha richiedere la condizione più pesante
di derivabilità nell'intervallo chiuso?
Quando in matematica si dimostra un teorema le ipotesi
devono essere le più leggere possibili.
Io ci ho pensato e sono giunto alla conclusione che, fare come propone infinito, apparentemente renderebbe piu' sciolta l'esposizione di alcuni risultati, ma introdurrebbe una grandissima scomodita': piu' che tante parole vale un esempio:
Sia
f(x) : [-4 4] --> IR
con f(x) = x H(x)
H(x) e' la funzione di Heaviside: vale zero se x e' negativo e 1 se x e' maggiore o uguale a zero.
A questo punto prendiamo una funzione g_1(x) che sia semplicemente la restrizione di f(x) a [0,4] e una funzione g_2(x) che sia la restrizione di f(x) in [-4,0].
Abbiamo f(x)=g_1(x)+g_2(x).
Ma f'(x)!= g'_1(x) + g'_2(x)
Infatti f'(x) non e' nemmeno definita in 0, invece g'_1(0)+g'_2(0)=1!!!!!!! (calcolando la derivata con la definizione "alternativa")
Ora capite benissimo che avere la stessa funzione, solamente scritta in modo diverso, che assume due valori diversi della derivata nello stesso punto.......
L'unico modo sarebbe introdurre tutta una serie di pesanti limitazioni sul modo in cui si deve operare quando si "splitta" la funzione come ho fatto io per rendere il tutto consistente, ma non credo che valga la pena di fare tutto cio' solo per avere la derivata sul bordo dei compatti... (che tra l'altro sarebbe poi in ogni caso da prendere con le molle anche per trovare minimi o massimi visto che il teo. dell'annullamento della derivata prima vale negli aperti.)
Sia
f(x) : [-4 4] --> IR
con f(x) = x H(x)
H(x) e' la funzione di Heaviside: vale zero se x e' negativo e 1 se x e' maggiore o uguale a zero.
A questo punto prendiamo una funzione g_1(x) che sia semplicemente la restrizione di f(x) a [0,4] e una funzione g_2(x) che sia la restrizione di f(x) in [-4,0].
Abbiamo f(x)=g_1(x)+g_2(x).
Ma f'(x)!= g'_1(x) + g'_2(x)
Infatti f'(x) non e' nemmeno definita in 0, invece g'_1(0)+g'_2(0)=1!!!!!!! (calcolando la derivata con la definizione "alternativa")
Ora capite benissimo che avere la stessa funzione, solamente scritta in modo diverso, che assume due valori diversi della derivata nello stesso punto.......
L'unico modo sarebbe introdurre tutta una serie di pesanti limitazioni sul modo in cui si deve operare quando si "splitta" la funzione come ho fatto io per rendere il tutto consistente, ma non credo che valga la pena di fare tutto cio' solo per avere la derivata sul bordo dei compatti... (che tra l'altro sarebbe poi in ogni caso da prendere con le molle anche per trovare minimi o massimi visto che il teo. dell'annullamento della derivata prima vale negli aperti.)
Per Luca.
Dici: «la funzione deve essere definita in un intorno del punto, quindi il punto deve essere interno all'insieme di definizione».
Ma la mia definizione “canonica” di intorno di un punto P di un sottoinsieme S di un insieme A è semplicemente l’intersezione fra S e un intorno di P in A., quindi, per esempio, se P è un punto isolato di S un intorno è qualunque insieme cui appartiene P, anche {P}. Se concordi e se accetti che «La derivata e' definita come limite del rapporto incrementale», non puoi che concordare che la mia, più che una ipotesi, è la definizione corretta; se4 invece non concordi ti chiedo qual è la definizione di intorno in S.
Per Piera.
Sono d’accordo che «Quando in matematica si dimostra un teorema le ipotesi devono essere le più leggere possibili», ma se si accetta quello che ha detto Fabry_Shock (cioè «In molti teoremi che sto studiando, come ipotesi iniziali si dice che una funzione e' continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in un intervallo aperto (a,b)») le ipotesi sarebbero le stesse, mentre il tutto suonerebbe in modo più naturale (vedi risposta sopra, a Luca).
Per david_e (spero di aver capito bene, per qualche notazione che non mi torna).
Non so se il tuo esempio era “esausitivo”, ma visto che la tua funzione non è continua nello 0 non vedo le «pesanti limitazioni». Ma in generale, nella peggiore delle ipotesi, basterebbe eventualmente richiedere, dove ocorre, che “siano uguali” le derivate destra e sinistra (intendo che “siano”, cioè che “esistano”).
In generale.
La domande principali che mi faccio quando scelgo una definizione non riguardano l’uso nei teoremi (se li semplifico o li complico), ma mi chiedo «LA DEFINIZIONE è più semplice?» (cioè: si eliminano richieste aggiuntive che possono non essere indispensabili?) e «gli enti “aggiunti” con la definizione generalizzata sono effettivamente quello che ho definito?».
Quindi chiedo a voi se quello che ottengo negli estremi con la “proposta di derivata” è effettivamente la derivata negli estremi, o c’è qualche motivo “intrinseco” che vi porta a scartarla?
Dici: «la funzione deve essere definita in un intorno del punto, quindi il punto deve essere interno all'insieme di definizione».
Ma la mia definizione “canonica” di intorno di un punto P di un sottoinsieme S di un insieme A è semplicemente l’intersezione fra S e un intorno di P in A., quindi, per esempio, se P è un punto isolato di S un intorno è qualunque insieme cui appartiene P, anche {P}. Se concordi e se accetti che «La derivata e' definita come limite del rapporto incrementale», non puoi che concordare che la mia, più che una ipotesi, è la definizione corretta; se4 invece non concordi ti chiedo qual è la definizione di intorno in S.
Per Piera.
Sono d’accordo che «Quando in matematica si dimostra un teorema le ipotesi devono essere le più leggere possibili», ma se si accetta quello che ha detto Fabry_Shock (cioè «In molti teoremi che sto studiando, come ipotesi iniziali si dice che una funzione e' continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in un intervallo aperto (a,b)») le ipotesi sarebbero le stesse, mentre il tutto suonerebbe in modo più naturale (vedi risposta sopra, a Luca).
Per david_e (spero di aver capito bene, per qualche notazione che non mi torna).
Non so se il tuo esempio era “esausitivo”, ma visto che la tua funzione non è continua nello 0 non vedo le «pesanti limitazioni». Ma in generale, nella peggiore delle ipotesi, basterebbe eventualmente richiedere, dove ocorre, che “siano uguali” le derivate destra e sinistra (intendo che “siano”, cioè che “esistano”).
In generale.
La domande principali che mi faccio quando scelgo una definizione non riguardano l’uso nei teoremi (se li semplifico o li complico), ma mi chiedo «LA DEFINIZIONE è più semplice?» (cioè: si eliminano richieste aggiuntive che possono non essere indispensabili?) e «gli enti “aggiunti” con la definizione generalizzata sono effettivamente quello che ho definito?».
Quindi chiedo a voi se quello che ottengo negli estremi con la “proposta di derivata” è effettivamente la derivata negli estremi, o c’è qualche motivo “intrinseco” che vi porta a scartarla?
Ho cancellato la mia reply perche mi sono accorto di aver detto una grossa stupidata....
Be la mia funzione e' continua in zero: non e' altro che la bisettrice del primo quadrante a destra di zero e la funzione identicamente nulla a sinistra.
Comunque ho realizzato che in effetti il mio "esempio" e' sbagliato: quando ho sommato g_1 e g_2 ho preso il prolungamento banale a [-4 4] (altrimenti g_1+g_2 sarebbe definita solo in 0) ma a questo punto g_1 e g_2 non sono piu' derivabili in zero.
Tuttavia:
La definizione di intorno di un punto x in A in realta' esclude che l'intorno sia {p}. Infatti l'intorno U e' un qualunque sotto-insieme di A che contenga un aperto V : p \in V.
Ma, purche' p sia un punto di accumulazione di A e che A sia contenuto nel dominio di f, e' possibile definire la derivata in p come propone infinito.
In ogni caso cio' che mi turba della definizione di infinito (al dila' del fatto che il mio esempio sia poi sbagliato) e' il fatto che cosi' una funzione non derivabile in un punto puo ammettere una restrizione in cui lo e'.
In ogni caso bisogna riconoscere che questa definizione avrebbe il pregio di "legalizzare" una cosa che molto spesso nelle applicazioni si fa: lo sviluppo in serie di una funzione centrato sul bordo del dominio che normalmente, almeno dal punto di vista concettuale, richiede di prolungare la funzione per avere l'intorno su cui fare le derivate.
Bisogna quindi valutare quanto sia effettivamente conveniente questo cambiamento nella definizione: da una parte semplificherebbe le ipotesi di molti teoremi e renderebbe consistente tutta una serie di approssimazioni di funzioni con sviluppi in serie centrati sul bordo del dominio della funzione (ad esempio la resistenza di canale nei transistori MOS si calcola facendo una derivata in 0 di una funzione definita solo fra [0 a) (ma prolungabile)), dall'altra dire che f e' derivabile in un punto diventerebbe un'affermazione che dipende dalla particolare restrizione che si fa di f....
Be la mia funzione e' continua in zero: non e' altro che la bisettrice del primo quadrante a destra di zero e la funzione identicamente nulla a sinistra.
Comunque ho realizzato che in effetti il mio "esempio" e' sbagliato: quando ho sommato g_1 e g_2 ho preso il prolungamento banale a [-4 4] (altrimenti g_1+g_2 sarebbe definita solo in 0) ma a questo punto g_1 e g_2 non sono piu' derivabili in zero.
Tuttavia:
La definizione di intorno di un punto x in A in realta' esclude che l'intorno sia {p}. Infatti l'intorno U e' un qualunque sotto-insieme di A che contenga un aperto V : p \in V.
Ma, purche' p sia un punto di accumulazione di A e che A sia contenuto nel dominio di f, e' possibile definire la derivata in p come propone infinito.
In ogni caso cio' che mi turba della definizione di infinito (al dila' del fatto che il mio esempio sia poi sbagliato) e' il fatto che cosi' una funzione non derivabile in un punto puo ammettere una restrizione in cui lo e'.
In ogni caso bisogna riconoscere che questa definizione avrebbe il pregio di "legalizzare" una cosa che molto spesso nelle applicazioni si fa: lo sviluppo in serie di una funzione centrato sul bordo del dominio che normalmente, almeno dal punto di vista concettuale, richiede di prolungare la funzione per avere l'intorno su cui fare le derivate.
Bisogna quindi valutare quanto sia effettivamente conveniente questo cambiamento nella definizione: da una parte semplificherebbe le ipotesi di molti teoremi e renderebbe consistente tutta una serie di approssimazioni di funzioni con sviluppi in serie centrati sul bordo del dominio della funzione (ad esempio la resistenza di canale nei transistori MOS si calcola facendo una derivata in 0 di una funzione definita solo fra [0 a) (ma prolungabile)), dall'altra dire che f e' derivabile in un punto diventerebbe un'affermazione che dipende dalla particolare restrizione che si fa di f....
Post Scrittum:
Avete visto quanto e' di attualita' questo problema? Ho appena dato un'occhiata al tema d'esame dello scientifico di questa'anno e guarda un po' si richiede la derivabilita' sul bordo del dominio della funzione........
Scommetto che sul 95% dei giornali la funzione risultera' anche derivabile!
Avete visto quanto e' di attualita' questo problema? Ho appena dato un'occhiata al tema d'esame dello scientifico di questa'anno e guarda un po' si richiede la derivabilita' sul bordo del dominio della funzione........
Scommetto che sul 95% dei giornali la funzione risultera' anche derivabile!
Per david_e.
Dici: «l'intorno U e' un qualunque sotto-insieme di A che contenga un aperto V : p \in V», ma infatti la definizione di insieme aperto e'analoga a quella di insieme; ti riposto la risposta che ho dato subito sopra a Luca, e li' basta sostituire ad ogni parola "intorno" la parola "aperto":
« Ma la mia definizione canonica di intorno di un punto P di un sottoinsieme S di un insieme A e' semplicemente la intersezione fra S e un intorno di P in A, quindi, per esempio, se P e' un punto isolato di S un intorno e' qualunque insieme cui appartiene P, anche {P}».
A conferma di questo ti ricordo che un insieme e' discreto se tutti i suo i punti sono isolati, cioe' se la sua topologia e' banale: tutti i suoi sottoinsiemi sono aperti (e quindi anche chiusi).
Dici: « In ogni caso cio' che mi turba della definizione di infinito (al di la' del fatto che il mio esempio sia poi sbagliato) e' il fatto che cosi' una funzione non derivabile in un punto puo' ammettere una restrizione in cui lo e'.»
Non capisco. Considera la funzione di Dirichlet (1 sui razionali, 0 sugli irrazionali) che e' discontinua in ogni punto: le sue restrizioni sui razionali e sugli irrazionali sono derivabili in ogni punto, mentre la funzione globale non lo e' in nessun punto.
Se poi vuoi un esempio continuo prendi la funzione che vale x sugli irrazionali e -x sui razionali: in 0 e' continua .
Dici: « dall'altra dire che f e' derivabile in un punto diventerebbe un'affermazione che dipende dalla particolare restrizione che si fa di f.... », ma anche questo e' vero anche con la definizione attuale.
Non ho visto nulla delle prove di maturita'.
Ho scritto con gli apostrofi al posto degli accenti perche' sul mio computer vengono visualizzati con simboli strani, capita anche a voi o solo a me (ho sempre avuto problemi di varia natura con il mio computer).
Dici: «l'intorno U e' un qualunque sotto-insieme di A che contenga un aperto V : p \in V», ma infatti la definizione di insieme aperto e'analoga a quella di insieme; ti riposto la risposta che ho dato subito sopra a Luca, e li' basta sostituire ad ogni parola "intorno" la parola "aperto":
« Ma la mia definizione canonica di intorno di un punto P di un sottoinsieme S di un insieme A e' semplicemente la intersezione fra S e un intorno di P in A, quindi, per esempio, se P e' un punto isolato di S un intorno e' qualunque insieme cui appartiene P, anche {P}».
A conferma di questo ti ricordo che un insieme e' discreto se tutti i suo i punti sono isolati, cioe' se la sua topologia e' banale: tutti i suoi sottoinsiemi sono aperti (e quindi anche chiusi).
Dici: « In ogni caso cio' che mi turba della definizione di infinito (al di la' del fatto che il mio esempio sia poi sbagliato) e' il fatto che cosi' una funzione non derivabile in un punto puo' ammettere una restrizione in cui lo e'.»
Non capisco. Considera la funzione di Dirichlet (1 sui razionali, 0 sugli irrazionali) che e' discontinua in ogni punto: le sue restrizioni sui razionali e sugli irrazionali sono derivabili in ogni punto, mentre la funzione globale non lo e' in nessun punto.
Se poi vuoi un esempio continuo prendi la funzione che vale x sugli irrazionali e -x sui razionali: in 0 e' continua .
Dici: « dall'altra dire che f e' derivabile in un punto diventerebbe un'affermazione che dipende dalla particolare restrizione che si fa di f.... », ma anche questo e' vero anche con la definizione attuale.
Non ho visto nulla delle prove di maturita'.
Ho scritto con gli apostrofi al posto degli accenti perche' sul mio computer vengono visualizzati con simboli strani, capita anche a voi o solo a me (ho sempre avuto problemi di varia natura con il mio computer).
Si fa molta fatica a leggere cio' che hai scritto a causa dei caratteri. (prova a controllare le impostazioni della tastiere e quelle internazionali di windows)
Comunque i {p} come sotto-insiemi di IR sono insiemi chiusi perche' contengono tutti i loro punti di accumulazione. Quindi {p} non e' un intorno perche' non e' aperto e non ha un sotto-insieme aperto.
Si dici la funzione di Dirichlet, ma qui e' diverso perche' abbiamo funzioni che NELLO STESSO PUNTO sono sia derivabili che non derivabili, invece la funzione di Dirichlet ristretta ai razionali non e' certo derivabile sui reali visto che li non e' definita.
La funzione segno ad esempio ristretta tra [0 e +00) diventerebbe derivabile in 0, mentre la funzione segno su IR NON e' derivabile in 0 e con la definizione attuale di derivata non e' possibile scegliere una restrizione di tale funzione tale che essa risulti derivabile in quel punto.
Con la definizione attuale se una funzione e' derivabile in un punto del suo dominio non e' possibile trovare una restrizione della funzione (su un insieme che contenga quel punto come punto interno!) per la quale non si abbia la derivabilita' e vice-versa.
Invece in tutti i casi in cui si abbiano derivata "destra e sinistra" (mi si passi il termine assolutamente scorretto) diverse (ma finite) in un punto sarebbe possibile definire due funzioni come restrizioni di quella originale sull'intervallo che abbia come estremo incluso il punto in questione e che siano entrambe derivabili in QUEL punto...
Con la definizione attuale purche' il punto in questione sia un punto interno del dominio di f il fatto che f sia li derivabile o meno non dipende dalla restrizione di f: o per la ristretta non e' definita la derivata (perche' il punto e' esterno al suo dominio o perche' e' di frontiera) o la derivata della ristretta coincide con quella della funzione originale.
PS: Perdona la mia ripetitivita'
Comunque i {p} come sotto-insiemi di IR sono insiemi chiusi perche' contengono tutti i loro punti di accumulazione. Quindi {p} non e' un intorno perche' non e' aperto e non ha un sotto-insieme aperto.
Si dici la funzione di Dirichlet, ma qui e' diverso perche' abbiamo funzioni che NELLO STESSO PUNTO sono sia derivabili che non derivabili, invece la funzione di Dirichlet ristretta ai razionali non e' certo derivabile sui reali visto che li non e' definita.
La funzione segno ad esempio ristretta tra [0 e +00) diventerebbe derivabile in 0, mentre la funzione segno su IR NON e' derivabile in 0 e con la definizione attuale di derivata non e' possibile scegliere una restrizione di tale funzione tale che essa risulti derivabile in quel punto.
Con la definizione attuale se una funzione e' derivabile in un punto del suo dominio non e' possibile trovare una restrizione della funzione (su un insieme che contenga quel punto come punto interno!) per la quale non si abbia la derivabilita' e vice-versa.
Invece in tutti i casi in cui si abbiano derivata "destra e sinistra" (mi si passi il termine assolutamente scorretto) diverse (ma finite) in un punto sarebbe possibile definire due funzioni come restrizioni di quella originale sull'intervallo che abbia come estremo incluso il punto in questione e che siano entrambe derivabili in QUEL punto...
Con la definizione attuale purche' il punto in questione sia un punto interno del dominio di f il fatto che f sia li derivabile o meno non dipende dalla restrizione di f: o per la ristretta non e' definita la derivata (perche' il punto e' esterno al suo dominio o perche' e' di frontiera) o la derivata della ristretta coincide con quella della funzione originale.
PS: Perdona la mia ripetitivita'
Comunque ti devo dare atto che tutte le soluzioni che ho visto della prova di maturita' di quest'anno utilizzano la tua definizione di derivata sul bordo del dominio....
A questo punto chiedo a Luca: ma siamo proprio sicuri che la derivata sia definita solo nell'interno?
Io su tutti i libri l'ho vista definire cosi', pero'.....
A questo punto chiedo a Luca: ma siamo proprio sicuri che la derivata sia definita solo nell'interno?
Io su tutti i libri l'ho vista definire cosi', pero'.....
E' la definizione "ufficiale"? Sul mio libro di analisi la derivata e' definita solo nell'interno e sui bordi non esiste....
Ah buono!
Se si comincia a dubitare anche di queste cose si finisce per impazzire: ho passato 4 esami di analisi senza mai pormi il problema e ora di punto in bianco non so' piu' la derivata!
Grazie!!!!
Se si comincia a dubitare anche di queste cose si finisce per impazzire: ho passato 4 esami di analisi senza mai pormi il problema e ora di punto in bianco non so' piu' la derivata!
Grazie!!!!
Si avevo capito benissimo...
Comunque Luca, da quello che ho capito, esclude questo prolungamento fatto apposta sui chiusi dalla definizione canonica di derivata e anche io ho sempre fatto come dice lui...
Comunque Luca, da quello che ho capito, esclude questo prolungamento fatto apposta sui chiusi dalla definizione canonica di derivata e anche io ho sempre fatto come dice lui...
Ho corretto i caratteri difettosi (spero che risulti cosi'), ed ho anche capito un po' dove nascevano: ho fatto il copia-incolla da Word, ma apostrofi ed accenti Word li cambia (per verificarlo basta digitarne uno e poi fare "annulla", o , per vedere l'originale).
Ora rispondo "punto-punto" dall'inizio.
«Comunque i {p} come sotto-insiemi di IR sono insiemi chiusi ...»
Mi pare che (anche sotto) si confondano "chiuso" con "non aperto", mentre non c'è alcun nesso: l'insieme vuoto e l'insieme "universo" sono sia chiusi che aperti, mentre in R non sono ne' aperti ne' chiusi i razionali, l'intervallo (a; b], {1/n}, ecc. .
« la funzione di Dirichlet, ...»
Hai ragione: mi sono confuso con il tuo esempio che poi hai eliminato.
«Con la definizione attuale se una funzione e' derivabile in un punto del suo dominio non e' possibile trovare una restrizione della funzione (su un insieme che contenga quel punto come punto interno!) per la quale non si abbia la derivabilita' E VICE-VERSA»
Invece va bene l'esempio della funzione F che vale x sugli irrazionali e vale x sui razionali: F è continua in 0, ma non è derivabile, mentre lo è se la restringo ai razionali o agli irrazionali.
La definizione di cui parla signor.nessuno è equivalente a quella di cui parlo io, e che mi sembra che sia la stessa di cui parla Luca (se gli aperti o gli intorni sono quelli di cui parlo io e che è la definizione topologica).
«Se si comincia a dubitare anche di queste cose si finisce per impazzire: ho passato 4 esami di analisi ...»
Io sono (e mi considero) molto ignorante, nel senso che non conosco un sacco di cose che dovrei conoscere, ma questo mi porta a ridimostrarmi le mie affermazioni e a dover rivedere e valutare tutte le definizioni.
Lo dico perché per me la derivata è sempre stata quella di cui sto parlando, per cui non ho mai avuto di questi "dubbi".
Tra l'altro mi sono trovato spesso ad avere definizioni diverse da quelle ufficiali, e in alcuni casi anche decisamente in contraddizione (come la definizione di 0° che per molti testi delle superiori non è definita, mentre io affermo che è inequivocabilmente 1).
«Se invece la funzione è definita in un intervallo chiuso, allora si pone (ma Amerio usa l'espressione "risulta") f'(a) = D+(a) e f'(b) = D-(b). Tutto qui.»
Non ci ho capito nulla.
Spero che i caratteri funzionino....
Ora rispondo "punto-punto" dall'inizio.
«Comunque i {p} come sotto-insiemi di IR sono insiemi chiusi ...»
Mi pare che (anche sotto) si confondano "chiuso" con "non aperto", mentre non c'è alcun nesso: l'insieme vuoto e l'insieme "universo" sono sia chiusi che aperti, mentre in R non sono ne' aperti ne' chiusi i razionali, l'intervallo (a; b], {1/n}, ecc. .
« la funzione di Dirichlet, ...»
Hai ragione: mi sono confuso con il tuo esempio che poi hai eliminato.
«Con la definizione attuale se una funzione e' derivabile in un punto del suo dominio non e' possibile trovare una restrizione della funzione (su un insieme che contenga quel punto come punto interno!) per la quale non si abbia la derivabilita' E VICE-VERSA»
Invece va bene l'esempio della funzione F che vale x sugli irrazionali e vale x sui razionali: F è continua in 0, ma non è derivabile, mentre lo è se la restringo ai razionali o agli irrazionali.
La definizione di cui parla signor.nessuno è equivalente a quella di cui parlo io, e che mi sembra che sia la stessa di cui parla Luca (se gli aperti o gli intorni sono quelli di cui parlo io e che è la definizione topologica).
«Se si comincia a dubitare anche di queste cose si finisce per impazzire: ho passato 4 esami di analisi ...»
Io sono (e mi considero) molto ignorante, nel senso che non conosco un sacco di cose che dovrei conoscere, ma questo mi porta a ridimostrarmi le mie affermazioni e a dover rivedere e valutare tutte le definizioni.
Lo dico perché per me la derivata è sempre stata quella di cui sto parlando, per cui non ho mai avuto di questi "dubbi".
Tra l'altro mi sono trovato spesso ad avere definizioni diverse da quelle ufficiali, e in alcuni casi anche decisamente in contraddizione (come la definizione di 0° che per molti testi delle superiori non è definita, mentre io affermo che è inequivocabilmente 1).
«Se invece la funzione è definita in un intervallo chiuso, allora si pone (ma Amerio usa l'espressione "risulta") f'(a) = D+(a) e f'(b) = D-(b). Tutto qui.»
Non ci ho capito nulla.
Spero che i caratteri funzionino....
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