Intervalli di continuità e differenziabilità di f(x,y)
Eccomi con la mia PRIMISSIMA richiesta di aiuto (tranquilli ne seguiranno MOLTE altre :-p )
Mi viene richiesto di determinare i sottoinsiemi di $ RR^(2) $ in cui $ f(x,y)=1-4 root(2)(x^2+y^2) $ è continua e in cui è differenziabile.
Non ho problemi a determinare la continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto...ma determinarne gli intervalli? come si fa?
Credo che per quanto riguarda la continuità $ f(x,y)$ sia continua in tutto $ RR^(2) $ perchè composta da funzioni continue. Il dubbio può esserci per l'origine ma $ lim_( x,y -> 0,0 ) f(x,y)=f(0,0)=1 $ quindi dovrebbe essere verificata la continuità anche nell'origine. Sbaglio? E per la differenziabilità? Come mi muovo?
Infine mi viene chiesto di determinare il piano tangente al grafico di $f$ nel punto $ (-1/4 ,0,0) $ ma il punto non dovrebbe essere del tipo $(x,y)$?
Mi viene richiesto di determinare i sottoinsiemi di $ RR^(2) $ in cui $ f(x,y)=1-4 root(2)(x^2+y^2) $ è continua e in cui è differenziabile.
Non ho problemi a determinare la continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto...ma determinarne gli intervalli? come si fa?
Credo che per quanto riguarda la continuità $ f(x,y)$ sia continua in tutto $ RR^(2) $ perchè composta da funzioni continue. Il dubbio può esserci per l'origine ma $ lim_( x,y -> 0,0 ) f(x,y)=f(0,0)=1 $ quindi dovrebbe essere verificata la continuità anche nell'origine. Sbaglio? E per la differenziabilità? Come mi muovo?
Infine mi viene chiesto di determinare il piano tangente al grafico di $f$ nel punto $ (-1/4 ,0,0) $ ma il punto non dovrebbe essere del tipo $(x,y)$?
Risposte
Per la differenziabilità, ragiona su dove è derivabile la funzione [tex]$g(t)=\sqrt{t}$[/tex] e dove non lo è, in questo modo capirai quali sono gli eventuali punti problematici per la tua funzione.
Per la seconda: il punto in cui calcolare il piano tangente in genere è [tex]$P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$[/tex], cosicché tu possa applicare la formula
[tex]$z-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$[/tex]
Per la seconda: il punto in cui calcolare il piano tangente in genere è [tex]$P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$[/tex], cosicché tu possa applicare la formula
[tex]$z-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$[/tex]
Uhm... se non ricordo male il grafico di $ g(t)=sqrt(t) $ dovrebbe essere derivabile in $x>0 , y>0$. Interessante... non ci avevo pensato. Io immaginavo i soliti calcoli per controllare la differenziabilità (controllare la derivabilità in $ (x0, y0) $ e verificare che quel limite enorme sia uguale a 0).
Grazie anche per la spiegazione del punto dato.
Quindi i miei ragionamenti sulla continuità sono corretti?
Grazie anche per la spiegazione del punto dato.
Quindi i miei ragionamenti sulla continuità sono corretti?
Certo che sì. Per la differenziabilità, invece, dovresti scrivere meglio: quello che puoi affermare è che le derivate parziali in $(0,0)$ non sono definite (perché?). Da questo allora puoi concludere che...
Perchè è un punto singolare. Ma in realtà non sono definite neanche le derivate parziali per $ x leq 0 $ e $ y leq 0 $ dove la funzione non è definita. Comunque grazie mille. Sei stato utilissimo.
Sbagli: le derivate parziali sono definite per ogni punto di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] tranne l'origine. Pensaci un po' su.
Uhm....così mi hai messo in difficoltà. Le derivate parziali esistono su tutto $ RR^2 $ tranne l'origine perchè il gradiente si annulla solo nell'origine?
No! Le derivate parziali non esistono nell'origine perché se le calcoli con la definizione ottieni una cosa del genere
[tex]$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1-4\sqrt{h^2}-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-4|h|}{h}=\pm 4$[/tex]
a seconda che tendi a zero da destra o sinistra. analogamente l'altra.
[tex]$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1-4\sqrt{h^2}-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-4|h|}{h}=\pm 4$[/tex]
a seconda che tendi a zero da destra o sinistra. analogamente l'altra.
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