Interpretazione dominio integrale doppio!

[angelo.intile]

Ciao ragazzi, sono nel bel mezzo dello studio degli integrali doppi, la mia difficoltà principale sta nel riuscire ad interpretare i domini, riscrivendoli in forma normale. Ad esempio, devo svolgere il seguente integrale

$\int int_T xe^(x^2+y^2-1)sqrt(x^2+y^2) dxdy$

il dominio T è scritto così nell'esercizio:

$T={ (x,y) in RR^2 : x^2+y^2<=1,sqrt(3)/3x<=y<=sqrt(3)x}$

Il termine $x^2+y^2<=1$ indica che abbiamo un cerchio di raggio 1, quindi in questo caso la x varia tra -1 e 1 ? Quando si è in presenza di una circonferenza conviene sempre fare il passaggio in coordinate polari vero ?

Chiaritemi un po le idee su come risolvere questo integrale please

[Lo_zio_Tom]

"angelointi94":
Il termine $x^2+y^2<=1$ indica che abbiamo un cerchio di raggio 1, quindi in questo caso la x varia tra -1 e 1 [NO: fra 0 e 1] ? Quando si è in presenza di una circonferenza conviene sempre fare il passaggio in coordinate polari vero [di solito sì] ?

Chiaritemi un po le idee su come risolvere questo integrale please

[Lo_zio_Tom]

"tommik":[quote="angelointi94"]
Il termine $x^2+y^2<=1$ indica che abbiamo un cerchio di raggio 1, quindi in questo caso la x varia tra -1 e 1 [NO: fra 0 e 1] ? Quando si è in presenza di una circonferenza conviene sempre fare il passaggio in coordinate polari vero? [di solito sì]

Chiaritemi un po le idee su come risolvere questo integrale please

[/quote]

[Lo_zio_Tom]

comincia a disegnare graficamente il dominio.....

è davvero molto più semplice di ciò che sembra....

la circonferenza è ok poi... cosa vedi? forse due semirette che escono dall'origine?

oggi vado a fare un giro in moto ...stasera mi ricollego e vorrei vedere qualche conticino postato....

1) disegnare dominio
2) capire gli estremi di integrazione in coordinate polari......una te la dico io...$0 3) $detJ=rho$
4) trasformi l'integranda...e via

[angelo.intile]

"tommik":[quote="angelointi94"]
Il termine $x^2+y^2<=1$ indica che abbiamo un cerchio di raggio 1, quindi in questo caso la x varia tra -1 e 1 [NO: fra 0 e 1] ? Quando si è in presenza di una circonferenza conviene sempre fare il passaggio in coordinate polari vero [di solito sì] ?

Chiaritemi un po le idee su come risolvere questo integrale please

[/quote]

Perché varia tra 0 e 1 In questo caso come si passa in coordinate polari ?

Il dominio ho disegnato solo la circonferenza, poi non so appunto come disegnarlo

[Lo_zio_Tom]

devi ragionare in coordinate polari....$rho$ rappresenta il raggio della circonferenza=1
poi dalla def di dominio capisci che y è maggiore di una certa semiretta che esce dall'origine e minore di un'altra....quindi il dominio è uno spicchio di cerchio....o no?

[Lo_zio_Tom]

il coefficiente angolare delle rette dovrebbe risultarti abbastanza familiare...per esprimere le cose in radianti....

[angelo.intile]

"tommik":comincia a disegnare graficamente il dominio.....

è davvero molto più semplice di ciò che sembra....

la circonferenza è ok poi... cosa vedi? forse due semirette che escono dall'origine?

oggi vado a fare un giro in moto ...stasera mi ricollego e vorrei vedere qualche conticino postato....

1) disegnare dominio
2) capire gli estremi di integrazione in coordinate polari......una te la dico io...$0 3) $detJ=rho$
4) trasformi l'integranda...e via

Ci ragiono un po su, spero di riuscire a risolverlo il mio problema sono i domini

[Lo_zio_Tom]

per la trasformazione in coordinate polari trasformi, al solito,

$x=rhocostheta$
$y=rhosintheta$
..e tieni conto che $det(J)=rho$

[Lo_zio_Tom]

"angelointi94":

Ci ragiono un po su, spero di riuscire a risolverlo il mio problema sono i domini

il dominio è più del 50% della difficoltà....


$ int_(0)^(1)int_(pi/?)^(pi/?) f(rho,theta)rhodrhod theta $


...ho anche esagerato con gli aiuti

[angelo.intile]

"tommik":[quote="angelointi94"]

Ci ragiono un po su, spero di riuscire a risolverlo il mio problema sono i domini

il dominio è più del 50% della difficoltà....[/quote]
Esatto

Il dominio graficamente dovrebbe essere così o sbaglio !?

[angelo.intile]

Non riesco a ricavare i valori di $\theta$, è la prima volta che faccio un esercizio con cambio in coordinate polari, mi illustrate come devo fare ?

[angelo.intile]

Ho ricavato i valori di $\theta$ e sono $\pi/3$ e $\pi/6$ (dopo vari tentativi, vi chiedo se per favore potreste dirmi il metodo per ricavarli!), quindi adesso ho il nuovo dominio in coordinate polari con \( 0<\rho<1 \) e $\pi/6<\theta<\pi/3$

e quindi l'integrale diventa $ int_(0)^(1)int_(pi/6)^(pi/3) rho sin\theta cos\theta drhod theta $

ovvero $ int_(0)^(1) rho drho int_(pi/6)^(pi/3) sin\theta cos\theta d theta $

Proseguo con lo svolgere i due integrali e poi moltiplico il risultato dei due giusto ?

[Lo_zio_Tom]

Il dominio è giusto ma la funzione non mi sembra. Devi sost rcost e rsint nella tunz

[angelo.intile]

"tommik":Il dominio è giusto ma la funzione non mi sembra. Devi sost rcost e rsint nella tunz

Sostituendo e semplificando la funzione da integrare mi diventa così

$ rho^2 cos\theta e^(rho^2-1) $

Quindi sono arrivato a questo punto $ int int_(T') rho^2 cos\theta e^(rho^2-1) drhod theta= int_(0)^(1)rho^2 e^(rho^2-1) drho int_(pi/6)^(pi/3)cos\theta d theta $

E' corretto il secondo passaggio ? E prima ancora è corretta la funzione ?

[Lo_zio_Tom]

la funzione è corretta!.....ma nella formula dell'integranda hai dimenticato di moltiplicare per il fattore di correzione $rho$

[Lo_zio_Tom]

$ int_(0)^(1) int_(pi/6)^(pi/3) rho^3 cos\theta e^(rho^2-1) drhod theta=int_(0)^(1)rho^3 e^(rho^2-1)[ int_(pi/6)^(pi/3)cos\thetad theta]drho$

Come attacchiamo l'integrale? ovviamente dalla parte più semplice, quella interna in $d theta$, considerando tutto ciò che non è $theta$ come una costante...risolta quella facciamo la parte esterna in $d rho$

[angelo.intile]

"tommik":la funzione è corretta!.....ma nella formula dell'integranda hai dimenticato di moltiplicare per il fattore di correzione $rho$

Ho già moltiplicato per il fattore di correzione $rho$

Comunque ho svolto la parte dell'integrale in $d theta$ ma sto trovando difficoltà nel risolvere l'integrale in $drho$, ho provato per parti ma mi resta dentro l'integrale sempre l'esponenziale e il $drho$

[Lo_zio_Tom]

"angelointi94":
Ho già moltiplicato per il fattore di correzione $rho$

allora o tu hai dimenticato un $rho$ o io ne ho messo uno in più...


$x=rhocos theta$...e uno
$sqrt(x^2+y^2)=rho$...e due
$detJ=rho$...e tre....a me viene $rho^3$

[Lo_zio_Tom]

"angelointi94":[quote="tommik"]la funzione è corretta!.....ma nella formula dell'integranda hai dimenticato di moltiplicare per il fattore di correzione $rho$

Ho già moltiplicato per il fattore di correzione $rho$

Comunque ho svolto la parte dell'integrale in $d theta$ ma sto trovando difficoltà nel risolvere l'integrale in $drho$, ho provato per parti ma mi resta dentro l'integrale sempre l'esponenziale e il $drho$ [/quote]

non sono a casa e sto facendo i conti a mente o direttamente sul pc....ma mi pare molto semplice da risolvere per parti...in più volte....$x^2(xe^(x^2))$

sìsì ho ragione io .... è semplicissimo...pensa all'integrale

$intx^2xe^(x^2)dx =x^2e^(x^2)/2-int2xe^(x^2)/2dx$

per parti con $x^2$ fattore finito e $xe^(x^2)$ fattore differenziale....

cosa vuol dire "mi rimane nell'integrale $d rho$...$d rho$ è proprio il differenziale rispetto al quale vai ad integrare....

[Lo_zio_Tom]

"tommik":[quote="angelointi94"][quote="tommik"]la funzione è corretta!.....ma nella formula dell'integranda hai dimenticato di moltiplicare per il fattore di correzione $rho$

Ho già moltiplicato per il fattore di correzione $rho$

Comunque ho svolto la parte dell'integrale in $d theta$ ma sto trovando difficoltà nel risolvere l'integrale in $drho$, ho provato per parti ma mi resta dentro l'integrale sempre l'esponenziale e il $drho$ [/quote]

non sono a casa e sto facendo i conti a mente o direttamente sul pc....ma mi pare molto semplice da risolvere per parti...in più volte....$x^2(xe^(x^2))$

sìsì ho ragione io .... è semplicissimo...pensa all'integrale

$ intx^2xe^(x^2)dx =x^2e^(x^2)/2-int2xe^(x^2)/2dx=x^2e^(x^2)/2-e^(x^2)/2+C$

per parti con $x^2$ fattore finito e $xe^(x^2)$ fattore differenziale....questo integrale è praticamente uguale a quello che devi risolvere tu, a parte un (-1) all'esponente....ma non mi pare un problema per il quale sia necessario chiamare i R.I.S.

cosa vuol dire "mi rimane nell'integrale $d rho$...$d rho$ è proprio il differenziale rispetto al quale vai ad integrare.... [/quote]