Interpretazione dominio integrale doppio!
Ciao ragazzi, sono nel bel mezzo dello studio degli integrali doppi, la mia difficoltà principale sta nel riuscire ad interpretare i domini, riscrivendoli in forma normale. Ad esempio, devo svolgere il seguente integrale
$\int int_T xe^(x^2+y^2-1)sqrt(x^2+y^2) dxdy$
il dominio T è scritto così nell'esercizio:
$T={ (x,y) in RR^2 : x^2+y^2<=1,sqrt(3)/3x<=y<=sqrt(3)x}$
Il termine $x^2+y^2<=1$ indica che abbiamo un cerchio di raggio 1, quindi in questo caso la x varia tra -1 e 1 ? Quando si è in presenza di una circonferenza conviene sempre fare il passaggio in coordinate polari vero ?
Chiaritemi un po le idee su come risolvere questo integrale please
$\int int_T xe^(x^2+y^2-1)sqrt(x^2+y^2) dxdy$
il dominio T è scritto così nell'esercizio:
$T={ (x,y) in RR^2 : x^2+y^2<=1,sqrt(3)/3x<=y<=sqrt(3)x}$
Il termine $x^2+y^2<=1$ indica che abbiamo un cerchio di raggio 1, quindi in questo caso la x varia tra -1 e 1 ? Quando si è in presenza di una circonferenza conviene sempre fare il passaggio in coordinate polari vero ?
Chiaritemi un po le idee su come risolvere questo integrale please
Risposte
"tommik":
[quote="angelointi94"]
Ho già moltiplicato per il fattore di correzione $rho$
allora o tu hai dimenticato un $rho$ o io ne ho messo uno in più...
$x=rhocos theta$...e uno
$sqrt(x^2+y^2)=rho$...e due
$detJ=rho$...e tre....a me viene $rho^3$
[/quote]Hai ragione non avevo moltiplicato io
comunque il termine $ e^(rho^2-1) $ si può scrivere come $ e^(rho^2) e^(-1) $ ? Così da portare fuori dall'integrale il termine $ e^(-1) $
Il risultato finale mi viene una cosa del genere $ (1-6e^2+6e)((sqrt(3)-1)/2) $
"angelointi94":
Hai ragione non avevo moltiplicato io
"angelointi94":
comunque il termine $ e^(rho^2-1) $ si può scrivere come $ e^(rho^2) e^(-1) $ ? Così da portare fuori dall'integrale il termine $ e^(-1) $
si può ma non serve a nulla, una costante additiva all'esponente non cambia la derivata di $e^x$...(dai che qui davvero scendiamo ad analisi $e^-2$...[battutaccia stracopiata
]$ intrho^3e^(rho^2-1)drho =1/2intrho^2 2rhoe^(rho^2-1)drho=1/2[rho^2e^(rho^2-1)-inte^(rho^2-1)2rhodrho]=$
$=1/2rho^2e^(rho^2-1)-inte^(rho^2-1)rhodrho=1/2rho^2e^(rho^2-1)-1/2e^(rho^2-1)+C$
"angelointi94":
Il risultato finale mi viene una cosa del genere $ (1-6e^2+6e)((sqrt(3)-1)/2) $
non ho fatto in conti [e non vorrei farli]....non hai un risultato da controllare? l'integralino per parti l'hai fatto bene?
Io l'ho risolto per parti più volte (3!) portando fuori dall'integrale $ e^-1 $ nel seguente modo:
1) $ f(rho)= rho^3 $-------> $ f'(rho)=3 rho^2 $
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
2) $ f(rho)= rho^2 $-------> $ f'(rho)=2 rho $
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
2) $ f(rho)= rho $-------> $ f'(rho)=1 $
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
1) $ f(rho)= rho^3 $-------> $ f'(rho)=3 rho^2 $
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
2) $ f(rho)= rho^2 $-------> $ f'(rho)=2 rho $
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
2) $ f(rho)= rho $-------> $ f'(rho)=1 $
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
faccio davvero fatica a seguire il tuo ragionamento
ti ho spiegato come si risolve l'integrale per parti...ti ho anche messo i conti con tutti i passaggi...ti ho ricordato che non si deve "portar fuori" $e^-1$...se non ha i capito dimmi cosa non va e vedo di rispiegarti meglio il problema.
Ricordo che quando si opera una integrazione per parti non è che si deve lanciare una moneta e scegliere in questo modo quale sia f e quale g....si deve ragionare in maniera opportuna.
Inoltre mi piacerebbe che mi spiegassi il significato delle seguenti relazioni....
la scelta corretta per risolvere l'integrale per parti è questa:
$ { ( f(rho)=rho^2 ),( g'(rho)=rhoe^(rho^2-1)):}$
ti ho spiegato come si risolve l'integrale per parti...ti ho anche messo i conti con tutti i passaggi...ti ho ricordato che non si deve "portar fuori" $e^-1$...se non ha i capito dimmi cosa non va e vedo di rispiegarti meglio il problema.
Ricordo che quando si opera una integrazione per parti non è che si deve lanciare una moneta e scegliere in questo modo quale sia f e quale g....si deve ragionare in maniera opportuna.
Inoltre mi piacerebbe che mi spiegassi il significato delle seguenti relazioni....
"angelointi94":
1)
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
2)
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
2)
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
la scelta corretta per risolvere l'integrale per parti è questa:
$ { ( f(rho)=rho^2 ),( g'(rho)=rhoe^(rho^2-1)):}$
"tommik":
Inoltre mi piacerebbe che mi spiegassi il significato delle seguenti relazioni....
[quote="angelointi94"]
1)
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
2)
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
2)
$ g'(rho)= e^(rho^2) $-------> $ g(rho)=e^(rho^2) $
la scelta corretta per risolvere l'integrale per parti è questa:
$ { ( f(rho)=rho^2 ),( g'(rho)=rhoe^(rho^2-1)):}$[/quote]
Significa che ho posto come $ g'(rho)= e^(rho^2) $ e quindi la primitiva corrispondente è $ g(rho)=e^(rho^2) $, però hai ragione tu la scelta corretta è quella che hai scritto tu, e in due passaggi si risolve l'integrale! Io non avevo fatto caso che si poteva raggruppare in modo da ottenere l'integrale notevole del tipo $ int f'(x) e^(f(x)) dx= e^(f(x))+c $
Adesso il risultato mi viene 0!
"angelointi94":
Significa che ho posto come $ g'(rho)= e^(rho^2) $ e quindi la primitiva corrispondente è $ g(rho)=e^(rho^2) $,
[size=200]????????????????[/size]
ma ti rendi conto di cosa stai scrivendo o no? (scusa il linguaggio un po' diretto ma devi fare attenzione perché quello che hai scritto è un errore MOLTO grave....)
traduco:
stai affermando che
$ inte^(x^2) dx =e^(x^2)+C $
giusto per ricordati che un integrale del genere NON è nemmeno risolvibile in termini elementari....ciò che si può fare ad un integrale del genere è solo risolverlo definito..cioè tipo
$int_(-oo)^(+oo)e^(x^2) dx $
calcolando il quadrato di questo integrale come integrale doppio e svolgendolo in coordinate polari.....oppure approssimarlo con uno sviluppo in serie
stai affermando che
$ inte^(x^2) dx =e^(x^2)+C $
giusto per ricordati che un integrale del genere NON è nemmeno risolvibile in termini elementari....ciò che si può fare ad un integrale del genere è solo risolverlo definito..cioè tipo
$int_(-oo)^(+oo)e^(x^2) dx $
calcolando il quadrato di questo integrale come integrale doppio e svolgendolo in coordinate polari.....oppure approssimarlo con uno sviluppo in serie
"tommik":
traduco:
stai affermando che
$ inte^(x^2) dx =e^(x^2)+C $
giusto per ricordati che un integrale del genere NON è nemmeno risolvibile in termini elementari....ciò che si può fare ad un integrale del genere è solo risolverlo definito..cioè tipo
$int_(-oo)^(+oo)e^(x^2) dx $
calcolando il quadrato di questo integrale come integrale doppio e svolgendolo in coordinate polari.....
Perdonami ho confuso con il caso in cui $ e^x $
L'ho svolto come mi hai consigliato tu e mi viene 0 adesso, non saprei se è giusto il risultato però perché non ho il risultato dell'esercizio!
ok l'importante è che tu abbia capito....per il risultato non lo so...se ho tempo provo a fare i conti ma la cosa importante è capire bene il procedimento...
"tommik":
ok l'importante è che tu abbia capito....per il risultato non lo so...se ho tempo provo a fare i conti ma la cosa importante è capire bene il procedimento...
Si si ho capito, cioè la cosa più difficile è interpretare il dominio, poi ragionandoci su si risolve l'integrale.
Per quanto riguarda i conti grazie ma non c'è bisogno che li fai, già mi hai aiutato tantissimo (ti ho fatto anche imbestialire con alcune affermazione dette senza pensarci troppo
).
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