Integrazione per sostituzione

[missu00]

Buongiorno!
Purtroppo non riesco a capire alcuni punti di questo passaggio:
$ lim_(t_0 ->-oo )int_(t_0)^(t) W(t-tau )u(tau) d tau $
ponendo $ theta=t-tau $ il limite diviene
$ lim_(t_0 ->-oo )int_(0)^(t-t_0) W(theta )u(t-theta) d theta $ .
Ponendo questo cambio di variabile non dovrei avere $-d theta $ come differenziale?
Inoltre cosa è successo agli estremi di integrazione?
Grazie mille a chiunque vorrà darmi una mano .

[Quinzio]

Gli estremi di integrazione andrebbero scritti con la variabile di integrazione per abituarsi a tenerne conto, cosi'

$ lim_(t_0 ->-oo )int_(\tau = t_0)^(\tau = t) W(t-tau )u(tau) d tau $

Riscrivo gli estremi qui
$\tau = t$
$\tau = t_0$

e poi
$-\tau = -t$
$-\tau = -t_0$

e
$t-\tau = t-t = 0$
$t-\tau = t-t_0$

Faccio la sostituzione $\theta = t - \tau$
$\theta = 0$
$\theta= t-t_0$

Riscrivo l'integrale con la sostituzione e gli estremi "giusti". Nota il segno meno
$ lim_(t_0 ->-oo ) - int_(\theta= t-t_0)^(\theta = 0) W(theta )u(t-theta) d theta $

inverto gli estremi e sparisce il segno meno

$ lim_(t_0 ->-oo ) int_(\theta = 0)^(\theta= t-t_0) W(theta )u(t-theta) d theta $

che con gli estremi scritti in modo breve diventa

$ lim_(t_0 ->-oo ) int_(0)^(t-t_0) W(theta )u(t-theta) d theta $

[missu00]

Grazie mille Quinzio, è stato davvero chiarificatore.
Buona giornata