Integrazione per serie

[luciagua]

Salve mi si richiede di risolvere tale integrale con il metodo di integrazione per serie. Qualcuno sa aiutarmi?

$ int_(0)^(1) (arcsen(x))/x dx $

Ringrazio chiunque dedicherà qualche minuto a questo mio problema.
Saluti

[Raptorista1]

Tu non sai aiutarti un po da solo/a? Sai che cos'è l'integrazione per serie?

[luciagua]

Il teorema dell'integrazione per serie dovrebbe dire questo. Sia f= $ sum_(i =1 \ldotsn) $ fi allora $ int_(a)^(b) f $ = $ int_(a)^(b) sum(fi) $ = $ sum(int_(a)^(b) fi ) $

[Antimius]

Non è proprio così. Se la somma è finita (come hai scritto tu), il fatto che il simbolo di sommatoria si possa scambiare con quello di integrale è soltanto una conseguenza della linearità dell'integrale.
Nel caso delle serie hai bisogno di alcune condizioni sulle $f_i$ affinché tu possa ancora scambiare l'ordine di serie e integrale. Ci sono vari teoremi che puoi utilizzare a questo scopo: ad esempio, si verifica che è sufficiente verificare la convergenza uniforme delle $f_i$ se l'intervallo di integrazione è compatto; ma esistono anche teoremi di carattere più generale, come il teorema di Beppo-Levi o il teorema di convergenza dominata di Lebesgue.

Inoltre alcuni dei casi notevoli in cui puoi scambiare l'ordine di serie e integrale (che probabilmente sono quelli che ti interessano) sono:
1) quando le $f_i$ sono non-negative
2) quando la serie è una serie di potenze e l'intervallo di integrazione è un compatto contenuto nell'intervallo di convergenza

Detto ciò, comincia a esprimere la funzione che hai scritto tramite serie di potenze e studiarne il raggio di convergenza. Dopodiché, si tratta semplicemente di integrare "termine a termine"