Integrazione per parti
Ciao a tutti, mi sto cimentando da poco con gli integrali. Mi è capitato un integrale un pò particolare, ovvero, $(e^(-2x))*xdx$ (prima della e ovviamente ci va il segno di integrale ma non sapevo come scriverlo). Poiché abbiamo una funzione al posto della semplice x è necessaria la copresenza della sua derivata, in questo caso la derivata dell'esponente -2x ovvero -2 . Quindi ho portato fuori dall'integrale 1/2. A questo punto però non so come procedere, avrei voluto seguire la solita formula per l'integrazione per parti ma non ho idea di come destreggiarmi in queste situazioni.Pensavo di integrare la x e derivare $e^(-2x)$. Però, seriamente, non capisco come muovermi. Grazie mille, a risentirvi.
Risposte
Ripeto:
Usare quel segno di integrale così a bonus, è poco formale e poi scritta così, senza sapere l'altro membro dell'uguaglianza ha poco senso.
Io non lo mai trovata così (a parte che su Wikipedia, forse)
"Satiro":
Intendo il modo in cui è scritta
Usare quel segno di integrale così a bonus, è poco formale e poi scritta così, senza sapere l'altro membro dell'uguaglianza ha poco senso.
Io non lo mai trovata così (a parte che su Wikipedia, forse)
Sì, che sia poco formale concordo (e il formalismo è una cosa a cui rivolgo sempre tantissima attenzione),
ma magari aiuta "mnemonicamente" gli studenti a ricordarsi la formula per il calcolo dell'integrale di un prodotto di due funzioni "così come sono".
Di certo l'espressione "formula abbreviata" è fuori luogo... E' solo un modo più rapido e informale di scriverla.
ma magari aiuta "mnemonicamente" gli studenti a ricordarsi la formula per il calcolo dell'integrale di un prodotto di due funzioni "così come sono".
Di certo l'espressione "formula abbreviata" è fuori luogo... E' solo un modo più rapido e informale di scriverla.
"Mathcrazy":
Che le versioni abbreviate rappresentino uno schiaffo alla scienza, l'ho sempre pensato.
Ti pare chiara quella scrittura?
Intendo il modo in cui è scritta, sicuramente non è scritta così sul libro da cui l'hai presa,
Ho solo detto che mi è stata insegnata anche quella non a caso,anzichè dire di averla presa da un libro, moderiamo i toni.
Ragazzi ma scusate l'osservazione,ci sono un'infinità di 1/2 da portare a destra e manca,sin dall'inizio,per fare il primo integrale dobbiamo tirar fuori subito -1/2 per la necessaria copresenza della derivata.Quindi ancora prima di iniziare avremo $-1/2int e^(-2x)*xdx$ giusto? poi che fine fa quell'$1/2$? lo moltiplico subito all'integrale immagino.In definitiva mi esce $1/4e^(-2x)*(-1/4+x)+c$ ,riapparite ve prego,è tutto il giorno che ci provo e riprovo XD tra poco mi sparo,vi allego lo svolgimento mio.
[IMG=http://img443.imageshack.us/img443/3285/imgtw.jpg][/IMG]
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"Satiro":
Ragazzi ma scusate l'osservazione,ci sono un'infinità di 1/2 da portare a destra e manca,sin dall'inizio,per fare il primo integrale dobbiamo tirar fuori subito -1/2 per la necessaria copresenza della derivata.Quindi ancora prima di iniziare avremo $-1/2int e^(-2x)*xdx$ giusto? poi che fine fa quell'$1/2$? lo moltiplico subito all'integrale immagino.In definitiva mi esce $1/4e^(-2x)*(-1/4+x)+c$ ,riapparite ve prego,è tutto il giorno che ci provo e riprovo XD tra poco mi sparo,vi allego lo svolgimento mio.
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Il procedimento esatto è questo:
[tex]\int e^{-2x} \cdot x dx[/tex]
Dobbiamo, per l'appunto integrare per parti:
Poniamo
[tex]f(x)= x[/tex] quindi [tex]f'(x)= 1[/tex]
[tex]g'(x)= e^{-2x}[/tex] quindi [tex]g(x) = \int g'(x) = \int e^{-2x} dx = - \frac{1}{2} \int -2 \cdot e^{-2x} dx = - \frac{1}{2} e^{-2x}[/tex]
Applicando la formula dell'integrazione per parti otteniamo:
[tex]x \cdot (- \frac{1}{2} e^{-2x}) - \int 1 \cdot (- \frac{1}{2} e^{-2x}) dx[/tex]
[tex](- \frac{1}{2} x e^{-2x}) + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx[/tex] [Ho portato [tex]- \frac{1}{2}[/tex] fuori dal segno di integrale, moltiplicato al [tex]-1[/tex], diventa [tex]+[/tex]]
Ora, abbiamo bisogno di un [tex]-2[/tex] dentro il segno di integrale, così da avere un integrale immediato (*), quindi:
[tex](- \frac{1}{2} x e^{-2x}) - \frac{1}{4} \int -2 e^{-2x} dx[/tex] [ho moltiplicato e diviso per [tex]- \frac {1}{2}[/tex]]
[tex](- \frac{1}{2} x e^{-2x}) - \frac{1}{4} e^{-2x} dx +C[/tex]
mettendo in evidenza [tex]e^{-2x}[/tex] possiamo anche scriverlo così:
[tex]e^{-2x}(- \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} ) + C[/tex]
Chiaro?
________________________
(*) L'integrale immediato a cui faccio riferimento é:
[tex]\int f'(x) e^{f(x)}dx = e^{f(x)}+C[/tex]
Non mi è chiaro nel primo punto,non dovrebbe esserci un'altro -1/2? lo svoglimento l'ho capito,anche se ora lo rieseguo per essere sicuro,quello che non ho capito, cioè la causa del mio problema, sta nel $-1/2$ la regola,come giustamente hai applicato a metà circa,vuole la copresenza della derivata,nel nostro caso la derivata di -2x,quindi,poichè l'integrazione per parti chiede che un termine venga integrato subito,perchè non inserire sin dall'inizio la derivata di -2x?che quindi porta all'aggiunta del -2 ma sopratutto alla divisione per -1/2,stando al mio ragionamento,per quanto sbagliato,dovrebbe venire $-1/2int-1/2e^(-2x)*-2$
"Satiro":
Non mi è chiaro nel primo punto,non dovrebbe esserci un'altro -1/2? lo svoglimento l'ho capito,anche se ora lo rieseguo per essere sicuro,quello che non ho capito, cioè la causa del mio problema, sta nel $-1/2$ la regola,come giustamente hai applicato a metà circa,vuole la copresenza della derivata,nel nostro caso la derivata di -2x,quindi,poichè l'integrazione per parti chiede che un termine venga integrato subito,perchè non inserire sin dall'inizio la derivata di -2x?che quindi porta all'aggiunta del -2 ma sopratutto alla divisione per -1/2,stando al mio ragionamento,per quanto sbagliato,dovrebbe venire $-1/2int-1/2e^(-2x)*-2$
Prima di tutto non ho ben capito il primo punto a cui ti riferisci!
Poi, per quanto concerne la regola; che presumo sia l'integrazione per parti; ti faccio osservare che, in questo caso, l'utilità dell'integrazione per parti sta nel fatto che siamo riusciti a liberarci di una [tex]x[/tex] parecchio fastidiosa moltiplicata a [tex]e^{x}[/tex].
Poi:
quindi,poichè l'integrazione per parti chiede che un termine venga integrato subito,perchè non inserire sin dall'inizio la derivata di -2x?che quindi porta all'aggiunta del -2
Perchè la derivata di [tex]-2x[/tex] nel momento in cui la uso per risolvere un integrale,scompare e non posso riusarla in seguito.
Cioé, se ho questo integrale:
[tex]\int e^{3x} dx[/tex]
Per applicare l'integrale immediato devo avere, nel segno di integrale, la derivata di [tex]3x[/tex] cioè [tex]3[/tex].
Come faccio ad averla?
Moltiplico e divido per [tex]3[/tex]
[tex]\frac{1}{3} \cdot 3 \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} \int 3 e^{3x} dx[/tex]
Ora l'integrale [tex]\int 3 e^{3x} dx[/tex] è risolvibile come integrale immediato; quindi:
[tex]\frac{1}{3} \int 3 e^{3x} dx = \frac{1}{3} \cdot e^{3x} +C[/tex]
>Come noti quel 3 che si trovava all'interno dell'integrale adesso non c'è più.
Quindi se volessi integrare nuovamente la quantità che ho ottenuto avrei:
[tex]\int \frac{1}{3} \cdot e^{3x} dx = \frac{1}{3} \int e^{3x} dx[/tex]
Ho bisogno di nuovo del [tex]3[/tex], moltiplico e divido per [tex]3[/tex]:
[tex]\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \int 3 e^{3x} dx = \frac{1}{9} \cdot e^{3x} +C[/tex]
"pater46":
$f(x) = x \to f'(x) = 1$
$g(x) = e^(-2x) \to \int g(x) = e^(-2x)/(-2) $
Quindi... rimane $ -x/2e^(-2x) + 1/2 \int e^-2x = -x/2e^(-2x) + 1/2 e^(-2x)/ (-2) = -e^(-2x)/2 [ x + 1/2 ] $
Ma allora questo che te l'ho scritto a fare? XD
No aspetta,hai risposto a quello che già avevo capito,quello che non ho capito,di cui ho riportato l'esempio a fine del mio discorso sta nell'integrare quell'$e^(-2x)$,la storia del -2 che sparisce l'ho capita,quello che non capisco è perchè sparisca anche un $-1/2$ all'inizio,proprio all'inizio inizio,ancor prima di iniziare a svolgere l'esercizio.Per poterlo svolgere,poichè abbiamo una funzione e non una x così,isolata,non si dovrebbe fare da subito quel lavoretto di aggiungere un -2 e togliere un $-1/2$? è quello che sto cercando di capire dall'inizio del topic
Ho riletto ora il tuo primo post. In realtà non c'è bisogno che ci sia la derivata dell'esponente, perchè stai per integrare per parti!
Successivamente ti servirà, per integrare il solo esponenziale. Evidenzia meglio il $-2$ che "sparisce", se è quello che ho capito, allora ancora ( in principio ) non ha bisogno di esistere
Successivamente ti servirà, per integrare il solo esponenziale. Evidenzia meglio il $-2$ che "sparisce", se è quello che ho capito, allora ancora ( in principio ) non ha bisogno di esistere
Quello di moltiplicare e dividere per un valore è un modo per ritrovarsi nel segno di integrale qualche valore numerico che manca e che ci serve al fine di risolvere l'integrale.
Aspettate, mi devo essere spiegato male io, probabilmente credete che sia una domanda contorta o chissà che, ma, in realtà è stupida come pensavate.
Abbiamo l'integrale di partenza
$int e^(-2x) * X$
integrando per parti, letteralmente, dobbiamo, dapprima, in questo caso, ricopiar sotto la X e integrare l'esponenziale( poi ci si attacca un altro integrale con la copia dell'esponenziale integrato e la derivata della nostra x).
Questo è il nodo gordiano xD per quanto banale. Riferendomi al punto in cui dico "ricopiar sotto la X e integrare l'esponenziale" poiché il nostro esponenziale è una funzione di X non dovremmo mettere un $-1/2$ a sinistra del simbolo di integrale nel testo dell'esercizio?
Abbiamo l'integrale di partenza
$int e^(-2x) * X$
integrando per parti, letteralmente, dobbiamo, dapprima, in questo caso, ricopiar sotto la X e integrare l'esponenziale( poi ci si attacca un altro integrale con la copia dell'esponenziale integrato e la derivata della nostra x).
Questo è il nodo gordiano xD per quanto banale. Riferendomi al punto in cui dico "ricopiar sotto la X e integrare l'esponenziale" poiché il nostro esponenziale è una funzione di X non dovremmo mettere un $-1/2$ a sinistra del simbolo di integrale nel testo dell'esercizio?
Quando integri per parti hai bisogno di risolvere l'ntegrale [tex]$\int g'(x) dx$[/tex] (dove [tex]$g'(x)= e^{-2x}$[/tex]).
Per risolverlo hai bisogno di moltiplicare e dividere per [tex]$-2$[/tex], per cui ti ritrovi il [tex]$- \frac{1}{2}$[/tex] fuori dall'integrale (poichè hai bisogno di un [tex]$-2$[/tex] nel segno di integrale);
nel momento in cui applichi la formula di integrazione per parti, il fatto di aver moltiplicato e diviso resta segnato da quel [tex]$- \frac {1}{2}$[/tex] che resta.
Ora, devo ammettere che non ho ben capito la natura del tuo dubbio, quindi per avere un'idea più chiara, ti chiedo , se ne hai voglia, di risolvere questi integrali:
1. [tex]$\int 3x e^{3x}dx$[/tex]
2. [tex]$\int 4x e^{3x}dx$[/tex]
Per risolverlo hai bisogno di moltiplicare e dividere per [tex]$-2$[/tex], per cui ti ritrovi il [tex]$- \frac{1}{2}$[/tex] fuori dall'integrale (poichè hai bisogno di un [tex]$-2$[/tex] nel segno di integrale);
nel momento in cui applichi la formula di integrazione per parti, il fatto di aver moltiplicato e diviso resta segnato da quel [tex]$- \frac {1}{2}$[/tex] che resta.
Ora, devo ammettere che non ho ben capito la natura del tuo dubbio, quindi per avere un'idea più chiara, ti chiedo , se ne hai voglia, di risolvere questi integrali:
1. [tex]$\int 3x e^{3x}dx$[/tex]
2. [tex]$\int 4x e^{3x}dx$[/tex]
Esatto è quello il punto! Il fatto che mi ha sconvolto è che non ho capito dove sia
finito quel $-1/2$ iniziale nella vostra risoluzione.A dire il vero non capivo bene nemmeno cosa avrei dovuto farci. Cmq provo a risolvere quei due integrali spè spè
finito quel $-1/2$ iniziale nella vostra risoluzione.A dire il vero non capivo bene nemmeno cosa avrei dovuto farci. Cmq provo a risolvere quei due integrali spè spè
Intanto ti metto il primo:
$int 3x*e^(3x)dx$
$3x*1/3*(e^(3x))/3- int 3 * (e^(3x))/3$
$3x*1/3*(e^(3x))/3-1/3*(e^(3x))/3$
$(e^(3x)/3)x-(e^(3x))/9$
$1/3e^(3x)*(x-1/3)+c$
il secondo,invece, mi risulta
$ int4x*e^(3x) dx$
$4x*1/3*(e^(3x))/3-4/3 int e^(3x)$
$4x*(e^(3x))/3-4/3*1/3*(e^(3x))/3$
$4x*(e^(3x))/9-4/9*(e^(3x)/3$
$(e^(3x)/9)4x-(4e^(3x)/3)+c$
anche se non sono pienamente convinto del risultato
$int 3x*e^(3x)dx$
$3x*1/3*(e^(3x))/3- int 3 * (e^(3x))/3$
$3x*1/3*(e^(3x))/3-1/3*(e^(3x))/3$
$(e^(3x)/3)x-(e^(3x))/9$
$1/3e^(3x)*(x-1/3)+c$
il secondo,invece, mi risulta
$ int4x*e^(3x) dx$
$4x*1/3*(e^(3x))/3-4/3 int e^(3x)$
$4x*(e^(3x))/3-4/3*1/3*(e^(3x))/3$
$4x*(e^(3x))/9-4/9*(e^(3x)/3$
$(e^(3x)/9)4x-(4e^(3x)/3)+c$
anche se non sono pienamente convinto del risultato
Primo esercizio.
Chiamiamo [tex]$f(x)= x$[/tex] quindi: [tex]$ f'(x)= 1$[/tex]
mentre [tex]$g'(x)=3e^{3x}$[/tex]
forse, quello che segue, è il passaggio che non ti è chiaro:
per trovare [tex]$g(x)$[/tex] , dal momento che abbiamo definito [tex]$g'(x)$[/tex] (cioè la derivata di [tex]$g(x)$[/tex]), dobbiamo integrare [tex]$g'(x)$[/tex] così da trovare trovare [tex]$g(x)$[/tex].
Quindi integriamo [tex]$g'(x)=3e^{3x}$[/tex]
[tex]$g(x)= \int g'(x) = \int 3e^{3x} = e^{3x}$[/tex] (NB. qui non abbiamo avuto bisogno di dividere e moltiplicare per [tex]$3$[/tex], perché il [tex]3[/tex] che ci serve già c'è)
Per cui, applicando la formula di integrazione per parti:
[tex]$\int 3xe^{3x} dx = xe^{3x} - \int e^{3x} dx $[/tex]
Per risolvere l'integrale [tex]$\int e^{3x} dx$[/tex] dobbiamo dividere e moltiplicare per [tex]$3$[/tex]:
[tex]$xe^{3x} - \int e^{3x} dx = xe^{3x} - \frac{1}{3} \int 3 e^{3x} dx = xe^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x} + C$[/tex]
_____
Spero che questo potrà aiutarti a comprendere anche il secondo esercizio.
Chiamiamo [tex]$f(x)= x$[/tex] quindi: [tex]$ f'(x)= 1$[/tex]
mentre [tex]$g'(x)=3e^{3x}$[/tex]
forse, quello che segue, è il passaggio che non ti è chiaro:
per trovare [tex]$g(x)$[/tex] , dal momento che abbiamo definito [tex]$g'(x)$[/tex] (cioè la derivata di [tex]$g(x)$[/tex]), dobbiamo integrare [tex]$g'(x)$[/tex] così da trovare trovare [tex]$g(x)$[/tex].
Quindi integriamo [tex]$g'(x)=3e^{3x}$[/tex]
[tex]$g(x)= \int g'(x) = \int 3e^{3x} = e^{3x}$[/tex] (NB. qui non abbiamo avuto bisogno di dividere e moltiplicare per [tex]$3$[/tex], perché il [tex]3[/tex] che ci serve già c'è)
Per cui, applicando la formula di integrazione per parti:
[tex]$\int 3xe^{3x} dx = xe^{3x} - \int e^{3x} dx $[/tex]
Per risolvere l'integrale [tex]$\int e^{3x} dx$[/tex] dobbiamo dividere e moltiplicare per [tex]$3$[/tex]:
[tex]$xe^{3x} - \int e^{3x} dx = xe^{3x} - \frac{1}{3} \int 3 e^{3x} dx = xe^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x} + C$[/tex]
_____
Spero che questo potrà aiutarti a comprendere anche il secondo esercizio.
Il mio procedimento quindi andava abbastanza bene giusto?ho sbgliato nello scegliere g'(x),immagino che tu abbia scelto proprio il $3e^(3x)$ perchè,appunto,c'era già la copresenza della derivata,evitando così passaggi strani.Avrei potuto arrivarci in effetti,non ci ho proprio fatto caso.Grazie mille. Ah una cosa ho notato, $3e^(3x)$ non dovrebbe essere come dire $e^(kx)$?e quindi $(e^(kx))/k$?
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