Integrazione per parti
Ciao a tutti, mi sto cimentando da poco con gli integrali. Mi è capitato un integrale un pò particolare, ovvero, $(e^(-2x))*xdx$ (prima della e ovviamente ci va il segno di integrale ma non sapevo come scriverlo). Poiché abbiamo una funzione al posto della semplice x è necessaria la copresenza della sua derivata, in questo caso la derivata dell'esponente -2x ovvero -2 . Quindi ho portato fuori dall'integrale 1/2. A questo punto però non so come procedere, avrei voluto seguire la solita formula per l'integrazione per parti ma non ho idea di come destreggiarmi in queste situazioni.Pensavo di integrare la x e derivare $e^(-2x)$. Però, seriamente, non capisco come muovermi. Grazie mille, a risentirvi.
Risposte
L'integrale che devi svolgere è questo, $intx*e^(-2x)dx$, giusto ?
Se sì, è giusto cercare di farlo per parti. Comparendo una $x$, ti suggerisco di integrare $e^(-2x)$ e derivare $x$, cosicchè otterrai un integrale immediato visto che derivando $x$ ottieni $1$
Se sì, è giusto cercare di farlo per parti. Comparendo una $x$, ti suggerisco di integrare $e^(-2x)$ e derivare $x$, cosicchè otterrai un integrale immediato visto che derivando $x$ ottieni $1$
Ma poi cosa me ne faccio dell'1/2 portato fuori all'inizio? Se integro l'esponenziale dovrei ottenere lo stesso esponenziale diviso per 2 in questo caso... In questo modo porto fuori un altro 1/2 dal secondo integrale in modo da avere $1/2int(e^(-2x))$, ora la sparo grossa: trovandomi nella seguente situazione $x*((e^(-2x)))/2 - 1/2 (e^(-2x))$ --> $1/2*1/2*((xe^(-2x)(e^(-2x)))$ il secondo 1/2 sarebbe quello che ho portato fuori all'inizio per il quale mi lamentavo
No, vedilo così:
$intx*e^(-2x)dx=intf(x)*g'(x)dx$, dove si pone $f(x)=x$ e $g'(x)=e^(-2x)$.
Detto ciò si può utilizzare il metodi di integrazione per parti, e cioè
$intf(x)*g'(x)dx=f(x)*g(x)-intf'(x)*g(x).$. Devi solo sostituire le funzioni giuste adesso.
$intx*e^(-2x)dx=intf(x)*g'(x)dx$, dove si pone $f(x)=x$ e $g'(x)=e^(-2x)$.
Detto ciò si può utilizzare il metodi di integrazione per parti, e cioè
$intf(x)*g'(x)dx=f(x)*g(x)-intf'(x)*g(x).$. Devi solo sostituire le funzioni giuste adesso.
Scusa tanto relegal, ho modificato il messaggio a cui hai risposto, non pensavo rispondessi subito,prova a dare un'occhiata se puoi. Grazie
Ahahah scusa ho scritto una cavolata, credo di essere riuscito a risolverlo, mi risulta $1/4(e^(-2x)-1/2e^(-2x))+c$
La soluzione che hai proposto non può essere giusta perchè derivandola non ottieni il fattore $x$ che invece deve comparire 
Prova a riguardare i conti perchè la soluzione reale non si discosta molto nella forma da quella che hai riportato tu.
Prova a riguardare i conti perchè la soluzione reale non si discosta molto nella forma da quella che hai riportato tu.
Mmm non capisco dove sia l'errore.. Anche perché il risultato corrisponde a quello dato dal professore..
$f(x) = x \to f'(x) = 1$
$g(x) = e^(-2x) \to \int g(x) = e^(-2x)/(-2) $
Quindi... rimane $ -x/2e^(-2x) + 1/2 \int e^-2x = -x/2e^(-2x) + 1/2 e^(-2x)/ (-2) = -e^(-2x)/2 [ x + 1/2 ] $
$g(x) = e^(-2x) \to \int g(x) = e^(-2x)/(-2) $
Quindi... rimane $ -x/2e^(-2x) + 1/2 \int e^-2x = -x/2e^(-2x) + 1/2 e^(-2x)/ (-2) = -e^(-2x)/2 [ x + 1/2 ] $
"Satiro":
$x*((e^(-2x)))/2 - 1/2 (e^(-2x))$ --> $1/2*1/2*((xe^(-2x)(e^(-2x)))$
Momento momento momento momento momento momento... Mettendo in evidenza $1/2$ poi perchè al secondo membro ti viene $1/2 \cdot 1/2$ ? E perchè da una sottrazione si è passati ad un prodotto?
"Satiro":
Mmm non capisco dove sia l'errore.. Anche perché il risultato corrisponde a quello dato dal professore..
Non so se hai sbagliato a riportare il risultato che ti è uscito. Quello che hai scritto tu è sbagliato, per convincersene basta derivarlo e vedere se viene $x*e^(-2x)$ oppure no.
Bene, la derivata di $1/4(e^(-2x)-1/2e^(-2x))+c$ è $- e^(- 2·x)/4$. Quindi qualcosa che non va c'è sicuramente !
Ho fatto un pò di cavolate che poi non centrano col risultato che ho scritto,i vari 1/2 che vedi dovrebbero derivare dall'aver estratto 1/2 da $(e^(-2x)/2)$ inoltre c'era un 1/2 che avevo estratto in precedenza, proprio all'inizio dell'esercizio, il risultato che hai preso in considerazione so di averlo sbagliato alla grande.Il problema deriva dall'ultimo che ho postato.. Forse ho sbagliato un segno..Cmq pater non fare caso a quello che ho postato prima. Provo a risolverla ancora, se riesco posto lo svolgimento
ps il discorso è riferito a pater
ps il discorso è riferito a pater
Non riesco proprio a capire in che altro modo farlo, sono arrivato al punto in cui sono arrivato praticamente tentando ma senza nulla di certo.Avrei proprio bisogno di vedere lo svolgimento
Pater ha riportato uno svolgimento. Prova a darci un occhio, dopodichè prova a rifare il calcolo. Secondo me hai impostato male la formula dell'integrazione per parti e ti sei perso un pezzo ( credo tu abbia lasciato per strada una $x$).
Ti ho scritto la formula qualche post fa, prova a rileggerla e a sostituire di nuovo come ti ho indicato.
Ti ho scritto la formula qualche post fa, prova a rileggerla e a sostituire di nuovo come ti ho indicato.
"pater46":
$g(x) = e^(-2x) \to \int g(x) = e^(-2x)/(-2) $
Una piccola correzione pater:
Dal momento che avevi,correttamente, esposto in questo modo la formula:
[tex]\int f(x) \cdot g'(x) dx= f(x) \cdot g(x)-\int f'(x) \cdot g(x) dx[/tex]
il passaggio citato deve essere:
[tex]g'(x) = e^{-2x} \to \int g'(x) dx = \frac {e^{-2x}}{-2}[/tex]
mentre hai scritto:
[tex]g(x) = e^{-2x} \to \int g(x) dx = \frac {e^{-2x}}{-2}[/tex] che potrebbe trarre in inganno (mi riferisco al fatto che hai scritto [tex]g(x)[/tex] invece di [tex]g'(x)[/tex])!
"pater46":
$f(x) = x \to f'(x) = 1$
$g(x) = e^(-2x) \to \int g(x) = e^(-2x)/(-2) $
Quindi... rimane $ -x/2e^(-2x) + 1/2 \int e^-2x = -x/2e^(-2x) + 1/2 e^(-2x)/ (-2) = -e^(-2x)/2 [ x + 1/2 ] $
Avevo fatto un errore di segno... Ora è giusto. Il risultato è
$ -e^(-2x)/2 [ x + 1/2 ] $
"Mathcrazy":
il passaggio citato deve essere:
[tex]g'(x) = e^{-2x} \to \int g'(x) dx = \frac {e^{-2x}}{-2}[/tex]
mentre hai scritto:
[tex]g(x) = e^{-2x} \to \int g(x) dx = \frac {e^{-2x}}{-2}[/tex] che potrebbe trarre in inganno (mi riferisco al fatto che hai scritto [tex]g(x)[/tex] invece di [tex]g'(x)[/tex])!
Hai proprio ragione, è che eseguendolo troppo meccanicamente ho dimenticato di considerare la vera provenienza di quei passaggi. Danke
PS: Relegal ha scritto la regola in maniera impeccabile, seguendolo passo per passo sono arrivato al risultato esatto, a cui comunque tutti potevano arrivare, avrai fatto qualche errore di calcolo, riprova tenendo a mente la regola di leibniz.
"pater46":
Hai proprio ragione, è che eseguendolo troppo meccanicamente ho dimenticato di considerare la vera provenienza di quei passaggi. Danke
Lo so lo so, avevo immaginato!
Infatti non l'ho specificato per te (
), che ovviamente sai come vanno fatti questi esercizi, ma per Satiro che poteva avere problemi a capire quel passaggio !
a me hanno spiegato anche una versione abbreviata della formula $f int g- int(f' int g)
Che le versioni abbreviate rappresentino uno schiaffo alla scienza, l'ho sempre pensato.
Ti pare chiara quella scrittura?
Intendo il modo in cui è scritta, sicuramente non è scritta così sul libro da cui l'hai presa,
Ti pare chiara quella scrittura?
Intendo il modo in cui è scritta, sicuramente non è scritta così sul libro da cui l'hai presa,
"Mathcrazy":
[quote="Satiro"]a me hanno spiegato anche una versione abbreviata della formula $f int g- int(f' int g)
Che le versioni abbreviate rappresentino uno schiaffo alla scienza, l'ho sempre pensato.
Ti pare chiara quella scrittura?
Intendo il modo in cui è scritta, sicuramente non è scritta così sul libro da cui l'hai presa,[/quote]
Quella scrittura è chiara se si parte dall'integrale di un prodotto, scritto nella forma [tex]\int fg[/tex] anziché [tex]\int fg'[/tex].
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