Integrazione per fili
Salve ragazzi 
sto cercando di risolvere (o meglio, ho risolto ma non mi combacia la soluzione) un'esercizio sugli integrali tripli:
"Si calcoli l'area della porzione di superficie cilindrica
$x^2 + y^2 =1$
i cui punti hanno ordinata soddisfacente la condizione
$-2 + x^2 + 2y^2 < z < 2 - x^2 - y^2$ "
dato che z è compreso tra $g_1(x)$ e $g_2(x)$ procedo prima a integrare in $dz$ ;
quindi $int_(-2 + x^2 + 2y^2)^(2 - x^2 - y^2) dz = 4 - 2x^2 - 3y^2$
ora mi rimane da risolvere $int int_(x^2+y^2=1) 4 - 2x^2 - 3y^2 dxdy$
Passando alle coordinate polari, ottengo: $x=rho*cos(theta) , y=rho*sin(theta), 0 <= rho <= 1, 0 <= theta <=2pi$
il differenziale diventa $rho*drho*d theta$, quindi ho
$int d theta int_0^1 ((4 -2*rho^2*cos(theta)^2 - 3*rho^2*sen(theta)^2)*rho d rho)$
dopo alcune semplificazioni, ottengo
$int d theta int_0^1 (4*rho -2*rho^3 - rho^3*sen(theta)^2 d rho) = [2*rho^2 - 1/2*rho^4 - 1/4*rho^4*sen(theta)]_0^1 = 3/2 -1/4*sen(theta)^2$
integrando in $d theta$, il primo pezzo è immediato, e vale $[3/2*theta]_0^(2pi) = 3pi$
la seconda parte, considerando che $int sen(theta)^2 = theta/2 - ((cos(theta)*sin(theta))/2, è -1/4[(theta/2) - ((cos(theta)*sin(theta))/2]_0^(2pi)= -1/4pi$
in totale quindi $3pi - 1/4pi = 11/4pi$ , ma il libro dice che la soluzione è $3pi$ ;
errori di calcolo non credo di farne, perché ho anche ricontrollato tutti i passaggi con derive (prima di venirvi a scocciare): dove sbaglio? Oppure sbaglia il libro (improbabile)?
Grazie a chi mi darà una mano
sto cercando di risolvere (o meglio, ho risolto ma non mi combacia la soluzione) un'esercizio sugli integrali tripli:
"Si calcoli l'area della porzione di superficie cilindrica
$x^2 + y^2 =1$
i cui punti hanno ordinata soddisfacente la condizione
$-2 + x^2 + 2y^2 < z < 2 - x^2 - y^2$ "
dato che z è compreso tra $g_1(x)$ e $g_2(x)$ procedo prima a integrare in $dz$ ;
quindi $int_(-2 + x^2 + 2y^2)^(2 - x^2 - y^2) dz = 4 - 2x^2 - 3y^2$
ora mi rimane da risolvere $int int_(x^2+y^2=1) 4 - 2x^2 - 3y^2 dxdy$
Passando alle coordinate polari, ottengo: $x=rho*cos(theta) , y=rho*sin(theta), 0 <= rho <= 1, 0 <= theta <=2pi$
il differenziale diventa $rho*drho*d theta$, quindi ho
$int d theta int_0^1 ((4 -2*rho^2*cos(theta)^2 - 3*rho^2*sen(theta)^2)*rho d rho)$
dopo alcune semplificazioni, ottengo
$int d theta int_0^1 (4*rho -2*rho^3 - rho^3*sen(theta)^2 d rho) = [2*rho^2 - 1/2*rho^4 - 1/4*rho^4*sen(theta)]_0^1 = 3/2 -1/4*sen(theta)^2$
integrando in $d theta$, il primo pezzo è immediato, e vale $[3/2*theta]_0^(2pi) = 3pi$
la seconda parte, considerando che $int sen(theta)^2 = theta/2 - ((cos(theta)*sin(theta))/2, è -1/4[(theta/2) - ((cos(theta)*sin(theta))/2]_0^(2pi)= -1/4pi$
in totale quindi $3pi - 1/4pi = 11/4pi$ , ma il libro dice che la soluzione è $3pi$ ;
errori di calcolo non credo di farne, perché ho anche ricontrollato tutti i passaggi con derive (prima di venirvi a scocciare): dove sbaglio? Oppure sbaglia il libro (improbabile)?
Grazie a chi mi darà una mano
Risposte
Ti faccio notare che
$int_{0}^{2\pi} sen^2(theta)d \theta$ non può assumere un valore negativo.
Rettifico: solo dopo avere postato ho visto che l'espressione di $int_{0}^{2\pi} sen^2(theta)d \theta$ da te calcolata è corretta; alcuni simboli strani che compaiono nella tua espressione mi hanno fuorviato facendola comparire come negativa.
$int_{0}^{2\pi} sen^2(theta)d \theta$ non può assumere un valore negativo.
Rettifico: solo dopo avere postato ho visto che l'espressione di $int_{0}^{2\pi} sen^2(theta)d \theta$ da te calcolata è corretta; alcuni simboli strani che compaiono nella tua espressione mi hanno fuorviato facendola comparire come negativa.
Ho riprovato utilizzando le coordinate cilindriche:
$\{(x=cos(theta)),(y=sen(theta)),(z=z):}$
con $\theta in [0,2pi]$;
con rapidi calcoli si ha:
$ -cos^2(theta)<=z<=1$.
L'area è quindi data da:
$\int_0^(2theta)(int_(-cos^2(theta))^1dz)d theta$ il cui valore è esattamente $3pi$.
Volendo ti posso postare tutti i conti.
$\{(x=cos(theta)),(y=sen(theta)),(z=z):}$
con $\theta in [0,2pi]$;
con rapidi calcoli si ha:
$ -cos^2(theta)<=z<=1$.
L'area è quindi data da:
$\int_0^(2theta)(int_(-cos^2(theta))^1dz)d theta$ il cui valore è esattamente $3pi$.
Volendo ti posso postare tutti i conti.
Ciao...
innanzitutto grazie;
ho riprovato l'integrale ponendo $rho = 1$ e integrando direttamente in $d theta$, e viene.
Il problema ora è: perché $rho$ va messo uguale a 1 e non compreso tra 0 e 1?
perche la superficie cilindrica è x^2 + y^2 = 1 e non x^2+y^2 <=1?
innanzitutto grazie;
ho riprovato l'integrale ponendo $rho = 1$ e integrando direttamente in $d theta$, e viene.
Il problema ora è: perché $rho$ va messo uguale a 1 e non compreso tra 0 e 1?
perche la superficie cilindrica è x^2 + y^2 = 1 e non x^2+y^2 <=1?
Ciao
intanto preciso che il problema ci chiede di calcolare un'area e pertanto dobbiamo ricondurci ad un integrale doppio, invece quello che hai postato sopra risulta essere un integrale triplo e quindi rappresenta un volume.
Se consideriamo la sostituzione
$\{(x=rho cos(theta)),(y=rho sen(theta)),(z=z):}$
allora dalla relazione $x^2+y^2=1$ abbiamo $rho^2=1$ da cui $rho=1$ non potendo $rho$ assumere valori negativi.
intanto preciso che il problema ci chiede di calcolare un'area e pertanto dobbiamo ricondurci ad un integrale doppio, invece quello che hai postato sopra risulta essere un integrale triplo e quindi rappresenta un volume.
Se consideriamo la sostituzione
$\{(x=rho cos(theta)),(y=rho sen(theta)),(z=z):}$
allora dalla relazione $x^2+y^2=1$ abbiamo $rho^2=1$ da cui $rho=1$ non potendo $rho$ assumere valori negativi.
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