Integrazione insieme microcanonico
Salve a tutti ,
sto cercando di risolvere questo problema nel modo più semplice possibile .
Considerando \( N\gg 1 \) oscillatori classici unidimensionali , con la stessa massa e frequenza , determinarne l'energia interna nel limite di N molto grande.
Allora prima di tutto ho che l'Hamiltoniana del sistema è
$ H_n = \sum (p_i ^2/(2m)+1/2momega^2q_i^2) $
dove la somma è estesa a tutti gli N oscillatori.
In pratica devo impostare questo integrale ,
$ Sigma (E,N)= int_(H_n<=E) (d^Nq d^Np)/h^N $
Con $h$ che è solo una costante di normalizzazione.
Il fatto è che se non avessi quel potenziale armonico , avrei da integrare soltanto il termine cinetico , che mi corrisponde al volume di una sfera N-dimensionale , in più dovrei moltiplicare per un $V^N$che non è nient'altro che il volume reale occupato da ogni oscillatore.Con quel termine aggiuntivo non so dove mettere le mani.
sto cercando di risolvere questo problema nel modo più semplice possibile .
Considerando \( N\gg 1 \) oscillatori classici unidimensionali , con la stessa massa e frequenza , determinarne l'energia interna nel limite di N molto grande.
Allora prima di tutto ho che l'Hamiltoniana del sistema è
$ H_n = \sum (p_i ^2/(2m)+1/2momega^2q_i^2) $
dove la somma è estesa a tutti gli N oscillatori.
In pratica devo impostare questo integrale ,
$ Sigma (E,N)= int_(H_n<=E) (d^Nq d^Np)/h^N $
Con $h$ che è solo una costante di normalizzazione.
Il fatto è che se non avessi quel potenziale armonico , avrei da integrare soltanto il termine cinetico , che mi corrisponde al volume di una sfera N-dimensionale , in più dovrei moltiplicare per un $V^N$che non è nient'altro che il volume reale occupato da ogni oscillatore.Con quel termine aggiuntivo non so dove mettere le mani.
Risposte
Ho pensato ad una sostituzione , vorrei sapere se ho fatto bene, almeno nel procedimento , dato che non riesco a trovare il risultato in rete, ne sui miei libri.
$ Sigma (E,N)= int_((p_i ^2/(2m)+1/2momega^2q_i^2)<=E) (d^Nq d^Np)/h^N $
Let $ q_i=(x_i)/(momega) $ , avrò
$ Sigma (E,N)=1/(hmomega)^N int_((p_i ^2+x_i^2)<=2mE) (d^Nx d^Np) $
Questo è il volume di una sfera 2N-dimensionale.
So che in generale il volume di una sfera n dimensionale è
$ V_n(R)=R^n(2pi^(n/2))/(Gamma(n/2+1) $ , nel mio caso avrò dunque
$ Sigma (E,N)=(2pi^N)/(homega)^N(E)^N/(N!) $ ,
dove , ho sostituito
$ Gamma(N+1)=N! $ per il fatto che $N≫1$
Grazie per l'aiuto.
$ Sigma (E,N)= int_((p_i ^2/(2m)+1/2momega^2q_i^2)<=E) (d^Nq d^Np)/h^N $
Let $ q_i=(x_i)/(momega) $ , avrò
$ Sigma (E,N)=1/(hmomega)^N int_((p_i ^2+x_i^2)<=2mE) (d^Nx d^Np) $
Questo è il volume di una sfera 2N-dimensionale.
So che in generale il volume di una sfera n dimensionale è
$ V_n(R)=R^n(2pi^(n/2))/(Gamma(n/2+1) $ , nel mio caso avrò dunque
$ Sigma (E,N)=(2pi^N)/(homega)^N(E)^N/(N!) $ ,
dove , ho sostituito
$ Gamma(N+1)=N! $ per il fatto che $N≫1$
Grazie per l'aiuto.
La sostituzione mi convince. L'unica cosa è che non hai ancora usato l'assunzione \(N\gg 1\). La formula \(\Gamma(N+1)=N!\) è una cosa vera per ogni \(N\).
Il risultato che devi produrre deve essere indipendente da \(N\), e sennò che hai fatto? Non hai fatto niente.
Il risultato che devi produrre deve essere indipendente da \(N\), e sennò che hai fatto? Non hai fatto niente.
Si hai ragione , mi sono confuso perché adesso devo calcolarmi il logaritmo di questa cosa e allora sfrutto il fatto che
$N≫1$ per il fattoriale.
Non capisco perché devo ottenere un risultato indipendente da N.
$N≫1$ per il fattoriale.
Non capisco perché devo ottenere un risultato indipendente da N.
Continuando l'esercizio in effetti mi accorgo di non sfruttare il fatto che $N≫1$,
tranne che per il logaritmo di quel fattoriale , che comunque sia per i miei scopi è una costante.
Procedo in questo modo
$ 1/T=(partialS)/(partialE)=(partial(klogΣ(E,N)))/(partialE)=(Nk)/E $
da cui poi
$ E=NkT $
che è in accordo con la ripartizione dell'energia dato che ho due gradi di libertà.
tranne che per il logaritmo di quel fattoriale , che comunque sia per i miei scopi è una costante.
Procedo in questo modo
$ 1/T=(partialS)/(partialE)=(partial(klogΣ(E,N)))/(partialE)=(Nk)/E $
da cui poi
$ E=NkT $
che è in accordo con la ripartizione dell'energia dato che ho due gradi di libertà.
Tu dici che va bene un risultato dipendente da $N$? Se ne sei sicuro allora vai avanti, non stare a pensare al mio commento. Pensavo non fosse così ma io sono anche completamente ignorante di meccanica statistica, quindi lascia stare.
Ok , ti ringrazio .
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