Integrazione complessa e coefficiente di Fourier
Consideriamo il problema seguente.
Sia
\[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta (t - n \tau) \]
dove
\[ \delta (t - n \tau) = \cases{1 & \text{per}\ t = n \tau \\ 0 & \text{per}\ t \ne n \tau} \]
La funzione $ f $ è periodica di periodo $ \tau $. Sviluppandola in serie di Fourier, ottengo
\[ f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{i \omega kt} \]
dove
\[ c_k = \frac{1}{\tau} \int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}f(t)e^{-i \omega kt}dt = \frac{1}{\tau} \int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta (t - n \tau)e^{-i \omega kt}dt = \frac{1}{\tau} \int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}} \delta (t) e^{-i \omega kt}dt \]
A quanto risulta, tale integrale dovrebbe valere 1, ma osservando la funzione integranda mi accorgo che questa è sempre nulla (a parte in t = 0), pertanto l'integrale è anch'esso nullo.
Dov'è che sbaglio?
Sia
\[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta (t - n \tau) \]
dove
\[ \delta (t - n \tau) = \cases{1 & \text{per}\ t = n \tau \\ 0 & \text{per}\ t \ne n \tau} \]
La funzione $ f $ è periodica di periodo $ \tau $. Sviluppandola in serie di Fourier, ottengo
\[ f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{i \omega kt} \]
dove
\[ c_k = \frac{1}{\tau} \int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}f(t)e^{-i \omega kt}dt = \frac{1}{\tau} \int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta (t - n \tau)e^{-i \omega kt}dt = \frac{1}{\tau} \int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}} \delta (t) e^{-i \omega kt}dt \]
A quanto risulta, tale integrale dovrebbe valere 1, ma osservando la funzione integranda mi accorgo che questa è sempre nulla (a parte in t = 0), pertanto l'integrale è anch'esso nullo.
Dov'è che sbaglio?
Risposte
La \(\delta\) non è una funzione, ma una distribuzione, quindi è evidente che quell'integrale non ha il senso solito.
Per convenzione (che poi è un abuso di notazione, usato per lo più dagli ingegneri), si pone:
\[
\int_{-\infty}^\infty \delta (t-T)\ f(t)\ \text{d} t=f(T)\; .
\]
Nel tuo caso l'integrale è uguale a \(e^{-\imath\ \omega kt}\Big|_{t=0}=1\).
Inoltre, quando si usa tale "convenzione", la \(\delta\) non è definita come fai tu, bensì nel modo seguente:
\[
\delta(t) = \begin{cases} 0 &\text{, se } t\neq 0\\
+\infty &\text{, se } t=0
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad \int_{-\infty}^\infty \delta (t)\ \text{d} t=1
\]
che è un orrore matematico...
Se esistesse una galleria madame Tussauds per gli orrori matematici in cera, questo sarebbe uno dei peggiori.
Per convenzione (che poi è un abuso di notazione, usato per lo più dagli ingegneri), si pone:
\[
\int_{-\infty}^\infty \delta (t-T)\ f(t)\ \text{d} t=f(T)\; .
\]
Nel tuo caso l'integrale è uguale a \(e^{-\imath\ \omega kt}\Big|_{t=0}=1\).
Inoltre, quando si usa tale "convenzione", la \(\delta\) non è definita come fai tu, bensì nel modo seguente:
\[
\delta(t) = \begin{cases} 0 &\text{, se } t\neq 0\\
+\infty &\text{, se } t=0
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad \int_{-\infty}^\infty \delta (t)\ \text{d} t=1
\]
che è un orrore matematico...
Se esistesse una galleria madame Tussauds per gli orrori matematici in cera, questo sarebbe uno dei peggiori.
Allora è come sospettavo. Ti ringrazio per la conferma.
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