Integraluccio

[makavelli]

chi mi dà una mano per codesto integrale indefinito?

∫ (x^4)/(1-x^4)

[_luca.barletta]

fattorizza il denominatore

[makavelli]

x^4/(1-x^2)(1+x^2)


e poi??

[_luca.barletta]

non è ancora fattorizzato interamente. Poi riduci a fratti semplici

[fireball1]

Poi fattorizzi ancora e trovi quattro costanti reali $A,B,C,D$ tali che
$x^4/((1-x)(1+x)(1+x^2)) = A/(1-x) + B/(1+x) + (Cx+D)/(1+x^2)

[makavelli]

si ho capito ma se faccio così , trovo un polinomio in a,b,c,d coeff. reali, ma di terzo grado, e non di quarto come l'originale.... è prprio questo che mi incasinA....... ?

[_luca.barletta]

basta osservare inizialmente che
$x^4/(1-x^4)=-1+1/(1-x^4)$

[makavelli]

ok luca,
allora diventa così


A/(1-x) + B/(1+x)+ C/(1-x^2)+D(1+x^2)... è questa l'esatta scomposizione?

Se ho due polinomi di stesso grado posso esegure una divisione tra loro?
Con deu polinomi in cui denominatore è di grado uguale al denom, come nel mio caso non si usano i fratti semplici vero?

[_luca.barletta]

la scomposizione è questa:
$1/((1-x)(1+x)(1+x^2)) = A/(1-x) + B/(1+x) + (Cx+D)/(1+x^2)

cioè tieni da parte il -1, avendo già fatto la divisione tra polinomi; scomponi solo il resto

[makavelli]

mi risp alle altre due domande?

[_luca.barletta]

ho già risp mentre postavi

[Giova411]

Sapete il risultato?
Ho provato a farlo e mi viene:
$1/2*tan^(-1)x - x + 1/4 * ln |(1+x)/(1-x)| + C$

[_luca.barletta]

sì, è quello, se con $tan^(-1)x$ intendi l'arcotangente

[Giova411]

si... con la trigonometria combatto una dura lotta...
Prima o poi mi entra nella capoccia.