Integrali tripli

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti, avrei bisogno di una mano per questo tipo di esercizio sugli integrali tripli con dominio. Il mio problema è che non riesco a impostare l'integrale da calcolare, ovvero non riesco a determinare gli estremi su cui integrare la funzione (e penso che sia proprio questa la cosa difficile). Ho visto che in molti esercizi si usano i cambiamenti di coordinate polari, sferiche o cilindriche. Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano a capire come fare? Posto qua qualche esercizio. Grazie a tutti

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":La t non si può esplicitare, va risolta la disequazione $sintcost>0$, con i soliti metodi in cui si affrontano le disequazioni, ossia si trova il dominio in cui è positiva sint, quello in cui è positiva la cost e poi si fa il grafico dei segni per vedere dove il loro prodotto è positivo

sisi scusami ma avevo capito dopo che ti ho scritto il messaggio e l'ho modificato.

[donald_zeka]

Quelle li sono le coordinate cilindriche che rappresentano tutto lo spazio $RR^3$, ma a te non serve tutto $RR^3$, ma solo la porzione di $RR^3$ delimitata da quelle disequazioni date dal testo

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":Quelle li sono le coordinate cilindriche che rappresentano tutto lo spazio $RR^3$, ma a te non serve tutto $RR^3$, ma solo la porzione di $RR^3$ delimitata da quelle disequazioni date dal testo

ok quindi $t$ lo calcolo sempre

[Sk_Anonymous]

"jack1":[quote="Vulplasir"]Eh, per trovare gli estremi di $t$ devi risolvere $xy>0$, per trovare gli estremi di s devi risolvere $1+z^2<=2$ e per trovare gli estremi di $r$ devi risolvere $1+z^2<=x^2+y^2<=2$

per trovare gli estremi di $t$ se faccio $xy>0$ mi viene $r^2>=0$ e non trovo $[0,pi/2]$. Nell'esercizio che ho svolto sul quaderno gli estremi di $ r$ sono $sqrt(1+s^2)
Non ho ancora capito perchè gli estremi di $ r$ sono $sqrt(1+s^2)

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[donald_zeka]

Quello è proprio il risultato a cui si perviene facendo come ho detto io

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":Quello è proprio il risultato a cui si perviene facendo come ho detto io

Ma se $r>=0$ per definizione data dalle coordinate cilindriche io avrei scritto $0<=r<=sqrt(2)$. è sbagliato ma non capisco come faccio a scegliere tra $0$ e $sqrt(1-s^2)$ dato che in alcuni esercizi viene usato lo $0$ di definizione.

[donald_zeka]

$r>=0$ per definizione significa che r non può essere negativo, ma può essere un qualsiasi numero positivo, e per determinare quali valori può assumere bisogna risolvere la disequazione che ti ho detto io

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":$r>=0$ per definizione significa che r non può essere negativo, ma può essere un qualsiasi numero positivo, e per determinare quali valori può assumere bisogna risolvere la disequazione che ti ho detto io

Perfetto

[Sk_Anonymous]

Scusami, ma in un esercizio come questo perchè risulta $0 Il dominio dell'esercizio è questo: $ A={z^4<=x^2+y^2<=1} $
Io ho risolto usando le coordinate cilindriche quindi: $s^4<=r^2<=1$ e con $ r>=0 $ e $0 Riducendo avrò che $ s^2<=r<=1$. Ora ho pensato che gli estremi di $r$ fossero già questi $ s^2<=r<=1$ mentre in realtà dovrebbero essere $0 Grazie

[donald_zeka]

E' sbagliato, gli estremi sono: $s in (-1,1)$, $theta in (0,2pi)$, $r in (s^2,1)$, infatti gli estremi di $r$ variano in base alla quota $s$ sull'asse $z$, in pratica è una integrazione per fette in cui l'area di ogni fetta dipende da $s$, e questa dipendenza è data proprio dal fatto che $r$ varia da $s^2$ fino a $1$

[Sk_Anonymous]

Ah ecco infatti mi sembrava strano che non fosse così. Grazie mille

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":E' sbagliato, gli estremi sono: $s in (-1,1)$, $theta in (0,2pi)$, $r in (s^2,1)$, infatti gli estremi di $r$ variano in base alla quota $s$ sull'asse $z$, in pratica è una integrazione per fette in cui l'area di ogni fetta dipende da $s$, e questa dipendenza è data proprio dal fatto che $r$ varia da $s^2$ fino a $1$

Vulplasir torno sull'esercizio perchè la tua conferma alla mia risoluzione era sbagliata ma sarà stata sicuramente una distrazione. Ora ti spiego e avrei anche un'altra domanda in merito.
L'esercizio era questo: $int int int $ dove il dominio degli integrali era $ z^4<=x^2+y^2<=1 $.
Io ho studiato usando le coordinate cilindriche ponendo
$x=r*cos(t), y=r*sin(t), z=s$ dove $r>=0$ e $ tin[0,2pi]$ ottenendo $s^4<=r^2<=1$.

Da qui si ricava semplicemente che:
1 $ -1<=r<=1$ considerando $r^2<=1$
2 $ s^2 3 $-1<=s<=1$ considerando $s^4<=1$

Ora dato che $r>=0$ per def, dalla 1 non è accettabile che $-1<=r$ mentre dalla 2 non è accettabile che $r<=-s^2$.
Quindi "teniamo validi" $r<=1 $ e $ r>=s^2$. Unendoli avremo che $s^2<=r<=1$ e per definizione abbiamo che $r>=0$.
Nella risoluzione dell'integrale gli estremi in cui è compreso $r$ sono $0$ e $1$
L'$1$ l'ho capito mentre non riesco a capire come scegliere tra lo $0$ di definizione e $s^2$.
L'integrale che deve risultare è questo: $int_0^(2pi) int_(-1)^(1) int_(0)^(1) drdsdt$

Grazie