Integrali tripli

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti, avrei bisogno di una mano per questo tipo di esercizio sugli integrali tripli con dominio. Il mio problema è che non riesco a impostare l'integrale da calcolare, ovvero non riesco a determinare gli estremi su cui integrare la funzione (e penso che sia proprio questa la cosa difficile). Ho visto che in molti esercizi si usano i cambiamenti di coordinate polari, sferiche o cilindriche. Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano a capire come fare? Posto qua qualche esercizio. Grazie a tutti

[Sk_Anonymous]

nessuno sa aiutarmi?

[donald_zeka]

Se ne posti 20 dubito riceverei qualche risposta, ognuno può avere risoluzioni diverse e non è detto che siano semplici, postane uno alla volta

[Sk_Anonymous]

Ciao Vulplasir. Ne ho postati molti per dare la possibilità a chi risponde di sceglierne uno a caso per fare un esempio. Non ho mica bisogno che me li svolgiate tutti. Volevo solo cercare di imparare a farli. In ogni caso modifico il messaggio. Grazie della risposta

[donald_zeka]

La prima condizione $xy>0$ dice che l'insieme A si trova sul primo e terzo quadrante, la seconda condizione invece:

$1+z^2<=z^2+y^2<=2$, dice che per ogni $z in (-1,1)$, bisogna integrarare nella corona circolare definito dalla seconda condizione stessa, pertanto puoi applicare il metodo delle fette parallele al piano xy, sia $A_z$ la regione che si ottiene tagliando lo spazio con un piano ad altezza $z$, allora devi fare l'integrale $int_(-1)^(1)(int_(A_z)fdxdy)dz$

Dove l'integrale $int_(A_z)fdxdy$ è eseguito sulla corona circolare $1+z^2<=x^2+y^2<=2$, e qui puoi facilmente passare a coordinate polari

[Sk_Anonymous]

non ho capito come si fa a trovare che $ zin (-1,1) $. E comunque ti volevo chidere altre due cose: sai come scrivere questo esercizio su wolfram? Altra cosa: sai dove posso studiare e capire bene gli integrali in più variabili?

Grazie mille

[donald_zeka]

$z in (-1,1)$ perché sono gli unici valori che verificano la condizione $1+z^2<=z^2+y^2<=2$

Riguardo a wolfram alpha non saprei, prova qui

http://www.wolframalpha.com/widgets/vie ... 22679363a4

Riguardo all'ultima domanda, cerca su internet, c'è di tutto, da spiegazioni a esercizi svolti sugli integrali tripli, un "dove" preciso non lo so

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":$z in (-1,1)$ perché sono gli unici valori che verificano la condizione $1+z^2<=z^2+y^2<=2$

Riguardo a wolfram alpha non saprei, prova qui

http://www.wolframalpha.com/widgets/vie ... 22679363a4

Riguardo all'ultima domanda, cerca su internet, c'è di tutto, da spiegazioni a esercizi svolti sugli integrali tripli, un "dove" preciso non lo so

Si ho capito che sono gli unici valori ma non ho capito come si trovano. Devo svolgere $ 1+z^2=z^2+y^2=2 $ ?
Riguardo a wolfram l'avevo visto anche io quel sito ma in ogni caso bisogna comunque trovare gli estremi di integrazione. Volevo sapere se scrivendo il dominio su wolfram, mi trova gli estremi per esempio. Grazie

[donald_zeka]

Devi risolvere la disequazione $1+z^2<=2$, per quanto riguarda wolfram alpha invece non se se restituisce gli estremi, ho provato ma non viene

[Sk_Anonymous]

Ho provato a fare questo esercizio ma non riesco a capire una cosa. Allora il dominio è questo:
$ A={xy>0, 1+z^2<=x^2+y^2<=2} $
Io ho svolto con le coordinate cilindriche e ho ottenuto dalla prima disequazione che:
$ r^2>=0 $ quindi $ r>=0 $
poi:
$ 1+s^2<=r^2<=2 $ e t non ho capito perchè in alcuni esercizi è comrpesto così $ 0 In ogni caso, dal secondo pezzo ho ricavato $ 0<=r<=sqrt(2) $ e $ 1+s^2<=2 $ quindi $ -1<=s<=1 $.
Ma nella risoluzione gli estremi di $ s $ e $ t $ li ho beccati (anche se $ t $ non ho capito perchè cambia come ho detto sopra), mentre $ r $ me lo mette in questo modo $ sqrt(1+s^2)

Cita

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[donald_zeka]

Scrivi il cambio di variabili che hai fatto

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":Scrivi il cambio di variabili che hai fatto

$ x=rcos(t), y=rsin(t), z=s $

[donald_zeka]

Eh, per trovare gli estremi di $t$ devi risolvere $xy>0$, per trovare gli estremi di s devi risolvere $1+z^2<=2$ e per trovare gli estremi di $r$ devi risolvere $1+z^2<=x^2+y^2<=2$

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":Eh, per trovare gli estremi di $t$ devi risolvere $xy>0$, per trovare gli estremi di s devi risolvere $1+z^2<=2$ e per trovare gli estremi di $r$ devi risolvere $1+z^2<=x^2+y^2<=2$

per trovare gli estremi di $t$ se faccio $xy>0$ mi viene $r^2>=0$ e non trovo $[0,pi/2]$. Nell'esercizio che ho svolto sul quaderno gli estremi di $ r$ sono $sqrt(1+s^2)

Cita

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[donald_zeka]

Scusa ma se $x=rcost$ e $y=rsint$, allora $xy=$?

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":Scusa ma se $x=rcost$ e $y=rsint$, allora $xy=$?

$xy = r^2cos^2(t)*r^2sin^2(t) = r^2(cos^2(t)*sin^2(t))= r(cos(t)*sin(t)) $ e poi come vado avanti. Si comunque avevo sbagliato prima $xy$. Come trovo la $ t$?

[donald_zeka]

$xy=rcostsint>0$, $r$ per definizione è maggiore o uguale a zero, pertanto da questa risulta $r>0$, quindi affinché sia sempre verificata devi trovare t dall'equazione $costsint>0$

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":$xy=rcostsint>0$, $r$ per definizione è maggiore o uguale a zero, pertanto da questa risulta $r>0$, quindi affinché sia sempre verificata devi trovare t dall'equazione $costsint>0$

giusto, ma non so come si svolga. Sai aiutarmi?

[donald_zeka]

È un prodotto tra cost e sint, quand è che un prodotto è positivo? Non dovresti avere dubbi su equazioni e disequazioni, sono cose base che vanno sapute prima di affrontare un corso di analisi o qualsiasi altra cosa

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":È un prodotto tra cost e sint, quand è che un prodotto è positivo? Non dovresti avere dubbi su equazioni e disequazioni, sono cose base che vanno sapute prima di affrontare un corso di analisi o qualsiasi altra cosa

aah vero, non avevo pensato al grafico di $sin$ e $cos$. In ogni caso posso chiederti perchè su questo sito $ vartheta $ (che da me è $t$ ) lo definisce a priori tra $[0,2pi]$ ?
http://www.****.it/lezioni/analisi-d ... riche.html

[donald_zeka]

La t non si può esplicitare, va risolta la disequazione $sintcost>0$, con i soliti metodi in cui si affrontano le disequazioni, ossia si trova il dominio in cui è positiva sint, quello in cui è positiva la cost e poi si fa il grafico dei segni per vedere dove il loro prodotto è positivo