Integrali, Quando usarli?

[Larios1]

Vorrei sapere in generale quando è consigliabile utilizzare gli integrali e se qualcuno puo girarmi qualche link esaustivo sull'argomento.

Grazie

[f.bisecco]

cosa intendi per quando usarli?

[gugo82]

"Larios":Vorrei sapere in generale quando è consigliabile utilizzare gli integrali e se qualcuno puo girarmi qualche link esaustivo sull'argomento.

Grazie

Gli integrali sono ricchi di fibre che aiutano l'intestino ad avere una maggiore regolarità: pertanto è consigliabile usarli in caso di stipsi.

Questa è una delle tante risposte possibili alla domanda posta: per evitare equivoci bisogna imparare a formulare le domande correttamente.
Riprova, sarai più fortunato.

[Larios1]

non riesco a capire che tipo di informazioni da un integrale rispetto all'andamento di una funzione, visto che da quel che ho capito serve per calcolare aree(superiori ed inferiori), che vantaggi ho in questo modo? Qual'è lo scopo di un integrale?

[jubstuff]

Beh, penso che si debba fare una distinzione tra integrale indefinito e integrale definito..
L'integrale indefinito $int(f(x)dx)$ ha lo scopo di trovare, partendo dalla $f(x)$ una funzione F(x) tale che sia:
$DF(x) = d/(dx)[F(x)]=f(x)$ cioè una funzione che, derivata, dia la funzione di partenza $f(x)$. Questo poi implica tutte le considerazioni del caso, come l'aggiunta di una costante e così via...
L'integrale definito, invece, utilizzando l'operatore integrale, permette di calcolare l'area di piano sottesa a una funzione $f(x)$ in un intervallo chiuso e limitato [a,b].
Ora vorrei capire per cosa vorresti utilizzare l'integrale.....

[shenk]

se per esempio hai un grafico che ti dice la velocità (su una determinata direzione) di un corpo, l'integrale della funzione velocità (da meno infinito a t) ti dà la posizione del corpo

[Larios1]

grazie per le risposte, quello che mi interessa è il caso definito della sommatoria

io quello che devo calcolarmi è semplicemente la stima asisntotica e questo posso farlo applicando gli integrali
ma quello che mi lascia perplesso è come si ricavi tale stima per mezo di aree mi sembrano cose completamente diverrse, no?

[Larios1]

up

[gugo82]

"Larios":grazie per le risposte, quello che mi interessa è il caso definito della sommatoria

io quello che devo calcolarmi è semplicemente la stima asisntotica e questo posso farlo applicando gli integrali
ma quello che mi lascia perplesso è come si ricavi tale stima per mezo di aree mi sembrano cose completamente diverrse, no?

A quanto ho capito ti riferisci al criterio di convergenza integrale per le successioni a termini non negativi.
Per fare un po' di chiarezza comincio a riportare l'enunciato del criterio:

Sia $\sum a_n$ un serie a termini non negativi (ossia $AAn in NN,quad a_nge0$).
Se esistono un $nu in NN$ ed una funzione $f:[nu,+oo[toRR$ positiva e monotona decrescente tale che $AA nge nu,quad f(n)=a_n$ allora la serie $\sum a_n$ converge o diverge a seconda che risulti convergente o divergente l'integrale improprio $\int_(nu)^(+oo)f(x) "d"x$.

Se ci pensi un attimo la cosa è abbastanza evidente: infatti, fissato $nge nu$, tenendo presenti le relazioni tra l'integrale di una funzione limitata e gli estremi della funzione stessa nell'intervallo d'integrazione hai:

$a_(n+1)=f(n+1)="min"_([n,n+1]) fle\int_n^(n+1)f(x)"d"xle"max"_([n,n+1]) f=f(n)=a_n$

e quindi sommando su $n$ partendo da $nu$ fino a $M>nu$ ottieni:

(*)$quad \sum_(n=nu)^(M) a_(n+1)le \int_(nu)^(M)f(x)"d"xle \sum_(n=nu)^M a_n$;

dalla prima delle (*) ricavi che le somme parziali della serie sono limitate superiormente se l'integrale $\int_(nu)^(+oo)f(x)"d"x$ esiste finito, cosicchè la seria $\sum a_n$ converge (perchè a termini non negativi); dalla seconda delle (*) ricavi che le somme parziali di $\sum a_n$ sono minorate da una successione positivamente divergente se invece risulta $\int_(nu)^(+oo)f(x)"d"x=+oo$, cosicchè la tua serie sarà divergente.

Il criterio di convergenza integrale è applicabile a tutte quelle serie a termini positivi i cui addendi si ottengono come valori puntuali di funzioni elementari decrescenti. Ovviamente devi anche essere in grado di stabilire la convergenza dell'integrale che salta fuori dall'applicazione del criterio, altrimenti è fatica sprecata.

Di solito si risolve la questione della convergenza di una serie a termini non negativi applicando i criteri della radice o del rapporto, perchè in generale è più difficile ricavare informazioni sulla convergenza di un integrale che studiare il comportamento di una forma indeterminata; quando questi due criteri falliscono (cioè quando viene $lim_n (a_n)^(1/n)=1=lim_n (a_(n+1))/(a_n)$) si può pensare di applicare il criterio di convergenza integrale: questo ad esempio è il caso della serie armonica generalizzata $\sum 1/(n^(alpha))$.

Spero di esserti stato utile: se ti rimangono dubbi o te ne sorgono di nuovi, chiedi pure.
Buono studio.