Integrali mediante teorema dei residui
Ciao a tutti,
ho un dubbio sulla risoluzione di un paio di integrali mediante il Teorema dei residui.
Il primo integrale è $int_\gamma (cos(i*Pi*z))/((z-2)^2e^(i*Pi*z)) dz$ con $\gamma = {z \in C : |Re z| + |Im z| = \beta}$.
Premesso che non ho a disposizione un risultato certo, il termine $(z-2)^2$ mi da un polo doppio in $z=2$, per cui posso calcolare il residuo per tale polo doppio come $lim_(z->2)d/dz(cos(i*pi*z)/(e^(i*Pi*z)))$, che risolvendo viene uguale a $-sin(2*pi*i)*i*pi - i*pi*cos(2*pi*i)$. Ora, se $\beta=1$, l'integrale vale 0 (poichè i poli non sono compresi in tale "cerchio"), mentre se $\beta=4$ l'integrale è pari a $2*pi*i*(-sin(2*pi*i)*i*pi - i*pi*cos(2*pi*i))$.
Il dubbio è: è corretta come soluzione o ho sparato un quintale di castronerie?
Il secondo integrale è $int_0^(+\infty) cos(Pi*x)/(x^2+1)^2 dx$. Ora, ho provato a risolverlo come l'integrale precedente, ovvero:
*Due poli doppi in $+i$ e $-i$
*Calcolo il residuo per il polo $+i$ come $lim_(x->i) d/dx (cos(Pi*z)/(x+i)^2)$
Procedendo in questa maniera ottengo come residuo $pi/4sin(pi*i)-i/4cos(i*pi)$ e quindi l'integrale risulta uguale a $pi*i*(pi/4sin(pi*i)-i/4cos(i*pi))$. Ora, il punto è che sul testo dal quale ho preso questo esercizio, la risoluzione è fatta in maniera differente, calcolando il residuo come $lim_(x->i) d/dx (e^(i*Pi*x)/(x+i)^2)$, e risolvendo quindi l'integrale come $Re(pi*i*Res)$.
La domanda è: dove si sbaglia risolvendo come ho fatto io?
Grazie in anticipo per le risposte!
ho un dubbio sulla risoluzione di un paio di integrali mediante il Teorema dei residui.
Il primo integrale è $int_\gamma (cos(i*Pi*z))/((z-2)^2e^(i*Pi*z)) dz$ con $\gamma = {z \in C : |Re z| + |Im z| = \beta}$.
Premesso che non ho a disposizione un risultato certo, il termine $(z-2)^2$ mi da un polo doppio in $z=2$, per cui posso calcolare il residuo per tale polo doppio come $lim_(z->2)d/dz(cos(i*pi*z)/(e^(i*Pi*z)))$, che risolvendo viene uguale a $-sin(2*pi*i)*i*pi - i*pi*cos(2*pi*i)$. Ora, se $\beta=1$, l'integrale vale 0 (poichè i poli non sono compresi in tale "cerchio"), mentre se $\beta=4$ l'integrale è pari a $2*pi*i*(-sin(2*pi*i)*i*pi - i*pi*cos(2*pi*i))$.
Il dubbio è: è corretta come soluzione o ho sparato un quintale di castronerie?
Il secondo integrale è $int_0^(+\infty) cos(Pi*x)/(x^2+1)^2 dx$. Ora, ho provato a risolverlo come l'integrale precedente, ovvero:
*Due poli doppi in $+i$ e $-i$
*Calcolo il residuo per il polo $+i$ come $lim_(x->i) d/dx (cos(Pi*z)/(x+i)^2)$
Procedendo in questa maniera ottengo come residuo $pi/4sin(pi*i)-i/4cos(i*pi)$ e quindi l'integrale risulta uguale a $pi*i*(pi/4sin(pi*i)-i/4cos(i*pi))$. Ora, il punto è che sul testo dal quale ho preso questo esercizio, la risoluzione è fatta in maniera differente, calcolando il residuo come $lim_(x->i) d/dx (e^(i*Pi*x)/(x+i)^2)$, e risolvendo quindi l'integrale come $Re(pi*i*Res)$.
La domanda è: dove si sbaglia risolvendo come ho fatto io?
Grazie in anticipo per le risposte!
Risposte
nel secondo integrale la variabile è $z$ oppure $x$ ? cioè sarebbe in realtà $cos(i\pi x)$?
Il secondo integrale è $int_0^(+\infty) cos(pi*x)/(x^2+1)^2 dx$, sorry
Lo correggo anche nel primo messaggio...
Lo correggo anche nel primo messaggio...
Mathematica mi dice che non converge
ma hai sbagliato ha trascrivere il testo ,dentro l'argomento del coseno non c'è la $i$
Giusto, chiedo venia ancora... comunque, i conti che ho fatto ieri sono senza $i$, e comunque non mi torna... In quanto al primo integrale? Qualcuno può confermare/smentire la soluzione?
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