Integrali indefiniti (facili, ma per me impossibili)
Ve ne metto solo alcuni per adesso, non vorrei spaventarvi hahahah
1) $ int1/(1+e^x)dx $ risultato: $ x - log(1+e^x)+c $
Pensavo di usare il metodo del f ' (x) / f(x) come suggerito dal libro, ma alla fine il risultato non mi viene.
$ int1/(1+e^x)dx = 1/e^x int e^x/(1+e^x) = 1/e^x log |1+e^x| + c $
2) $ int(x+1)/(x(log^2x+3logx) $ risultato: $ log |log^2x+3logx| + c $
Sinceramente qua non so neanche da dove cominciare: quei due logaritmi nel denominatore mi spaventano
3) $ int1/(2x^2-12x+18)dx $ risultato: $ - 1/(2(x-3)) + c $
Anche qua, mi è sembrato più logico il metodo del f ' (x) / f(x).
$ int1/(2x^2-12x+18)dx = 1/(4(x-3))int(4(x-3))/(2x^2-12x+18) $ Ok, ma poi? Mi sono bloccato forse proprio perché ho fatto una cosa stupida.
4) $ int(sqrt(x+1)+root(3)(x+1) ) /(root(4)(x+1))dx $ risultato: $ 4/3root(4)((x+1)^5 )+ 12/13root(12)((x+1)^13)+c $
Non so neanche con che metodo risolverlo, devo forse spezzettarlo? Aiuto!
Vi prego, non datemi spiegazioni generiche o con terminologia avanzata che non ci capisco niente.
Faccio già fatica con quelle semplici, altrimenti non ce la farò mai!
1) $ int1/(1+e^x)dx $ risultato: $ x - log(1+e^x)+c $
Pensavo di usare il metodo del f ' (x) / f(x) come suggerito dal libro, ma alla fine il risultato non mi viene.
$ int1/(1+e^x)dx = 1/e^x int e^x/(1+e^x) = 1/e^x log |1+e^x| + c $
2) $ int(x+1)/(x(log^2x+3logx) $ risultato: $ log |log^2x+3logx| + c $
Sinceramente qua non so neanche da dove cominciare: quei due logaritmi nel denominatore mi spaventano
3) $ int1/(2x^2-12x+18)dx $ risultato: $ - 1/(2(x-3)) + c $
Anche qua, mi è sembrato più logico il metodo del f ' (x) / f(x).
$ int1/(2x^2-12x+18)dx = 1/(4(x-3))int(4(x-3))/(2x^2-12x+18) $ Ok, ma poi? Mi sono bloccato forse proprio perché ho fatto una cosa stupida.
4) $ int(sqrt(x+1)+root(3)(x+1) ) /(root(4)(x+1))dx $ risultato: $ 4/3root(4)((x+1)^5 )+ 12/13root(12)((x+1)^13)+c $
Non so neanche con che metodo risolverlo, devo forse spezzettarlo? Aiuto!
Vi prego, non datemi spiegazioni generiche o con terminologia avanzata che non ci capisco niente.
Faccio già fatica con quelle semplici, altrimenti non ce la farò mai!
Risposte
"alessandro900":
Ve ne metto solo alcuni per adesso, non vorrei spaventarvi hahahah
1) $ int1/(1+e^x)dx $ risultato: $ x - log(1+e^x)+c $
Pensavo di usare il metodo del f ' (x) / f(x) come suggerito dal libro, ma alla fine il risultato non mi viene.
$ int1/(1+e^x)dx = 1/e^x int e^x/(1+e^x) = 1/e^x log |1+e^x| + c $
sofferiamoci sul primo!.. allora questo passaggio che hai scritto è sbagliato $int1/(1+e^x)dx = 1/e^x int e^x/(1+e^x)$
puoi portare fuori dall'integrale solo costanti, non $(1)/(e^x)$, è una funzione NON una costante!..
quindi.. io farei una sostituzione del tipo $ e^x=t $ quindi $ x=\ln(t)\to dx=1/tdt $
quindi sostituiamo e l'integrale diventa $ \int (1)/(t(t+1))dt $
Ok..come si fa quell'integrale?.. devi scomporlo in fratti semplici (se non lo sai vai a vedere il procedimento spiegato sul tuo libro)..
come primo passo comunque si fa così $ (1)/(t(t+1))=a/t+(b)/(t+1) $
tra i vari conti, ti trovi che $ { ( a=1 ),( b=-1 ):} $
quindi si ha.. $ \int 1/t-(1)/(t+1)dt=.... $
a questo punto dovresti saper concludere senza problemi, e al risultato NON ti scordare di sostituire $t=e^x$ (che è la tua sostituzione di partenza)..
Se hai domande, chiedi pure..
"21zuclo":
[quote="alessandro900"]Ve ne metto solo alcuni per adesso, non vorrei spaventarvi hahahah
1) $ int1/(1+e^x)dx $ risultato: $ x - log(1+e^x)+c $
Pensavo di usare il metodo del f ' (x) / f(x) come suggerito dal libro, ma alla fine il risultato non mi viene.
$ int1/(1+e^x)dx = 1/e^x int e^x/(1+e^x) = 1/e^x log |1+e^x| + c $
sofferiamoci sul primo!.. allora questo passaggio che hai scritto è sbagliato $int1/(1+e^x)dx = 1/e^x int e^x/(1+e^x)$
puoi portare fuori dall'integrale solo costanti, non $(1)/(e^x)$, è una funzione NON una costante!..
quindi.. io farei una sostituzione del tipo $ e^x=t $ quindi $ x=\ln(t)\to dx=1/tdt $
quindi sostituiamo e l'integrale diventa $ \int (1)/(t(t+1))dt $
Ok..come si fa quell'integrale?.. devi scomporlo in fratti semplici (se non lo sai vai a vedere il procedimento spiegato sul tuo libro)..
come primo passo comunque si fa così $ (1)/(t(t+1))=a/t+(b)/(t+1) $
tra i vari conti, ti trovi che $ { ( a=1 ),( b=-1 ):} $
quindi si ha.. $ \int 1/t-(1)/(t+1)dt=.... $
a questo punto dovresti saper concludere senza problemi, e al risultato NON ti scordare di sostituire $t=e^x$ (che è la tua sostituzione di partenza)..
Se hai domande, chiedi pure..[/quote]
Un' alternativa al metodo della scomposizione in fratti più semplici in questo caso è la seguente:
\(\displaystyle \int \frac{1}{1 + e^{x}}\, dx = \int \frac{1+e^x -e^x}{1 + e^{x}}\, dx=\int \frac{1+e^x}{1 + e^{x}} - \frac{e^x}{1 + e^{x}}\, dx= \int 1 dx -\ \int \frac{e^x}{1+e^x}dx \)
Ricordando che \(\displaystyle \int 1 dx = x+c \) e che \(\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^x}dx \) è del tipo \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx= log|f(x)| +c \) puoi facilmente concludere che \(\displaystyle \int \frac{1}{1 + e^{x}}\, dx = x - log|1 + e^x| +c \)
sì anche così.. va bene 
bé dai almeno avrà 2 soluzioni..
poi.. nel secondo integrale c'è qualcosa di sbagliato.. e ti dico subito il perché..
poiché.. $ (d)/(dx)[\ln(ln^2(x)+3\ln x)]=(2\ln(x)+3)/(x\ln^2(x)+3x\ln(x)) $
derivando il risultato, dovresti ottenere quello che è dentro l'integrale (ossia la funzione integranda)
in breve, per definizione $ \int f(x)dx=F(x)+c \hArr F'(x)=f(x) $
bé dai almeno avrà 2 soluzioni..
poi.. nel secondo integrale c'è qualcosa di sbagliato.. e ti dico subito il perché..
"alessandro900":
2) $ int(x+1)/(x(log^2x+3logx) $ risultato: $ log |log^2x+3logx| + c $
Sinceramente qua non so neanche da dove cominciare: quei due logaritmi nel denominatore mi spaventano
poiché.. $ (d)/(dx)[\ln(ln^2(x)+3\ln x)]=(2\ln(x)+3)/(x\ln^2(x)+3x\ln(x)) $
derivando il risultato, dovresti ottenere quello che è dentro l'integrale (ossia la funzione integranda)
in breve, per definizione $ \int f(x)dx=F(x)+c \hArr F'(x)=f(x) $
numero 3)
l'integrale lo puoi scrivere così
$ int 1/(2(x-3)(x-3))=
1/2 int 1/(x-3)^2 $
$ (x-3)=t ->dx=dt $
$ 1/2 int 1/t^2 dt $
$ t^(-2+1)/(-2+1)=-1/t
=-1/(2(x-3))+c $
l'integrale lo puoi scrivere così
$ int 1/(2(x-3)(x-3))=
1/2 int 1/(x-3)^2 $
$ (x-3)=t ->dx=dt $
$ 1/2 int 1/t^2 dt $
$ t^(-2+1)/(-2+1)=-1/t
=-1/(2(x-3))+c $
Grazie mille , ragazzi. Anche se il metodo della sostituzione non mi piace molto, mi confonde.
Qualcuno riesce a darmi una mano con l'ultimo esercizio?
Qualcuno riesce a darmi una mano con l'ultimo esercizio?
L'ultimo si risolve spezzando l'integrale .
La prima parte è :
$ int(x+1)^(1/2)/(x+1)^(1/4)dx=int(x+1)^(1/4)dx=4/5(x+1)^(5/4) $
La prima parte è :
$ int(x+1)^(1/2)/(x+1)^(1/4)dx=int(x+1)^(1/4)dx=4/5(x+1)^(5/4) $
puoi spezzare l'integrale così
$int ((x+1)^(1/2))/((x+1)^(1/4))+int ((x+1)^(1/3))/((x+1)^(1/4) $
semplificabile così
$int (x+1)^(1/4)+ int(x+1)^(1/12) $
risultato
$ 4/5(x+1)^(5/4)+12/13(x+1)^(13/12) $
prova a derivare il risultato
$int ((x+1)^(1/2))/((x+1)^(1/4))+int ((x+1)^(1/3))/((x+1)^(1/4) $
semplificabile così
$int (x+1)^(1/4)+ int(x+1)^(1/12) $
risultato
$ 4/5(x+1)^(5/4)+12/13(x+1)^(13/12) $
prova a derivare il risultato
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