Integrali indefiniti
$\int$ $(sen^2x)/(1+cosx) dx$
Come la posso risolvere ? è tra gli esercizi di integrazione per scomposizione ..sto cercando un'identità trigonometrica ma non la trovo!
Come la posso risolvere ? è tra gli esercizi di integrazione per scomposizione ..sto cercando un'identità trigonometrica ma non la trovo!
Risposte
Considera l'identità trigonometrica: $sin^2x+cos^2x=1->sin^2x=1-cos^2x$. Ma allora:
$\int(sin^2x)/(1+cosx)dx=\int(1-cos^2x)/(1+cosx)dx=\int[(1+cosx)(1-cosx)]/(1+cosx)dx=...$
Grazie! Il risultato torna 
questa :
$\int$ $sen^2(x)*cos^3(x)dx$
Sto impazzendo!
$\int$ $cos^2(x)dx$
e
$\int$ $sen^2(x)dx$
inoltre,riesco a farli solo per parti scomponendo in senx*senx , cosx*cosx..come posso fare altrimenti ? (integrazione per scomposizione)
questa :
$\int$ $sen^2(x)*cos^3(x)dx$
Sto impazzendo!
$\int$ $cos^2(x)dx$
e
$\int$ $sen^2(x)dx$
inoltre,riesco a farli solo per parti scomponendo in senx*senx , cosx*cosx..come posso fare altrimenti ? (integrazione per scomposizione)
ti faccio vedere uno... l'altro è identico come procedimento
\begin{align}
\int \sin^2 x \,\,dx&=\int \sin x \cdot \sin x \,\,dx=\int \sin x \,\,d(-\cos x)\stackrel{\bf(P)}{=}- \sin x \cos x+ \int \cos^2 x \,\,dx\\
&= - \sin x \cos x+ \int 1-\sin^2x \,\,dx= - \sin x \cos x+ \int \,\,dx-\int \sin^2x \,\,dx\\
&= - \sin x \cos x+ x-\int \sin^2x \,\,dx\\
2\int \sin^2 x \,\,dx&= - \sin x \cos x+ x\\
\int \sin^2 x \,\,dx&= \frac{1}{2}\left(x- \sin x \cos x \right)\\
\end{align}
\begin{align}
\int \sin^2 x \,\,dx&=\int \sin x \cdot \sin x \,\,dx=\int \sin x \,\,d(-\cos x)\stackrel{\bf(P)}{=}- \sin x \cos x+ \int \cos^2 x \,\,dx\\
&= - \sin x \cos x+ \int 1-\sin^2x \,\,dx= - \sin x \cos x+ \int \,\,dx-\int \sin^2x \,\,dx\\
&= - \sin x \cos x+ x-\int \sin^2x \,\,dx\\
2\int \sin^2 x \,\,dx&= - \sin x \cos x+ x\\
\int \sin^2 x \,\,dx&= \frac{1}{2}\left(x- \sin x \cos x \right)\\
\end{align}
Grazie,è come l'ho fatto io! Ma è l'unico modo? è un'esercizio che mi mette nell'integrazione per scomposizione..lo posso fare solo per parti?
e per il primo integrale come posso fare?
e per il primo integrale come posso fare?
per quanto riguarda
\begin{align}
\int \sin^2x\cos^3x\,\,dx&=\int \sin^2x\cos^2x\cdot \cos x\,\,dx=\int \sin^2x\cos^2x\cdot\,\,d(\sin x) \\
&=\int \sin^2x(1-\sin^2x) \,\,d(\sin x)=\int \sin^2x -\sin^4x \,d(\sin x)\\
& \stackrel{\sin x=t}{=}\int t^2 -t^4 \,dt=\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}\\
& \stackrel{\sin x=t}{=} \frac{\sin^3 x }{3}-\frac{\sin^5 x}{5}
\end{align}
\begin{align}
\int \sin^2x\cos^3x\,\,dx&=\int \sin^2x\cos^2x\cdot \cos x\,\,dx=\int \sin^2x\cos^2x\cdot\,\,d(\sin x) \\
&=\int \sin^2x(1-\sin^2x) \,\,d(\sin x)=\int \sin^2x -\sin^4x \,d(\sin x)\\
& \stackrel{\sin x=t}{=}\int t^2 -t^4 \,dt=\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}\\
& \stackrel{\sin x=t}{=} \frac{\sin^3 x }{3}-\frac{\sin^5 x}{5}
\end{align}
"Umbreon93":
Grazie,è come l'ho fatto io! Ma è l'unico modo? è un'esercizio che mi mette nell'integrazione per scomposizione..lo posso fare solo per parti?
probabilmente si possono usare anche le sostituzioni trigonometriche $t=\tan\frac{x}{2}$ ....
"Umbreon93":
Grazie,è come l'ho fatto io! Ma è l'unico modo? è un'esercizio che mi mette nell'integrazione per scomposizione..lo posso fare solo per parti?
Un altro metodo abbastanza standard è il seguente.
Ricordando la seguente$$
\cos {2x} = 1-2\sin^2 x
$$ricaviamo $$
\sin^2 x = \frac{1-cos{2x}}{2}
$$quindi l'integrale diventa$$
\int \sin^2 x \ dx = \frac{1}{2}\left[\int 1\ dx - \int \cos 2x \ dx\right]
$$che si risolve immediatamente.
ohyes , intendevo questo.. 10 ore a cercare la formula trigonometrica adatta per farlo e avendocela sotto gli occhi mica la usavo! Comunque ,grazie a tutti e due 
ps : $\int$ $3^(2x)*cos(3^(2x-1)+1) dx$ ..
help !
ps : $\int$ $3^(2x)*cos(3^(2x-1)+1) dx$ ..
help !
Devi accorgerti che quel $3^{2x}$ "assomoglia" alla derivata dell'argomento del coseno, che sarebbe....... quindi...... 
Aggiungerei anche
$\int$ $senxcosx dx$ ..
potrebbe fare una cosa tipo $[sen^2(x)]/2+c$ o anche ,per un'identità trigonometrica nota , $(1-cos^2(x))/2+c$ ?
Io non conosco a memoria le varie formule di bisezione etc.. però le posso sempre vedere dal libro ma non riesco a dare un risultato diverso da questo qui che vi ho scritto (ho integrato per parti ed ho notato che nell'espressione ricompariva l'integrale di partenza ) . Questo risultato va bene ? Coincide con $-1/4 cos2x +c $ ?
Se sì , qual'è l'identità trigonometrica che me lo conferma ? thanks
$\int$ $senxcosx dx$ ..
potrebbe fare una cosa tipo $[sen^2(x)]/2+c$ o anche ,per un'identità trigonometrica nota , $(1-cos^2(x))/2+c$ ?
Io non conosco a memoria le varie formule di bisezione etc.. però le posso sempre vedere dal libro ma non riesco a dare un risultato diverso da questo qui che vi ho scritto (ho integrato per parti ed ho notato che nell'espressione ricompariva l'integrale di partenza ) . Questo risultato va bene ? Coincide con $-1/4 cos2x +c $ ?
Se sì , qual'è l'identità trigonometrica che me lo conferma ? thanks
Occhio perchè $$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$$
Aggiungo che se non hai il colpo d'occhio per la derivata ti basta porre $t=3^(2x-1)+1$ da cui si ricava $dx=(dt)/(3^(2x-1)log(9))$ quindi l'integrale di partenza diventa:
$3/log(9) int cos(t) dt$
$3/log(9) int cos(t) dt$
"Obidream":
Aggiungo che se non hai il colpo d'occhio per la derivata ti basta porre $t=3^(2x-1)+1$
Ottima soluzione! Forse più facile della mia...
Allora,ricapitolando,
$\int$ $senx cosx dx$
mi torna (con la formula di minomic) .. ! Volevo sapere :
1) il risultato che ho dato io ossia $[sen^2 (x)]/2 $ è giusto ? non sono riuscito a capirlo dalle vostre risposte ..
2)per
$\int$ $3^(2x)*cos(3^(2x-1)+1) dx$
io ero già arrivato,con la posizione $y=3^(2x-1)$ , a $3/(2ln3)$ $\int$ cos(y+1) dy
però adesso non so perchè (evidentemente lo è) $\int$ $cos(y+1) dy$ = $sen(y+1)+c$
Assumendo per vero ciò , il risultato mi torna però non è un integrale immediato e con le regole viste fin'ora non saprei svolgerlo senza assumere per vero questa cosa!
$\int$ $senx cosx dx$
mi torna (con la formula di minomic) .. ! Volevo sapere :
1) il risultato che ho dato io ossia $[sen^2 (x)]/2 $ è giusto ? non sono riuscito a capirlo dalle vostre risposte ..
2)per
$\int$ $3^(2x)*cos(3^(2x-1)+1) dx$
io ero già arrivato,con la posizione $y=3^(2x-1)$ , a $3/(2ln3)$ $\int$ cos(y+1) dy
però adesso non so perchè (evidentemente lo è) $\int$ $cos(y+1) dy$ = $sen(y+1)+c$
Assumendo per vero ciò , il risultato mi torna però non è un integrale immediato e con le regole viste fin'ora non saprei svolgerlo senza assumere per vero questa cosa!
"Umbreon93":
il risultato che ho dato io ossia $ [sen^2 (x)]/2 $ è giusto ?
Sì è giusto! Non avevo capito che fosse il risultato che avevi trovato. Comunque per verificare se hai fatto correttamente un integrale è sufficiente fare la derivata e vedere se ritrovi la funzione integranda.
PS. E' giusto anche $-\cos(2x)/4$.
òkì,grazie ancora!
$\int$ $(3x)/(2x-1) dx$
come si può risolvere (integrazione per scomposizione) ?
Sto impazzendo .. ho visto gli esempi del libro (aggiunge e sottrae delle stesse quantità utilizzando anche altre proprietà degli integrali però qui non riesco a semplificarmi la vita XD)
$\int$ $(3x)/(2x-1) dx$
come si può risolvere (integrazione per scomposizione) ?
Sto impazzendo .. ho visto gli esempi del libro (aggiunge e sottrae delle stesse quantità utilizzando anche altre proprietà degli integrali però qui non riesco a semplificarmi la vita XD)
Prova con i fratti semplici
$3 int x/(2x-1)dx$
Riscrivi $x/(2x-1)$ come $A/(2x-1)+B$ con $A,B$ da determinarsi
$3 int x/(2x-1)dx$
Riscrivi $x/(2x-1)$ come $A/(2x-1)+B$ con $A,B$ da determinarsi
Oppure anche direttamente$$
\frac{3}{2}\int \frac{2x-1+1}{2x-1}\ dx = \frac{3}{2}\left[\int 1\ dx + \int \frac{1}{2x-1}\ dx
\right] = \frac{3}{2}\left[\int 1\ dx + \frac{1}{2}\int \frac{2}{2x-1}\ dx
\right]
$$
\frac{3}{2}\int \frac{2x-1+1}{2x-1}\ dx = \frac{3}{2}\left[\int 1\ dx + \int \frac{1}{2x-1}\ dx
\right] = \frac{3}{2}\left[\int 1\ dx + \frac{1}{2}\int \frac{2}{2x-1}\ dx
\right]
$$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo