Integrali impropri - condizione sufficiente
Ciao a tutti, è molto che vi seguo e ho preso la decisione di iscrivermi per "contribuire" nel forum con le mie dubbie conoscenze, ma innanzi tutto voglio chiedervi una cosa su un integrale improprio:
Dire se la funzione \(\displaystyle \frac{\sin x}{x \sqrt{x}} \) è integrabile in senso improprio in \(\displaystyle (0, 1] \)
Sul libro non è presente nulla sugli integrali impropri e dalle dispense del professore non mi è ben chiaro quale sia un criterio sufficiente affinché una funzione sia integrabile in senso improprio.
Grazie a tutti
Dire se la funzione \(\displaystyle \frac{\sin x}{x \sqrt{x}} \) è integrabile in senso improprio in \(\displaystyle (0, 1] \)
Sul libro non è presente nulla sugli integrali impropri e dalle dispense del professore non mi è ben chiaro quale sia un criterio sufficiente affinché una funzione sia integrabile in senso improprio.
Grazie a tutti
Risposte
Un criterio sufficiente per l'integrabilita':
$ int_0^1\1/x^alphadx $ converge se $ alpha<1 $
Applicato nel caso in questione:
per $ xrarr0 $ si ha $ senx/(xsqrt(x))~x/(xsqrt(x))=1/sqrt(x) $ quindi integrabile ( $ alpha=1/2<1 $ )
$ int_0^1\1/x^alphadx $ converge se $ alpha<1 $
Applicato nel caso in questione:
per $ xrarr0 $ si ha $ senx/(xsqrt(x))~x/(xsqrt(x))=1/sqrt(x) $ quindi integrabile ( $ alpha=1/2<1 $ )
Ok, grazie. Per vedere se ho capito:
siccome per \(\displaystyle x \to \infty \) si ha \(\displaystyle \frac{x^{\alpha}}{e^x} = 0 \) per ogni \(\displaystyle \alpha \)
\(\displaystyle \int_M^{\infty} \frac{x^{\beta}} {e^{\sqrt{x}}} < \int_M^{\infty} \frac{x^{\beta}} {x^{\beta + 1/2}} \)
con \(\displaystyle M \in \Re: x^{\beta + 1/2} < e^{\sqrt{x}} \) per ogni \(\displaystyle x > M \)
Questa soluzione non mi convince affatto
siccome per \(\displaystyle x \to \infty \) si ha \(\displaystyle \frac{x^{\alpha}}{e^x} = 0 \) per ogni \(\displaystyle \alpha \)
\(\displaystyle \int_M^{\infty} \frac{x^{\beta}} {e^{\sqrt{x}}} < \int_M^{\infty} \frac{x^{\beta}} {x^{\beta + 1/2}} \)
con \(\displaystyle M \in \Re: x^{\beta + 1/2} < e^{\sqrt{x}} \) per ogni \(\displaystyle x > M \)
Questa soluzione non mi convince affatto
Il criterio di integrabilita' in un intorno di $ +oo $ e' diverso da quello per un intorno di zero:
$ int_1^(+oo)1/x^alphadx $ converge per $ alpha>1 $
$ int_1^(+oo)1/x^alphadx $ converge per $ alpha>1 $
Nel caso dell'integrale da te proposto per esempio una soluzione "diretta" dato che e' conivolto un esponenziale negativo potrebbe essere:
Per $ alpha<0 $ e $ x>1 $
$ 1/x^|alpha|<1 $ quindi $ int_1^(+oo)1/(e^x\x^|alpha|)dx<=int_1^(+oo)1/e^xdx=-e^-x|_1^(+oo)=e^(-1)$ convergente
per $ alpha>=0 $
$ x^alpha<=e^(x/2) $
$ int_1^(+oo)x^alpha/e^xdx<=int_1^(+oo)1/e^(x/2)dx $ integrabile
Per $ alpha<0 $ e $ x>1 $
$ 1/x^|alpha|<1 $ quindi $ int_1^(+oo)1/(e^x\x^|alpha|)dx<=int_1^(+oo)1/e^xdx=-e^-x|_1^(+oo)=e^(-1)$ convergente
per $ alpha>=0 $
$ x^alpha<=e^(x/2) $
$ int_1^(+oo)x^alpha/e^xdx<=int_1^(+oo)1/e^(x/2)dx $ integrabile
Ottimo! Ho capito tutto, grazie 
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