Integrali impropri

[nadia891]

Ciao,
Spesso nei libri si utilizza la definizione di integrale improprio solo nel caso di $ f: (a,b)\ to RR $ con $f >=0$ o $f<=0$. Ma allora la mia domanda è : esiste la definizione di integrale improprio per funzioni a segno qualunque( quindi il cui segno della funzione non è costante)?

[Boris1]

certo, se consideri le funzioni parte positiva di f e parte negativa di f, puoi considerare $f=f_++f_-$, ritrovi che la tua funzione è scomposta in due funzioni alle quali sai applicare la definizione di integrale improprio, ed in tal modo definisci l'integrale improprio di una funzione a segno variabile.

[nadia891]

quindi otterrò che l'integrale improprio di $f(x)$ sarà $\int_{a}^{b} f(x) dx$ =$\int_{a}^{b} f^(+)(x) dx + \int_{a}^{b} f^(-)(x) dx

[Boris1]

certo, per la linearità dell'integrale

[nadia891]

grazie per avermi tolto questo dubbio

[dissonance]

Eh ma attenzione: questo fatto è vero solo per funzioni assolutamente integrabili, ovvero solo se $f^+, f^-$ sono entrambe integrabili. Ma esistono funzioni integrabili in un opportuno senso generalizzato e non assolutamente integrabili, per le quali la conclusione di Boris non vale. Esempio classico: $\frac{\sin x}{x}$.

[Boris1]

giusto.. e pensare che una domanda su questa funzione l'ho fatta proprio io!