Integrali impropri
Ciao a tutti,sto studiando gli integrali impropri e non riesco a capire una cosa.
Se devo vedere se la funzione $e^(-x^2)$,nell'intervallo che va da $S$ a $oo$ diverge o converge,poichè non è possibile calcolarne la primitiva,il mio professore ha detto di minorarla rispetto a $1/x^2$ (l'ha chiamata funzione test).
Ma io mi chiedo: come faccio a scegliere la funzione test più appropriata?
Cioè se ad esempio avessi avuto la funzione :
$9 / (x^2+2)^4$ (la primitiva è calcolabile,solo per esercizio vorrei vedere tramite la funzione test se converge o diverge), come faccio a scegliere la funzione test? Su quali criteri?
Vi ringrazio molto per l'attenzione
Se devo vedere se la funzione $e^(-x^2)$,nell'intervallo che va da $S$ a $oo$ diverge o converge,poichè non è possibile calcolarne la primitiva,il mio professore ha detto di minorarla rispetto a $1/x^2$ (l'ha chiamata funzione test).
Ma io mi chiedo: come faccio a scegliere la funzione test più appropriata?
Cioè se ad esempio avessi avuto la funzione :
$9 / (x^2+2)^4$ (la primitiva è calcolabile,solo per esercizio vorrei vedere tramite la funzione test se converge o diverge), come faccio a scegliere la funzione test? Su quali criteri?
Vi ringrazio molto per l'attenzione
Risposte
"matematicamenteparlando":
Ciao a tutti,sto studiando gli integrali impropri e non riesco a capire una cosa.
Se devo vedere se la funzione $e^(-x^2)$,nell'intervallo che va da $S$ a $oo$ diverge o converge,poichè non è possibile calcolarne la primitiva,il mio professore ha detto di minorarla rispetto a $1/x^2$ (l'ha chiamata funzione test).
Ma io mi chiedo: come faccio a scegliere la funzione test più appropriata?
Cioè se ad esempio avessi avuto la funzione :
$9 / (x^2+2)^4$ (la primitiva è calcolabile,solo per esercizio vorrei vedere tramite la funzione test se converge o diverge), come faccio a scegliere la funzione test? Su quali criteri?
Vi ringrazio molto per l'attenzione
per quanto riguarda la prima domanda il tuo prof ha fatto questo $ (1)/(e^(x^2))\leq (1)/(x^2) $
praticamente ha maggiorato il denominatore..pensalo così $ e^(x^2)\geq x^2 $ definitivamente è sicuramente verificata..
per cui è passato ai reciproci!..e quindi ottieni quello che ha scritto il prof..
per quanto riguarda questo
$ \int_(1)^(+\infty) (9)/((x^2+2)^4)dx $
puoi utilizzare il crietrio asintotico.. sicuramente per $x\to +\infty$ \(\displaystyle (x^2+2)^4 \sim (x^2)^4=x^8 \)
quindi $ \int_(1)^(+\infty) (1)/(x^8)dx... $ lascio a te concludere..
Ti ricordo questa cosa
Scusami ma il mio professore ha scritto:
$ (9x^3)/(x^4+4x^2+4) > 8/x $ e ha detto che diverge poiché $\int_z^oo(1/x)dx$= $+oo$ con z < $oo$.
Mi potresti spiegare perché è diverso?
Ti ringrazio ancora
$ (9x^3)/(x^4+4x^2+4) > 8/x $ e ha detto che diverge poiché $\int_z^oo(1/x)dx$= $+oo$ con z < $oo$.
Mi potresti spiegare perché è diverso?
Ti ringrazio ancora
"matematicamenteparlando":
Scusami ma il mio professore ha scritto:
$ (9x^3)/(x^4+4x^2+4) > 8/x $ e ha detto che diverge poiché $\int_z^oo(1/x)dx$= $+oo$ con z < $oo$.
E' diverso perché nel tuo primo messaggio il numeratore è \(9\), non \(9x^3\).
Si è vero scusate,nel primo avevo dimenticato di aggiungere $x^3$.
La cosa che mi è poco chiara è la seguente:
in generale come faccio per trovare la funzione con la quale vado a maggiorare? ( in questo caso $8/x$)
Se ad esempio ho :
$\int_0^oo(1 /( ( x^(1/100)) + x^100))dx$
Come procedo?
La cosa che mi è poco chiara è la seguente:
in generale come faccio per trovare la funzione con la quale vado a maggiorare? ( in questo caso $8/x$)
Se ad esempio ho :
$\int_0^oo(1 /( ( x^(1/100)) + x^100))dx$
Come procedo?
"matematicamenteparlando":
Se ad esempio ho :
$\int_0^oo(1 /( ( x^(1/100)) + x^100))dx$
Come procedo?
per $x\to 0$ il denominatore \(\displaystyle x^{1/100} +x^{100} \sim x^{1/100}\)
quindi? $ \int_0^(\infty) (1)/(x^(1/100))dx $ converge o diverge?.. lascio a te la risposta
lascio a te per $x\to +\infty$
Si scusami quello che mi è poco chiaro è proprio il ragionamento che si fa in quest'analisi. Cioè perché vediamo cosa fa il denominatore per $x->0$ e poi per $x->+oo$?.
Comunque per $x->+oo$ il la funzione integrando tende a $0$.
Poi cosa devo fare?
Mi potresti spiegare il ragionamento che si fa che ancora non mi è molto chiaro.
Ti ringrazio
Comunque per $x->+oo$ il la funzione integrando tende a $0$.
Poi cosa devo fare?
Mi potresti spiegare il ragionamento che si fa che ancora non mi è molto chiaro.
Ti ringrazio
Ad esemio se ho l'integrale:
$\int_2^oo(1/(x-1)^3)dx$ come faccio a vedere se diverge o converge? ( questa la potrei pure calcolare senza il discorso delle maggiorazioni,quindi tramite la primitiva,ma per esercizio vorrei usare quel metodo.
In che modo devo ragionare?
$\int_2^oo(1/(x-1)^3)dx$ come faccio a vedere se diverge o converge? ( questa la potrei pure calcolare senza il discorso delle maggiorazioni,quindi tramite la primitiva,ma per esercizio vorrei usare quel metodo.
In che modo devo ragionare?
I punti critici per la funzione integranda sono $x=1 ; x=+oo $ però $x=1 $ non fa parte dell'intervallo di integrazione e quindi lo dimentichiamo.
Ci concentriamo su $ x rarr +oo$ , la funzione integranda sarà asintotica a $1/x^3 $ e quindi l'integrale converge perché l'esponente $3 > 1$.
Ci concentriamo su $ x rarr +oo$ , la funzione integranda sarà asintotica a $1/x^3 $ e quindi l'integrale converge perché l'esponente $3 > 1$.
Scusami ma ancora non riesco a capire: come faccio a vedere a quale funzione è asintotica?
se ho ad esempio $\int_-1^1((x^2+1)/((1+x)^(1/2)(1-x)^(1/3)))dx$
Come faccio a vedere a quale funzione è asintotica?
se ho ad esempio $\int_-1^1((x^2+1)/((1+x)^(1/2)(1-x)^(1/3)))dx$
Come faccio a vedere a quale funzione è asintotica?
I punti critici sono $+1,-1 $ che annullano il denominatore.
* Nell'intorno di $x=1 $ la funzione integranda è asintotica a $ (1+1)/(sqrt(2)*(1-x) ^(1/3))= sqrt(2)/(1-x)^(1/3)$ essendo $1/3< 1 $ è integrabile.
* Nell'intorno di $x=-1$ la funzione integranda è asintotica a $2/((1+x)^(1/2)*2^(1/3)) =2^(2/3) /(1+x)^(1/2)$ essendo $1/2<1$ la funzione è integrabile
*Se l'estremo superiore fosse stato $+oo $ allora la funz. integranda sarebbe stata asintotica a $ x^2/(x^(1/2)*(-x)^(1/3))=-x^2/x^(1/6) =-x^(11/6) $ chiaramente non integrabile .
Se avessi da integrare invece $int_1^(+oo) x/((x+4)(x^2+5)) $ allora l'unico punto critico è $+oo $ e nel suo intorno la funzione integranda sarebbe asintotica a $x/((x)*(x^2)) = 1/x^2 $ essendo $2 > 1 $ è integrabile.
E se la funzione integranda fosse stata $x/((x+4)(x+5))$ sempre tra $ 1 $ e $ +oo $ cosa diresti ??
* Nell'intorno di $x=1 $ la funzione integranda è asintotica a $ (1+1)/(sqrt(2)*(1-x) ^(1/3))= sqrt(2)/(1-x)^(1/3)$ essendo $1/3< 1 $ è integrabile.
* Nell'intorno di $x=-1$ la funzione integranda è asintotica a $2/((1+x)^(1/2)*2^(1/3)) =2^(2/3) /(1+x)^(1/2)$ essendo $1/2<1$ la funzione è integrabile
*Se l'estremo superiore fosse stato $+oo $ allora la funz. integranda sarebbe stata asintotica a $ x^2/(x^(1/2)*(-x)^(1/3))=-x^2/x^(1/6) =-x^(11/6) $ chiaramente non integrabile .
Se avessi da integrare invece $int_1^(+oo) x/((x+4)(x^2+5)) $ allora l'unico punto critico è $+oo $ e nel suo intorno la funzione integranda sarebbe asintotica a $x/((x)*(x^2)) = 1/x^2 $ essendo $2 > 1 $ è integrabile.
E se la funzione integranda fosse stata $x/((x+4)(x+5))$ sempre tra $ 1 $ e $ +oo $ cosa diresti ??
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