Integrali fisicamente equivalenti

[ralf86]

Ciao a tutti,
Si può rendere un po' più esplicito il seguente integrale?

$\int_{x_1}^{x_2} (1/f(x)(df(x))/dx)^2 dx$

[magliocurioso]

"ralf86":Ciao a tutti,
Si può rendere un po' più esplicito il seguente integrale?

$\int_{x_1}^{x_2} (1/f(x)(df(x))/dx)^2 dx$

La prima cosa che mi viene in mente è quella di evitare l'abuso di notazione e riscrivere il tutto come segue \[ \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{f'(t)}{f(t)}\right)^2 dt \] e adesso che ci penso forse integrando per parti si può fare. Prova e facci sapere.

[ralf86]

per parti come?

[ralf86]

La domanda in realtà deriva dal fatto che seguendo due approcci fisici diversi giungo a due espressioni formalmente diverse ma che dovrebbero dare lo stesso risultato. (Ho provato con dei test numerici )

posto $f(x,t)=A+Be^(-sqrt(\omega/2)x)sin(\omegat-sqrt(\omega/2)x)$ [tutte le costanti sono positive]

Espressione 1:

$\int_{0}^{+oo}\int_{t_1}^{t_2} ((delf)/(delx)1/f)^2 dxdt$

Espressione2:

$\int_{0}^{+oo}ln(f(x,t_2)/f(x,t_1))dx+\int_{t_1}^{t_2}(delf(0,t))/(delx)1/f(0,t)dt$

Riuscite a vedere come si passa dall'una all'altra ?(sempre se possibile, ovviamente)

[ralf86]

Forse può aiutare che
$(delf)/(delt)=(del^2f)/(delx^2)$

[magliocurioso]

"ralf86":Forse può aiutare che
$(delf)/(delt)=(del^2f)/(delx^2)$

Ma devi risolvere questa EDP? Ci stavano per caso anche delle condizioni al contorno?

[ralf86]

"magliocurioso":[quote="ralf86"]Forse può aiutare che
$(delf)/(delt)=(del^2f)/(delx^2)$

Ma devi risolvere questa EDP?[/quote]

No, la $f(x,t)$ che ho scritto sopra è già soluzione di quella EDP con condizioni al contorno
$f(0,t)=A+Bsin(\omegat)$
e $f$ finita per $x->+infty$

Quello che chiedo è se è possibile dimostrare che le due espressioni sono equivalenti, probabilmente è banale ma non riesco a vedere il trucco (sostituzioni, integrazione per parti) che renda evidente l'uguaglianza

[ralf86]

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