Integrali doppio e triplo: impostazione esercizio

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Chiedo delle conferme per quanto riguarda l'impostazione di questi due esercizi, non avendo purtroppo i risultati

1) Calcolare mediante le formule di gauss green l'integrale doppio

$ int int_(D)^()3x^2ydxdy$

esteso al dominio D in figura, ove $ gamma1: x^2/16 +y^2/4=1 $ è un arco di ellisse, e $ gamma2: x^2-2x+y^2=0 $ è un arco di circonferenza



Ho usato la formula di gauss green

$ int int_(D)^() (partialF)/(partialx)(x,y)dx dy = int_(+partialD)^() F(x,y)dy $

$ int int_(D)^() 3x^2ydx dy = int_(+partialD)^() x^3ydy $

Poi ho considerato le parametrizzazioni delle curve della frontiera di D

$ gamma1(ellisse){ ( x=4cost ),( y=2cost ):}, t in [0,pi/2] $

$ -gamma2{ ( x=1+cost ),( y=sint ):}, t in [0,pi] $ per la cirfonferenza

$ gamma3{ ( x=t ),( y=0 ):}, t in [2,4] $

$ -gamma4{ ( x=0 ),( y=t ):}, t in [0,4] $

Allora ho

$ int_(+partialD)^() x^3ydy=int_(2)^(4) t^3*0dt + int_(0)^(pi/2) (4cost)^3(2sint)(2cost)dt-int_(0)^(4)0 dt-int_(0)^(pi) (1+cost)^3sintcostdt $

Agli ultimi due integrali ho cambiato segno perchè la parametrizzazione percorre la curva in senso contrario
Credo che non ci dovrebbero essere errori, giusto?


Per quanto riguarda l'altro esercizio

2) Calcolare l'integrale triplo

$ int int int_(Omega)^() e^zdx dy dz $

$ Omega= T= {(x,y,z)inRR^3:x^2+y^2+z^2<=1 } $

Ho usato la trasformazione in coordinate sferiche

$ { ( x=rhosinvarphicostheta ),( y=rhosinvarphisintheta ),( z=rhocosvarphi ):} $

il cui Jacobiano è dato da $ rho^2sinvarphi $

Poi ho sostituito Le coordinate sferiche nel dominio D arrivando a

$ rho^2sin^2varphicos^2theta+p^2sin^2varphisin^2theta+rho^2cos^2varphi<=1 $

$ rArrp^2<=1rArr 0<=rho<=1 $

Quindi il nuovo dominio di integrazione è

$ T= {(rho,varphi,theta)inRR^3: 0<=rho<=1, 0<=varphi<=pi, 0<=theta<=2pi} $

e l'integrale diventa

$ int int int_(T)^() e^(rhocosvarphi)drho dvarphi dvartheta = int_(0)^(2pi) dvartheta int_(0)^(pi) dvarphiint_(0)^(1) e^(rhocosvarphi)p^2sinvarphi drho $

anche qui credo sia tutto ok.

[ciampax]

Andrebbe guardato il grafico di $D$ del primo esercizio, ma credo di aver capito come è fatto e mi pare non ci siano problemi.
Anche il secondo esercizio mi pare corretto.