Integrali doppi
$ int int_(A)^() y dx dy $ con $ A={(x,y):1<=y; x^2+y^2<=4 } $
ho messo a sistema le equazioni della retta y=1 e della circonferenza per trovare i punti di intersezione, che mi risultano $ (+-sqrt(3),1) $
poi ho svolto l'integrale a questo modo
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) dxint_(1)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
risolvendo prima l'integrale in dy ho trovato che vale $ (3-x^2)/2 $
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) (3-x^2)/2 dx=2sqrt(3) $
nel caso l'insieme A fosse stato $ A={(x,y):0<=x;0<=y<=1;x^2+y^2<=4 } $
andrebbero risolti 2 integrali doppi con dominio d'integrazione differente (rettangolo e "triangolino arcuato") e poi sommare il risultato, ovvero
calcolo prima l'integrale doppio
$ int_(0)^(sqrt(3) ) dx int_(0)^(1) ydy $
poi mi calcolo
$ int_(sqrt(3) )^(2) dx int_(0)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
sommo i risultati ottenuti e trovo l'area dal testo richiesta, giusto ?
ho messo a sistema le equazioni della retta y=1 e della circonferenza per trovare i punti di intersezione, che mi risultano $ (+-sqrt(3),1) $
poi ho svolto l'integrale a questo modo
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) dxint_(1)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
risolvendo prima l'integrale in dy ho trovato che vale $ (3-x^2)/2 $
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) (3-x^2)/2 dx=2sqrt(3) $
nel caso l'insieme A fosse stato $ A={(x,y):0<=x;0<=y<=1;x^2+y^2<=4 } $
andrebbero risolti 2 integrali doppi con dominio d'integrazione differente (rettangolo e "triangolino arcuato") e poi sommare il risultato, ovvero
calcolo prima l'integrale doppio
$ int_(0)^(sqrt(3) ) dx int_(0)^(1) ydy $
poi mi calcolo
$ int_(sqrt(3) )^(2) dx int_(0)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
sommo i risultati ottenuti e trovo l'area dal testo richiesta, giusto ?
Risposte
mmm...ma se pongo $ sin(x^2)=t $ la x non risulta $ sqrt(arcsin(t)) $ , mi viene così...e non mi sembra di semplificare i calcoli...cosa ho sbagliato...?...sono proprio una frana 
$ int_(0)^(arcsin(t)) sqrt(arcsin(t))tsin(y)dy $
$ int_(0)^(arcsin(t)) sqrt(arcsin(t))tsin(y)dy $
risolvere un qualsiasi integrale doppio su un insieme del tipo $ A={(x,y):0<=x<=1;1<=y<=2 } $ o $ A={(x,y):0
in pratica se non ho capito male sul primo insieme è il volume compreso l'"involucro", sul secondo insieme è il volume senza l'"involucro...
ma in termini matematici come dovrei spiegare questa differenza...ammesso che sia giusto come l'ho intesa io...?!?????
in pratica se non ho capito male sul primo insieme è il volume compreso l'"involucro", sul secondo insieme è il volume senza l'"involucro...
ma in termini matematici come dovrei spiegare questa differenza...ammesso che sia giusto come l'ho intesa io...?!?????
Prova a sostituire [tex]$t=x^2$[/tex]. Una nota comunque: l'integrale in $x$ deve essere
[tex]$\int_0^1 x\sin(x^2)\cdot[1-\cos(x^2)]\ dx$[/tex]
visto che [tex]$\int\sin t\ dt=-\cos t+c$[/tex].
[tex]$\int_0^1 x\sin(x^2)\cdot[1-\cos(x^2)]\ dx$[/tex]
visto che [tex]$\int\sin t\ dt=-\cos t+c$[/tex].
$ int int_(D)^() xsin(x^2)sin(y) dx dy $ se pongo $ t=x^2 $ mi risulta che $ dt=2x $
quindi moltiplicando e dividendo per 2 ottengo
$ 1/2int int_(D)^() sin(t)sin(y) dt dy $
giusto ??
quindi moltiplicando e dividendo per 2 ottengo
$ 1/2int int_(D)^() sin(t)sin(y) dt dy $
giusto ??
No Crisso: la sostituzione la devi fare per calcolare l'ultimo integrale che hai scritto, non quello di partenza. Perché altrimenti, visto che è un intewgrale in 2 variabili, devi fa comparire lo Jacobiano della trasformazione!
ok...quindi dovrebbe venire
$ 1/2int_(0)^(1) sint(1-cost)dt $
$ 1/2int_(0)^(1) sint(1-cost)dt $
Esatto. Adesso è facile integrare. La derivata della funzione tra parentesi è esattamente quello che c'è fuori, quindi...
devo usare l'integrazione per parti ? o devo usare $ int_()^() f^n(x)f'(x)=(f^(n+1))/(n+1) $
La seconda che hai detto.
però la devo usare con n=2...cioè la mia f^n=sint...giusto ?
No Crisso: [tex]$f(t)=1-\cos t,\ f'(t)=\sin t$[/tex] per cui
[tex]$\frac{1}{2}\int_0^1\sin t(1-\cos t)\ dt=\frac{1}{4}(1-\cos t)^2\Big|_0^1=\frac{1}{4}(1-\cos 1-1+1)=\frac{1-\cos 1}{4}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{2}\int_0^1\sin t(1-\cos t)\ dt=\frac{1}{4}(1-\cos t)^2\Big|_0^1=\frac{1}{4}(1-\cos 1-1+1)=\frac{1-\cos 1}{4}$[/tex]
ho capito...avevo inteso n come ordine di derivazione (ma doveva esser scritto (n) se non sbaglio) e non come elevamento di potenza...
cmq viene un valore molto piccolo...dato che cos(1) sarà un valore molto vicino all'1...la calcoltarice me lo arrotonda a 1...
cmq viene un valore molto piccolo...dato che cos(1) sarà un valore molto vicino all'1...la calcoltarice me lo arrotonda a 1...
ora che lo riguardo ma $ (1-cos1) $ non deve essere elevato al quadrato ?
Sì.
$ int int_(C)^() (x-1)sin(y) dx dy $ con $ C={(x,y):0<=x<=1;0<=y<=(x-1)^2 } $
$ int_(0)^(1) dxint_(0)^((x-1)^2) (x-1)sin(y)dy = $
$ int_(0)^((x-1)^2) (x-1)sin(y)dy = -(x-1)cos(y)=-(x-1)cos(x-1)^2+(x-1) $
$ int_(0)^(1) (x-1)(1-cos(x-1)^2)dx $
opero la sostituzione $ t=(x-1) $ e quindi $ dt=1 $
$ int_(0)^(1) t(1-cost^2)dt= $
stando a quanto mi calcola un programmino che ho sull'iphone il risultato sarebbe $ 1/2(t^2-sint^2) $ e quindi per t da 0 a 1 (non so come scriverlo in simboli)
$ 1/2(1-sin1)+1/2 $ sarebbe il risultato finale
io avrei calcolato diversamente l'integrale in dt...però Wolfram (il programma che ho usato) mi è stato consigliato per verificare i calcoli...
$ int_(0)^(1) dxint_(0)^((x-1)^2) (x-1)sin(y)dy = $
$ int_(0)^((x-1)^2) (x-1)sin(y)dy = -(x-1)cos(y)=-(x-1)cos(x-1)^2+(x-1) $
$ int_(0)^(1) (x-1)(1-cos(x-1)^2)dx $
opero la sostituzione $ t=(x-1) $ e quindi $ dt=1 $
$ int_(0)^(1) t(1-cost^2)dt= $
stando a quanto mi calcola un programmino che ho sull'iphone il risultato sarebbe $ 1/2(t^2-sint^2) $ e quindi per t da 0 a 1 (non so come scriverlo in simboli)
$ 1/2(1-sin1)+1/2 $ sarebbe il risultato finale
io avrei calcolato diversamente l'integrale in dt...però Wolfram (il programma che ho usato) mi è stato consigliato per verificare i calcoli...
io gli ho dato come input iniziale l'integrale già sostituito con t=x-1
lui esegue la moltiplicazione e poi lo scompone in una differenza di integrali...e in uno dei due rieffettua una sostituzione...
è possibile usarla due volte...per il programma ovviamente era la prima volta...
lui esegue la moltiplicazione e poi lo scompone in una differenza di integrali...e in uno dei due rieffettua una sostituzione...
è possibile usarla due volte...per il programma ovviamente era la prima volta...
"Crisso":
$ int int_(A)^() y dx dy $ con $ A={(x,y):1<=y; x^2+y^2<=4 } $
ho messo a sistema le equazioni della retta y=1 e della circonferenza per trovare i punti di intersezione, che mi risultano $ (+-sqrt(3),1) $
poi ho svolto l'integrale a questo modo
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) dxint_(1)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
risolvendo prima l'integrale in dy ho trovato che vale $ (3-x^2)/2 $
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) (3-x^2)/2 dx=2sqrt(3) $
nel caso l'insieme A fosse stato $ A={(x,y):0<=x;0<=y<=1;x^2+y^2<=4 } $
andrebbero risolti 2 integrali doppi con dominio d'integrazione differente (rettangolo e "triangolino arcuato") e poi sommare il risultato, ovvero
calcolo prima l'integrale doppio
$ int_(0)^(sqrt(3) ) dx int_(0)^(1) ydy $
poi mi calcolo
$ int_(sqrt(3) )^(2) dx int_(0)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
sommo i risultati ottenuti e trovo l'area dal testo richiesta, giusto ?
salve il primo integrale proposto da crisso è possibe risolverlo anche come y-semplice senza bisogno di calcolare i punti di intersezioni?
$ int int_(D)^() f (dx dxy) $ = $ int_(1)^(2) (int_(0)^(sqrt(-y^2+4))f) $ si può dire e fare una cosa del genere?
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