Integrali doppi
$ int int_(A)^() y dx dy $ con $ A={(x,y):1<=y; x^2+y^2<=4 } $
ho messo a sistema le equazioni della retta y=1 e della circonferenza per trovare i punti di intersezione, che mi risultano $ (+-sqrt(3),1) $
poi ho svolto l'integrale a questo modo
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) dxint_(1)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
risolvendo prima l'integrale in dy ho trovato che vale $ (3-x^2)/2 $
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) (3-x^2)/2 dx=2sqrt(3) $
nel caso l'insieme A fosse stato $ A={(x,y):0<=x;0<=y<=1;x^2+y^2<=4 } $
andrebbero risolti 2 integrali doppi con dominio d'integrazione differente (rettangolo e "triangolino arcuato") e poi sommare il risultato, ovvero
calcolo prima l'integrale doppio
$ int_(0)^(sqrt(3) ) dx int_(0)^(1) ydy $
poi mi calcolo
$ int_(sqrt(3) )^(2) dx int_(0)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
sommo i risultati ottenuti e trovo l'area dal testo richiesta, giusto ?
ho messo a sistema le equazioni della retta y=1 e della circonferenza per trovare i punti di intersezione, che mi risultano $ (+-sqrt(3),1) $
poi ho svolto l'integrale a questo modo
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) dxint_(1)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
risolvendo prima l'integrale in dy ho trovato che vale $ (3-x^2)/2 $
$ int_(-sqrt(3) )^(sqrt(3) ) (3-x^2)/2 dx=2sqrt(3) $
nel caso l'insieme A fosse stato $ A={(x,y):0<=x;0<=y<=1;x^2+y^2<=4 } $
andrebbero risolti 2 integrali doppi con dominio d'integrazione differente (rettangolo e "triangolino arcuato") e poi sommare il risultato, ovvero
calcolo prima l'integrale doppio
$ int_(0)^(sqrt(3) ) dx int_(0)^(1) ydy $
poi mi calcolo
$ int_(sqrt(3) )^(2) dx int_(0)^(sqrt(4-x^2) ) ydy $
sommo i risultati ottenuti e trovo l'area dal testo richiesta, giusto ?
Risposte
Ciusto!
grazie, per via delle mie lacune una conferma da gente più capace mi rassicura sempre 
1)
$ int int_(D)^() 1/(x+y) dx dy $ con $ D={(x,y):0<=y<=x;1<=x<=2 } $
$ int_(1)^(2) dxint_(0)^(x) 1/(x+y)dy=int_(1)^(2) (1/x)dx+int_(0)^(x) (1/y)dy $
$ int_(0)^(x) (1/y)dy=logx-1 $
$ int_(1)^(2) (1/x+logx-1)dx=[[logx+xlogx-1-x]^1]^2=3log2-3-(2log1-2)=3log2-1 $
2)
$ int int_(A)^() (x^2-y^2) dx dy $ con $ A={(x,y): x^2-y^2<=0;0<=y<=1 } $
salvo errori, l'area che mi devo calcolare con l'integrale doppio, a me risulta il triangolo formato dalle due bisettrici $ y=+-x $ e la retta $ y=1 $
$ int_(-1)^(0) x^2dx+int_(-x)^(1) -y^2dy $
$ int_(-x)^(1) -y^2dy=-1/3+x^3/3 $
$ int_(-1)^(0) (x^2-1/3+x^3/3)dx=-1/3+1/3+1/12=1/12 $
ora dato che la mia figura è simmetrica basta moltiplicare per 2 e trovo l'area richiesta dal testo, ovvero 1/6...giusto ?
3)
$ int int_(C)^() xsinx^2sin(y) dx dy $ con $ C={(x,y):0<=x<=1;0<=y<=x^2 } $
$ int_(0)^(1) xsinx^2dxint_(0)^(x^2) sin(y)dy $
$ int_(0)^(x^2) sin(y)dy=cosx^2-1 $
$ int_(0)^(1) xsinx^2cosx^2-xsinx^2dx= int_(0)^(1) xsinx^2(cosx^2-1)dx $
e qui mi sono bloccato, ho provato diverse strade...ma non riesco a capire come andare avanti...
$ int int_(D)^() 1/(x+y) dx dy $ con $ D={(x,y):0<=y<=x;1<=x<=2 } $
$ int_(1)^(2) dxint_(0)^(x) 1/(x+y)dy=int_(1)^(2) (1/x)dx+int_(0)^(x) (1/y)dy $
$ int_(0)^(x) (1/y)dy=logx-1 $
$ int_(1)^(2) (1/x+logx-1)dx=[[logx+xlogx-1-x]^1]^2=3log2-3-(2log1-2)=3log2-1 $
2)
$ int int_(A)^() (x^2-y^2) dx dy $ con $ A={(x,y): x^2-y^2<=0;0<=y<=1 } $
salvo errori, l'area che mi devo calcolare con l'integrale doppio, a me risulta il triangolo formato dalle due bisettrici $ y=+-x $ e la retta $ y=1 $
$ int_(-1)^(0) x^2dx+int_(-x)^(1) -y^2dy $
$ int_(-x)^(1) -y^2dy=-1/3+x^3/3 $
$ int_(-1)^(0) (x^2-1/3+x^3/3)dx=-1/3+1/3+1/12=1/12 $
ora dato che la mia figura è simmetrica basta moltiplicare per 2 e trovo l'area richiesta dal testo, ovvero 1/6...giusto ?
3)
$ int int_(C)^() xsinx^2sin(y) dx dy $ con $ C={(x,y):0<=x<=1;0<=y<=x^2 } $
$ int_(0)^(1) xsinx^2dxint_(0)^(x^2) sin(y)dy $
$ int_(0)^(x^2) sin(y)dy=cosx^2-1 $
$ int_(0)^(1) xsinx^2cosx^2-xsinx^2dx= int_(0)^(1) xsinx^2(cosx^2-1)dx $
e qui mi sono bloccato, ho provato diverse strade...ma non riesco a capire come andare avanti...
Il primo: AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH!!!! Ma come ti viene di scrivere che [tex]$\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}$[/tex]? Ti pare che [tex]$\frac{1}{2+3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}$[/tex]????
infatti è stato un errore di trascrizione...se guardi successivamente faccio la somma...non il prodotto...
Nemmeno mi risulta $1/(x + y) = 1/x + 1/y$!
vero... 
potevo farlo se era $ 1/(xy) $
allora dovrebbe venire così, almeno credo
$ int_(0)^(x) 1/(x+y)dy =log2x-logx $ ???
potevo farlo se era $ 1/(xy) $ allora dovrebbe venire così, almeno credo
$ int_(0)^(x) 1/(x+y)dy =log2x-logx $ ???
Sì, adesso torna.
il 2) è corretta l'interpretazione geometrica che ho dato al dominio d'integrazione...e quindi il risultato che basta farlo per metà figura e moltiplicare per 2...??
attenzione nel secondo, puoi fare quel ragionamento solo se valgono 2 punti:
1) il dominio è simmetrico rispetto ad un asse
2) rispetto a quest'asse, pure la funzione integranda è simmetrica
quindi secondo te è giusto o no?
ps: ne approfitto per salutare ciampax
1) il dominio è simmetrico rispetto ad un asse
2) rispetto a quest'asse, pure la funzione integranda è simmetrica
quindi secondo te è giusto o no?
ps: ne approfitto per salutare ciampax
beh...da come hai posto la risposta penso che tu mi stia invitando a trovare l'errore...
però riguardandola la rifarei così...ovvero...io come ho scritto prima ho disegnato un'area (quella da calcolare) che è compresa tra le due bisettrici y=+-x e la retta y=1
invece di spezzare l'integrale in 2 parti...sfruttavo la simmetria rispetto all'asse y della mia figura...e moltiplicavo per 2
se spezzassi l'integrale in 2 la funzione integranda sarebbe la solita, sicuramente cambierebbe qualche segno...ma se le due aree sono uguali credo che otterrei il solito risultato...
poi ovviamente è come l'avrei risolto io, ma i dubbi ce li ho, altrimenti non avrei postato l'esercizio...
però riguardandola la rifarei così...ovvero...io come ho scritto prima ho disegnato un'area (quella da calcolare) che è compresa tra le due bisettrici y=+-x e la retta y=1
invece di spezzare l'integrale in 2 parti...sfruttavo la simmetria rispetto all'asse y della mia figura...e moltiplicavo per 2
se spezzassi l'integrale in 2 la funzione integranda sarebbe la solita, sicuramente cambierebbe qualche segno...ma se le due aree sono uguali credo che otterrei il solito risultato...
poi ovviamente è come l'avrei risolto io, ma i dubbi ce li ho, altrimenti non avrei postato l'esercizio...
?!???!??
non ho capito cosa intendi per "figura": il dominio di integrazione o la funzione da integrare?
comunque la mia domanda è volta solo a farti concentrare l'attenzione sulla simmetria della funzione: non ho detto che hai sbagliato o fatto giusto, ma ti sto solo chiedendo se hai capito quello che hai fatto. non è sufficiente dire che il dominio di integrazione è simmetrico, se non hai l'altra condizione
comunque la mia domanda è volta solo a farti concentrare l'attenzione sulla simmetria della funzione: non ho detto che hai sbagliato o fatto giusto, ma ti sto solo chiedendo se hai capito quello che hai fatto. non è sufficiente dire che il dominio di integrazione è simmetrico, se non hai l'altra condizione
Ciao. Interessa anch a me il secondo esercizio.
Io ho fatto $int_-1^0(int_-x^1(x^2-y^2)dy)dx+int_0^1(int_x^1(x^2-y^2dy)dx$, però mi torna alla fine $-1/3$
Io ho fatto $int_-1^0(int_-x^1(x^2-y^2)dy)dx+int_0^1(int_x^1(x^2-y^2dy)dx$, però mi torna alla fine $-1/3$
Io vi suggerirei, per il secondo integrale, di usare le seguenti condizioni: [tex]$-y\le x\le y,\ 0\le y\le 1$[/tex], cioè vedendo il dominio normale rispetto all'asse delle $y$. Tra l'altro non capisco come Crisso possa spezzare l'integrale in una somma ed eliminare l'integrale doppio! Poi tu parli di area: ti faccio presente che l'integrale doppio di una funzione di due variabili rappresenta il volume "algebrico" sotteso dalla superficie [tex]$z=f(x,y)$[/tex] sul dominio [tex]$D$[/tex] del piano [tex]$xOy$[/tex]. Il risultato corretto è il seguente
[tex]$\iint_A(x^2-y^2)\ dx \dy=\int_0^1\left(\int_{-y}^y (x^2-y^2)\ dx\right)\ dy=\int_0^1\left[\frac{x^3}{3}-xy^2\right]_{-y}^y\ dy=
\int_0^1\left(\frac{y^3}{3}-y^3+\frac{y^3}{3}-y^3\right)\ dy=$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 -\frac{4y^3}{3}\ dy=\left[-\frac{y^4}{3}\right]_0^1=-\frac{1}{3}$[/tex]
Vorrei farvi osservare che il risultato deve essere negativo: infatti, sul dominio in questione, vale la condizione [tex]$x^2-y^2\le 0$[/tex], per cui la funzione integranda risulta non positiva e quindi il volume, essendo il solito posto nel semispazio negativo rispetto all'asse delle $z$, deve risultare negativo.
P.S.: anche il modo in cui ha risolto Mirino va bene, anche se ti devi complicare la vita a spezzare il dominio in due.
P.P.S.: per quanto riguarda le simmetrie è ovvio che il dominio, come la funzione, risultano simmetrici rispetto all'asse delle $y$, per cui puoi considerare anche solo la parte di $A$ nel primo quadrante. Ma allora le condizioni risultano: [tex]$0\le x\le y,\ 0\le y\le 1$[/tex], oppure, se normalizziamo rispetto all'asse delle $x$, [tex]$0\le x\le 1,\ x\le y\le 1$[/tex]. In ogni caso spezzare l'integrale come ha fatto Crisso è fuori discussione.
[tex]$\iint_A(x^2-y^2)\ dx \dy=\int_0^1\left(\int_{-y}^y (x^2-y^2)\ dx\right)\ dy=\int_0^1\left[\frac{x^3}{3}-xy^2\right]_{-y}^y\ dy=
\int_0^1\left(\frac{y^3}{3}-y^3+\frac{y^3}{3}-y^3\right)\ dy=$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 -\frac{4y^3}{3}\ dy=\left[-\frac{y^4}{3}\right]_0^1=-\frac{1}{3}$[/tex]
Vorrei farvi osservare che il risultato deve essere negativo: infatti, sul dominio in questione, vale la condizione [tex]$x^2-y^2\le 0$[/tex], per cui la funzione integranda risulta non positiva e quindi il volume, essendo il solito posto nel semispazio negativo rispetto all'asse delle $z$, deve risultare negativo.
P.S.: anche il modo in cui ha risolto Mirino va bene, anche se ti devi complicare la vita a spezzare il dominio in due.
P.P.S.: per quanto riguarda le simmetrie è ovvio che il dominio, come la funzione, risultano simmetrici rispetto all'asse delle $y$, per cui puoi considerare anche solo la parte di $A$ nel primo quadrante. Ma allora le condizioni risultano: [tex]$0\le x\le y,\ 0\le y\le 1$[/tex], oppure, se normalizziamo rispetto all'asse delle $x$, [tex]$0\le x\le 1,\ x\le y\le 1$[/tex]. In ogni caso spezzare l'integrale come ha fatto Crisso è fuori discussione.
Grazie.
Grazie a tutti...purtroppo non ho potuto mai seguire un corso di analisi II per motivi personali, così come altri corsi...però è uno dei pochi esami che mi rimangono...studiando la teoria da solo spesso mi trovo in difficoltà a metterla in pratica negli esercizi...così come speculor in altri post, grazie alle vostre risposte pian piano mi accorgo delle idiozie che posso aver scritto le prime volte che affronto un argomento nuovo...e molte cose che dai libri (non uno solo) di teoria non mi eran ben chiare, postando qui degli esercizi sto cominciando a capire...
Tu lavoraci su e ogni volta che hai bisogno chiedi pure. Questo forum serve proprio a questo! 
$ int int_(D)^() xsin(x^2)sin(y) dx dxy $ con $ D={(x,y):0<=x<=1;0<=y<=x^2 } $
$ int_(0)^(1) dxint_(0)^(x^2) xsin(x^2)sin(y)dy $
risolto l'integrale rsipetto a dy ottengo
$ int_(0)^(1) xsin(x^2)cos(x^2)-xsin(x^2)dx $
ho provato a guardare se ci fosse qualche formula per semplificare i calcoli, anche raccogliendo xsinx^2...ma non riesco ad arrivare ad una soluzione...
$ int_(0)^(1) dxint_(0)^(x^2) xsin(x^2)sin(y)dy $
risolto l'integrale rsipetto a dy ottengo
$ int_(0)^(1) xsin(x^2)cos(x^2)-xsin(x^2)dx $
ho provato a guardare se ci fosse qualche formula per semplificare i calcoli, anche raccogliendo xsinx^2...ma non riesco ad arrivare ad una soluzione...
Il primo integrale risolvilo ponendo $sin(x^2)=t$. Il secondo integrale, idem.
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