Integrali di f pari e dispari su dato intervallo

[Sk_Anonymous]

Ciao
Domanda banale: Dato l integrale
$int (x^2-\pix+¥)cosnx dx $ su $[0,\pi]$, ¥ costante reale

In base a cosa si afferma che l int é nullo per n dispari? Grazie mille

[dissonance]

Chiama $I_n$ il tuo integrale e applica il cambio di variabile $x=\pi-y$. Dovresti trovare
$I_n=-I_n$ quando $n$ è dispari.

[Sk_Anonymous]

ciao dissonance

potresti dirmi qualcosa in più circa il metodo usato?

non ho ben capito.. mediante cambio di variabile, si ha che l'integrale nella nuova variabile è l'opposto di quello iniziale, per $n$ dispari.. cosa se ne deduce?

[dissonance]

Se arrivi a dimostrare che $I_n=-I_n$, hai dimostrato che $I_n=0$. Chiaro?

[Sk_Anonymous]

non riesco ad arrivarci..

[dissonance]

Prova allora a ragionare graficamente. Il primo fattore è una funzione pari rispetto all'asse $x=\pi/2$. Quand'é che l'altro fattore è dispari rispetto allo stesso asse? La risposta dovrebbe essere "per $n$ dispari", stando a quanto dici.

[Sk_Anonymous]

grazie dissonance , è proprio qui che cascavo..

credevo che il primo fattore fosse una funzione senza simmetrie rispetto a $ \pi/2$; anche se subdoravo che doveva in realtà esserlo, dato che $y=cosnx$ per n dispari risultano dispari rispetto a $ \pi/2$, e dunque solo il prodotto tra una f pari e una f dispari su $[0;\pi]$ avrebbe dato una f dispari su quest'ultimo, con integrale di conseguenza nullo .

come si arriva a notare che una f presenta simmetrie rispetto a un punto qualsiasi?

ad esempio: $y=(x^2-\pix+¥)$, come notare che è pari rispetto a $\pi/2$?

[dissonance]

Completando il quadrato

[Sk_Anonymous]

ok, in tal modo avrò una parabola con vertice esattamente in $(\pi/2;0)$. grazie