Integrali di esponenziali trigonometrici
Buongiorno a tutti,
sono un dottorando (PS.: non c'è la scelta "dottorando" tra le opzioni al momento dell'iscrizione, quindi ho messo "studente universitario") alla mia prima apparizione su questo forum, e ho un problema per la cui risoluzione, lo ammetto, non riesco a trovare una strada percorribile. Il problema in questione riguarda l'integrazione di una funzione non banale, data dal risultato della manipolazione di gaussiane: alla fine mi ritrovo ad avere qualcosa del tipo (lo scrivo più semplificato possibile)
\[ \int_0^{2\pi}\mathrm{e}^{k_1\cos\theta}\mathrm{e}^{k_2\sin\theta}\cos\theta\mathrm{d}\theta \]
Qualcuno sa indicarmi perlomeno una strada percorribile?? Ho provato ogni strada ma niente... sarebbe già qualcosa capire se sono io a non riuscire!
Grazie anticipatamente a tutti
Ruggero
sono un dottorando (PS.: non c'è la scelta "dottorando" tra le opzioni al momento dell'iscrizione, quindi ho messo "studente universitario") alla mia prima apparizione su questo forum, e ho un problema per la cui risoluzione, lo ammetto, non riesco a trovare una strada percorribile. Il problema in questione riguarda l'integrazione di una funzione non banale, data dal risultato della manipolazione di gaussiane: alla fine mi ritrovo ad avere qualcosa del tipo (lo scrivo più semplificato possibile)
\[ \int_0^{2\pi}\mathrm{e}^{k_1\cos\theta}\mathrm{e}^{k_2\sin\theta}\cos\theta\mathrm{d}\theta \]
Qualcuno sa indicarmi perlomeno una strada percorribile?? Ho provato ogni strada ma niente... sarebbe già qualcosa capire se sono io a non riuscire!
Grazie anticipatamente a tutti
Ruggero
Risposte
CIa0 Ruggero, ben venuto;
ma quei coefficienti \(k\) non possono essere utilizzati per ottenere un combinazione di seni e coseni riconducibile alla formula di addizione del seno?
ma quei coefficienti \(k\) non possono essere utilizzati per ottenere un combinazione di seni e coseni riconducibile alla formula di addizione del seno?
Se sì non vedo come...
In quei $k$ ho sintetizzato dei parametri indipendenti dalla variabile d'integrazione; a questo punto riporto il problema completo per chiarezza.
L'obiettivo è studiare l'errore commesso calcolando il gradiente di una funzione non armonica utilizzando la formula per il gradiente ricavata dall'integrale di Poisson per la sfera (in tre dimensioni); la funzione in questione è
\[f(\vec{p})=a\mathrm{e}^{-\frac{p^2}{b}}\,,\quad a,b\in\mathbb{R}^+\]
dove $\vec{p}=(x,y,z)$ è un punto nello spazio tridimensionale con $p=||\vec{p}||$, e la formula per tale gradiente è
\[\nabla_\text{P}f(\vec{c})=\frac{1}{4\pi}\int_0^\pi\sin\varphi\int_0^{2\pi}\nabla P(\vec{c},\vec{\bar p})f(\vec{\bar p})\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\]
con $\vec{c}$ centro della sfera su cui viene calcolato l'integrale, $\nabla P(\vec{c},\vec{\bar p})$ gradiente del nucleo di Poisson valutato nel centro, dato da
\[\nabla P(\vec{c},\vec{\bar p})=\frac{3}{r}\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi\\
\cos\varphi\end{pmatrix}\]
con $r$ raggio della sfera, ed $f(\vec{\bar p})$ valore della funzione nel generico punto $\vec{\bar p}$ sulla superficie della sfera:
\[f(\vec{\bar p})=a\mathrm{e}^{-\frac{c^2+r^2+2r(x_c\cos\theta\sin\varphi+y_c\sin\theta\sin\varphi+z_c\cos\varphi)}{b}}\]
In conclusione quello che devo risolvere è l'integrale doppio (inteso elemento per elemento):
\[\nabla_\text{P}f(\vec{c})=\frac{3a\mathrm{e}^d}{4\pi r}\int_0^\pi\sin\varphi\int_0^{2\pi}\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi\\
\cos\varphi\end{pmatrix}\mathrm{e}^{g_x\cos\theta\sin\varphi}\mathrm{e}^{g_y\sin\theta\sin\varphi}\mathrm{e}^{g_z\cos\varphi}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\]
dove
\begin{align}d&=-\frac{c^2+r^2}{b}\\
g_x&=-\frac{2r}{b}x_c\\
g_y&=-\frac{2r}{b}y_c\\
g_z&=-\frac{2r}{b}z_c\end{align}
Qualcuno riuscirebbe a darmi qualche idea?
In quei $k$ ho sintetizzato dei parametri indipendenti dalla variabile d'integrazione; a questo punto riporto il problema completo per chiarezza.
L'obiettivo è studiare l'errore commesso calcolando il gradiente di una funzione non armonica utilizzando la formula per il gradiente ricavata dall'integrale di Poisson per la sfera (in tre dimensioni); la funzione in questione è
\[f(\vec{p})=a\mathrm{e}^{-\frac{p^2}{b}}\,,\quad a,b\in\mathbb{R}^+\]
dove $\vec{p}=(x,y,z)$ è un punto nello spazio tridimensionale con $p=||\vec{p}||$, e la formula per tale gradiente è
\[\nabla_\text{P}f(\vec{c})=\frac{1}{4\pi}\int_0^\pi\sin\varphi\int_0^{2\pi}\nabla P(\vec{c},\vec{\bar p})f(\vec{\bar p})\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\]
con $\vec{c}$ centro della sfera su cui viene calcolato l'integrale, $\nabla P(\vec{c},\vec{\bar p})$ gradiente del nucleo di Poisson valutato nel centro, dato da
\[\nabla P(\vec{c},\vec{\bar p})=\frac{3}{r}\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi\\
\cos\varphi\end{pmatrix}\]
con $r$ raggio della sfera, ed $f(\vec{\bar p})$ valore della funzione nel generico punto $\vec{\bar p}$ sulla superficie della sfera:
\[f(\vec{\bar p})=a\mathrm{e}^{-\frac{c^2+r^2+2r(x_c\cos\theta\sin\varphi+y_c\sin\theta\sin\varphi+z_c\cos\varphi)}{b}}\]
In conclusione quello che devo risolvere è l'integrale doppio (inteso elemento per elemento):
\[\nabla_\text{P}f(\vec{c})=\frac{3a\mathrm{e}^d}{4\pi r}\int_0^\pi\sin\varphi\int_0^{2\pi}\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi\\
\cos\varphi\end{pmatrix}\mathrm{e}^{g_x\cos\theta\sin\varphi}\mathrm{e}^{g_y\sin\theta\sin\varphi}\mathrm{e}^{g_z\cos\varphi}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\]
dove
\begin{align}d&=-\frac{c^2+r^2}{b}\\
g_x&=-\frac{2r}{b}x_c\\
g_y&=-\frac{2r}{b}y_c\\
g_z&=-\frac{2r}{b}z_c\end{align}
Qualcuno riuscirebbe a darmi qualche idea?
Scusa, ma se devi stimare l'errore non ti conviene stimare quell'integrale? 
Ciao, scusa in che senso intendi? Io volevo arrivare ad avere un'espressione analitica da confrontare con quella del gradiente calcolato derivando direttamente la funzione originaria...
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