Integrali delle funzioni razionali fratte. Che metodo è questo?
Ciao a tutti, riguardando dei miei vecchi appunti di Analisi 1, mi sono ritrovato ad una cosa che il mio esercitatore aveva fatto per gli integrali delle funzioni razionali fratte. Il mio esercitatore ci aveva detto un metodo per evitare il classico sistema per trovare i valori di $ A,B,C... $ . L'unico problema è che non capisco di che metodo si tratti e se si può fare sempre.
Lui ha fatto un esempio, ora lo metto qui.
Calcolare $ \int (dx)/(x(x-1)^2) $
si ha
$ x=0 $ molteplicità 1, quindi una frazione
$ (x-1)^2=0 \to x=1 $ molteplicità 2, quindi 2 frazioni
$ (1)/(x(x-1)^2)=(A)/(x)+(B)/(x-1)+(C)/((x-1)^2) $
ora il mio esercitatore per ricavare i valori di A,B,C, fa in questo modo
per ricavare $A$ moltiplichiamo ambo i membri per il suo denominatore ed otteniamo
$ (1)/((x-1)^2)=A+x ((B)/(x-1)+(C)/((x-1)^2)) $
diamo alla $x$ un valore, per esempio $x=0$ ed otteniamo
$ 1=A\to A=1 $
Poi procede in egual modo anche per gli altri valori B, C..
$ (1)/(x)=A/x (x-1)^2+B(x-1)+C \to x=1 \to C=1 $
$ (1)/(x(x-1))=A/x+B+(C)/(x-1)\to x=2\to ... \to B=-1 $
quindi conclude l'esercizio
$ \int 1/x-(1)/(x-1)+(1)/((x-1)^2)dx =\ln|x|-\ln|x-1|-(1)/(x-1)+c $
Ho capito il suoi passaggi, ma ora a distanza di qualche anno, non ho ancora capito, come si chiama questo metodo e se si può usare sempre.
Lui ha fatto un esempio, ora lo metto qui.
Calcolare $ \int (dx)/(x(x-1)^2) $
si ha
$ x=0 $ molteplicità 1, quindi una frazione
$ (x-1)^2=0 \to x=1 $ molteplicità 2, quindi 2 frazioni
$ (1)/(x(x-1)^2)=(A)/(x)+(B)/(x-1)+(C)/((x-1)^2) $
ora il mio esercitatore per ricavare i valori di A,B,C, fa in questo modo
per ricavare $A$ moltiplichiamo ambo i membri per il suo denominatore ed otteniamo
$ (1)/((x-1)^2)=A+x ((B)/(x-1)+(C)/((x-1)^2)) $
diamo alla $x$ un valore, per esempio $x=0$ ed otteniamo
$ 1=A\to A=1 $
Poi procede in egual modo anche per gli altri valori B, C..
$ (1)/(x)=A/x (x-1)^2+B(x-1)+C \to x=1 \to C=1 $
$ (1)/(x(x-1))=A/x+B+(C)/(x-1)\to x=2\to ... \to B=-1 $
quindi conclude l'esercizio
$ \int 1/x-(1)/(x-1)+(1)/((x-1)^2)dx =\ln|x|-\ln|x-1|-(1)/(x-1)+c $
Ho capito il suoi passaggi, ma ora a distanza di qualche anno, non ho ancora capito, come si chiama questo metodo e se si può usare sempre.
Risposte
Si chiama scomposizione in fratti semplici.
Usandola si dimostra che tutte le funzioni razionali reali sono elementarmente integrabili.
La tecnica di calcolo per ricavare i coefficienti è una cosa standard ed usa la continuità (si usa pure per il calcolo dei residui di funzioni razionali complesse, tanto per dire).
Usandola si dimostra che tutte le funzioni razionali reali sono elementarmente integrabili.
La tecnica di calcolo per ricavare i coefficienti è una cosa standard ed usa la continuità (si usa pure per il calcolo dei residui di funzioni razionali complesse, tanto per dire).
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