Integrali, cosa sto calcolando?
Ciao a tutti, sono nuovo del forum, quindi perdonatemi se non conosco ancora bene le regole!
Sto studiando in analisi II i vari integrali:
- integrali di linea (o integrali curvilinei);
- integrali di superficie ( o integrali superficiali);
- integrali doppi;
- integrali tripli
- integrali di forme differenziali
Geometricamente cosa sto calcolando? Ho un vaga idea di quello che sto facendo ma non ne sono affatto certo:
Integrale di linea: data una curva calcolo l'area al di sotto questa curva che contrariamente ad un integrale normale si muove in R^3, se sto integrando 1, altrimenti sto calcolando il lavoro che serve a spostare una particella dal punto iniziale a quello finale. Come si collegano queste due cose? mi sembrano parecchio lontane l'una dall'altra!
Integrale di superficie: data una superficie calcolo il volume al di sotto di essa, grossomodo come per l'integrale di linea, ma a due dimensioni, se sto integrando 1, altrimenti, beh a questo non mi so dare una spiegazione.
integrale doppio: data una funzione sto calcolando il volume al di sotto di questa funzione (stessa cosa dell'integrale di superficie?
Integrale triplo: se integro 1 sto calcolando il volume del mio dominio, altrimenti sto calcolando un "volume" in R^4.
integrale di forma differenziale: è praticamente un integrale di linea, ma su un campo vettoriale.
cosa c'è di giusto, e soprattutto cosa c'è di sbagliato in quello che ho scritto?
Sto studiando in analisi II i vari integrali:
- integrali di linea (o integrali curvilinei);
- integrali di superficie ( o integrali superficiali);
- integrali doppi;
- integrali tripli
- integrali di forme differenziali
Geometricamente cosa sto calcolando? Ho un vaga idea di quello che sto facendo ma non ne sono affatto certo:
Integrale di linea: data una curva calcolo l'area al di sotto questa curva che contrariamente ad un integrale normale si muove in R^3, se sto integrando 1, altrimenti sto calcolando il lavoro che serve a spostare una particella dal punto iniziale a quello finale. Come si collegano queste due cose? mi sembrano parecchio lontane l'una dall'altra!
Integrale di superficie: data una superficie calcolo il volume al di sotto di essa, grossomodo come per l'integrale di linea, ma a due dimensioni, se sto integrando 1, altrimenti, beh a questo non mi so dare una spiegazione.
integrale doppio: data una funzione sto calcolando il volume al di sotto di questa funzione (stessa cosa dell'integrale di superficie?
Integrale triplo: se integro 1 sto calcolando il volume del mio dominio, altrimenti sto calcolando un "volume" in R^4.
integrale di forma differenziale: è praticamente un integrale di linea, ma su un campo vettoriale.
cosa c'è di giusto, e soprattutto cosa c'è di sbagliato in quello che ho scritto?
Risposte
Stamattina sono andato all'università a chiedere alla mia professoressa l'interpretazione geometrica dell'integrale di linea, facendole anche l'esempio $ f(x,y)=0 $ su una curva qualsiasi nello spazio. Mi ha spiegato che l'esempio è fondamentalmente sbagliato perchè io sto cercando di calcolare una curva di $ R^3 $ su una funzione a 2 variabili reali la qual cosa non è fattibile. A questo punto risulta ovvio che l'integrale faccia zero anche con l'interpretazione geometrica di "area sotto la curva" (ovviamente solo nell'ipotesi che la funzione calcolata sulla curva sia positiva). A questo punto presumo che per gli integrali di superficie valga un qualcosa di molto simile: quello che calcolo è il volume tra le due curve, quella sulla quale sto calcolando l'integrale e la funzione, stavolta $ f(x,y,z) $, calcolata sulla curva (con una ipotesi analoga a quella precedente). Che ne pensi?
Ho letto, ma sinceramente non l'ho trovata molto utile dato che a stento so che $ i^2=-1 $ (scherzo ovviamente, ma gli integrali in campo complesso non li ho mai visti). Per quanto riguarda il libro, cercherò di procurarmelo!
Per qualsiasi dubbio o incertezza ricorda che puoi chiedere a me, saprò certamente risponderti in modo esaustivo!
"dissonance":
interpretazione-geometrica-integrazione-in-campo-complesso-t47663.html
qui si parla dell'integrale in campo complesso ma è grosso modo la stessa cosa. Il libro di Needham citato lì ha (mi pare) anche un capitolo dedicato alle forme differenziali nel piano e alla loro interpretazione geometrica. Inoltre è MOLTO più leggibile dell'articolo di arXiv, che è rivolto ad un pubblico di professionisti. Prova a buttare un occhio lì.
Ho letto, ma sinceramente non l'ho trovata molto utile dato che a stento so che $ i^2=-1 $ (scherzo ovviamente, ma gli integrali in campo complesso non li ho mai visti). Per quanto riguarda il libro, cercherò di procurarmelo!
"dissonance":
Scusa se non ti aiuto maggiormente ma purtroppo ho molto da fare con la tesi.
Per qualsiasi dubbio o incertezza ricorda che puoi chiedere a me, saprò certamente risponderti in modo esaustivo!
"pazkowski":
Stamattina sono andato all'università a chiedere alla mia professoressa l'interpretazione geometrica dell'integrale di linea, facendole anche l'esempio $ f(x,y)=0 $ su una curva qualsiasi nello spazio. Mi ha spiegato che l'esempio è fondamentalmente sbagliato perchè io sto cercando di calcolare una curva di $ R^3 $ su una funzione a 2 variabili reali la qual cosa non è fattibile. A questo punto risulta ovvio che l'integrale faccia zero anche con l'interpretazione geometrica di "area sotto la curva" (ovviamente solo nell'ipotesi che la funzione calcolata sulla curva sia positiva). A questo punto presumo che per gli integrali di superficie valga un qualcosa di molto simile: quello che calcolo è il volume tra le due curve, quella sulla quale sto calcolando l'integrale e la funzione, stavolta $ f(x,y,z) $, calcolata sulla curva (con una ipotesi analoga a quella precedente). Che ne pensi?
Te l'ho già detto, non amo questo tipo di interpretazioni. Ma se a te piace e se te lo ha detto la prof, fai pure.
Beh per capire una formula matematica è sempre bene avere un idea intuitiva che ti permetta di capire ciò che stai facendo a grandi linee. Poi pian piano ci si allontana da questa interpretazione e lo si capisce più a fondo, ma per iniziare è ottimo.
Mi sono ricordato di averti fatto una domanda alla quale poi non mi hai dato una risposta precisa, cosa cambia tra integrale curvilineo di una funzione e di una forma differenziale? perchè il primo non dipende dal verso scelto mentre il secondo si? non riesco a trovare un collegamento preciso tra l'uno e l'altro
Mi sono ricordato di averti fatto una domanda alla quale poi non mi hai dato una risposta precisa, cosa cambia tra integrale curvilineo di una funzione e di una forma differenziale? perchè il primo non dipende dal verso scelto mentre il secondo si? non riesco a trovare un collegamento preciso tra l'uno e l'altro
Mi scuso con Dissonance se intervengo, ma, visto che mi sono trovato negli ultimi tempi ad affrontare lo stesso argomento e mi sono fatto due calcoletti proprio per dimostrare a me stesso quanto chiede Pazkowski, mi permetto di cercare di contribuire... Se dico delle stupidate prego chi le noti di correggerle...
Il primo integrale non dipende dall'orientazione della curva $\gamma$ perché, chiamata \(\mathbf{r}(t):[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^3\) una parametrizzazione della curva e $\mathbf{r}(t(\tau))=\bar\mathbf{r}(\tau): [c,d]\rightarrow \mathbb{R}^3$ dove \(t(\tau):[c,d]\rightarrow[a,b], t\in C^1([c,d])\) è le funzione che rappresenta appunto il cambio di parametrizzazione (con $t'(\tau)$ sempre non negativa oppure sempre non positiva per definizione, perché $t(\tau)$ è invertibile su $[c,d]$ e quindi strettamente monotona), l'integrale curvilineo di prima specie è appunto
$\int_{\gamma} f \text{d}s=\int_{c}^{d} f(\bar\mathbf{r}(\tau))||\frac{\text{d}\bar\mathbf{r}(\tau)}{\text{d}\tau}||\text{d}\tau=\int_{c}^{d} f(\mathbf{r}(t(\tau)))||\frac{\text{d}\mathbf{r}(t(\tau))}{\text{d}t}|| |t'(\tau)| \text{d}\tau$
$=\text{sgn}(t'(\tau))\int_{c}^{d} f(\mathbf{r}(t(\tau)))||\frac{\text{d}\mathbf{r}(t(\tau))}{\text{d}t}|| t'(\tau) \text{d}\tau=\text{sgn}(t'(\tau))\int_{t(c)}^{t(d)} f(\mathbf{r}(t))||\mathbf{r}'(t)|| \text{d}t=\int_{a}^{b} f(\bar\mathbf{r}(t))||\mathbf{r}'(t)||\text{d}t$
dove se $\text{sgn}(t'(\tau))$ è positivo allora $t(c)=a$ (il minimo di $[a,b]$) e $t(d)=b$, se il segno è negativo si invertono gli estremi dell'integrale e sappiamo che $-\int_{b}^{a}g\text{d}t=\int_{a}^{b}g\text{d}t$.
Chiamando allo stesso modo la parametrizzazione, l'integrale di una forma differenziale è invece
$\int_{\gamma}\mathbf{F}·\text{d}\mathbf{r}=\int_{\gamma}F_1\text{d}x+F_2\text{d}y+F_n\text{d}z=\int_{c}^{d} \mathbf{F}(\bar\mathbf{r}(\tau))·\frac{\text{d}\bar\mathbf{r}(\tau)}{\text{d}\tau}\text{d}\tau=\int_{c}^{d} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t(\tau)))·\frac{\text{d}\mathbf{r}(t(\tau))}{\text{d}t}t'(\tau)\text{d}\tau$
$=\int_{t(c)}^{t(d)} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))·\mathbf{r}'(t)\text{d}t$. Quindi se $t'(\tau)$ è crescente $t(c)=a$ e $t(d)=b$, se è decrescente $t(c)=b$ e $t(d)=a$ e quindi invertendo gli estremi di integrazione l'integrale cambia segno.
L'interpretazione fisica è che il lavoro compiuto da un campo di forze che sposta una particella da $\mathbf{r}(a)$ a $\mathbf{r}(b)$ è inverso a quello compiuto da $\mathbf{r}(b)$ a $\mathbf{r}(a)$. Al contrario con un integrale curvilineo di prima specie puoi calcolare, data la densità $\rho$ in funzione della posizione $\mathbf{r}$, per esempio la massa -che non cambia a seconda di dove parti per calcolarla- $\int_{\gamma}\rho\text{d}s$ di un filo ideale con estremi in $\mathbf{r}(a)$ e $\mathbf{r}(b)$.
Questa è la mia comprensione della faccenda, che spero non sia sbagliata...
Il primo integrale non dipende dall'orientazione della curva $\gamma$ perché, chiamata \(\mathbf{r}(t):[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^3\) una parametrizzazione della curva e $\mathbf{r}(t(\tau))=\bar\mathbf{r}(\tau): [c,d]\rightarrow \mathbb{R}^3$ dove \(t(\tau):[c,d]\rightarrow[a,b], t\in C^1([c,d])\) è le funzione che rappresenta appunto il cambio di parametrizzazione (con $t'(\tau)$ sempre non negativa oppure sempre non positiva per definizione, perché $t(\tau)$ è invertibile su $[c,d]$ e quindi strettamente monotona), l'integrale curvilineo di prima specie è appunto
$\int_{\gamma} f \text{d}s=\int_{c}^{d} f(\bar\mathbf{r}(\tau))||\frac{\text{d}\bar\mathbf{r}(\tau)}{\text{d}\tau}||\text{d}\tau=\int_{c}^{d} f(\mathbf{r}(t(\tau)))||\frac{\text{d}\mathbf{r}(t(\tau))}{\text{d}t}|| |t'(\tau)| \text{d}\tau$
$=\text{sgn}(t'(\tau))\int_{c}^{d} f(\mathbf{r}(t(\tau)))||\frac{\text{d}\mathbf{r}(t(\tau))}{\text{d}t}|| t'(\tau) \text{d}\tau=\text{sgn}(t'(\tau))\int_{t(c)}^{t(d)} f(\mathbf{r}(t))||\mathbf{r}'(t)|| \text{d}t=\int_{a}^{b} f(\bar\mathbf{r}(t))||\mathbf{r}'(t)||\text{d}t$
dove se $\text{sgn}(t'(\tau))$ è positivo allora $t(c)=a$ (il minimo di $[a,b]$) e $t(d)=b$, se il segno è negativo si invertono gli estremi dell'integrale e sappiamo che $-\int_{b}^{a}g\text{d}t=\int_{a}^{b}g\text{d}t$.
Chiamando allo stesso modo la parametrizzazione, l'integrale di una forma differenziale è invece
$\int_{\gamma}\mathbf{F}·\text{d}\mathbf{r}=\int_{\gamma}F_1\text{d}x+F_2\text{d}y+F_n\text{d}z=\int_{c}^{d} \mathbf{F}(\bar\mathbf{r}(\tau))·\frac{\text{d}\bar\mathbf{r}(\tau)}{\text{d}\tau}\text{d}\tau=\int_{c}^{d} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t(\tau)))·\frac{\text{d}\mathbf{r}(t(\tau))}{\text{d}t}t'(\tau)\text{d}\tau$
$=\int_{t(c)}^{t(d)} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))·\mathbf{r}'(t)\text{d}t$. Quindi se $t'(\tau)$ è crescente $t(c)=a$ e $t(d)=b$, se è decrescente $t(c)=b$ e $t(d)=a$ e quindi invertendo gli estremi di integrazione l'integrale cambia segno.
L'interpretazione fisica è che il lavoro compiuto da un campo di forze che sposta una particella da $\mathbf{r}(a)$ a $\mathbf{r}(b)$ è inverso a quello compiuto da $\mathbf{r}(b)$ a $\mathbf{r}(a)$. Al contrario con un integrale curvilineo di prima specie puoi calcolare, data la densità $\rho$ in funzione della posizione $\mathbf{r}$, per esempio la massa -che non cambia a seconda di dove parti per calcolarla- $\int_{\gamma}\rho\text{d}s$ di un filo ideale con estremi in $\mathbf{r}(a)$ e $\mathbf{r}(b)$.
Questa è la mia comprensione della faccenda, che spero non sia sbagliata...
@Davide: Esatto, grazie, io proprio questo intendevo parlando di "interpretazione fisica". Queste sono le maniere più vivide di vedere gli integrali di questo genere, non le aree sotto le curve.
Grazie a te, Dissonance, adesso sono sicuro che ciò di cui mi ero convinto è corretto!
@Davide: Sei stato chiarissimo!
la mia era più che altro una curiosità, perchè non riuscivo a credere che l'integrale curvilineo non avesse un interpretazione geometrica! per quanto riguarda l'integrale di una forma differenziale penso che mi limiterò all'interpretazione fisica, soprattutto perchè non ho un'interpretazione geometrica (a dire il vero nemmeno fisica) della forma differenziale stessa.
"dissonance":
@Davide: Esatto, grazie, io proprio questo intendevo parlando di "interpretazione fisica". Queste sono le maniere più vivide di vedere gli integrali di questo genere, non le aree sotto le curve.
la mia era più che altro una curiosità, perchè non riuscivo a credere che l'integrale curvilineo non avesse un interpretazione geometrica! per quanto riguarda l'integrale di una forma differenziale penso che mi limiterò all'interpretazione fisica, soprattutto perchè non ho un'interpretazione geometrica (a dire il vero nemmeno fisica) della forma differenziale stessa.
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