Integrali, cosa sto calcolando?
Ciao a tutti, sono nuovo del forum, quindi perdonatemi se non conosco ancora bene le regole!
Sto studiando in analisi II i vari integrali:
- integrali di linea (o integrali curvilinei);
- integrali di superficie ( o integrali superficiali);
- integrali doppi;
- integrali tripli
- integrali di forme differenziali
Geometricamente cosa sto calcolando? Ho un vaga idea di quello che sto facendo ma non ne sono affatto certo:
Integrale di linea: data una curva calcolo l'area al di sotto questa curva che contrariamente ad un integrale normale si muove in R^3, se sto integrando 1, altrimenti sto calcolando il lavoro che serve a spostare una particella dal punto iniziale a quello finale. Come si collegano queste due cose? mi sembrano parecchio lontane l'una dall'altra!
Integrale di superficie: data una superficie calcolo il volume al di sotto di essa, grossomodo come per l'integrale di linea, ma a due dimensioni, se sto integrando 1, altrimenti, beh a questo non mi so dare una spiegazione.
integrale doppio: data una funzione sto calcolando il volume al di sotto di questa funzione (stessa cosa dell'integrale di superficie?
Integrale triplo: se integro 1 sto calcolando il volume del mio dominio, altrimenti sto calcolando un "volume" in R^4.
integrale di forma differenziale: è praticamente un integrale di linea, ma su un campo vettoriale.
cosa c'è di giusto, e soprattutto cosa c'è di sbagliato in quello che ho scritto?
Sto studiando in analisi II i vari integrali:
- integrali di linea (o integrali curvilinei);
- integrali di superficie ( o integrali superficiali);
- integrali doppi;
- integrali tripli
- integrali di forme differenziali
Geometricamente cosa sto calcolando? Ho un vaga idea di quello che sto facendo ma non ne sono affatto certo:
Integrale di linea: data una curva calcolo l'area al di sotto questa curva che contrariamente ad un integrale normale si muove in R^3, se sto integrando 1, altrimenti sto calcolando il lavoro che serve a spostare una particella dal punto iniziale a quello finale. Come si collegano queste due cose? mi sembrano parecchio lontane l'una dall'altra!
Integrale di superficie: data una superficie calcolo il volume al di sotto di essa, grossomodo come per l'integrale di linea, ma a due dimensioni, se sto integrando 1, altrimenti, beh a questo non mi so dare una spiegazione.
integrale doppio: data una funzione sto calcolando il volume al di sotto di questa funzione (stessa cosa dell'integrale di superficie?
Integrale triplo: se integro 1 sto calcolando il volume del mio dominio, altrimenti sto calcolando un "volume" in R^4.
integrale di forma differenziale: è praticamente un integrale di linea, ma su un campo vettoriale.
cosa c'è di giusto, e soprattutto cosa c'è di sbagliato in quello che ho scritto?
Risposte
C'è molto di sbagliato, quasi tutto XD
Vediamo di fare un po' di ordine!
Gli integrali singoli, doppi, tripli, n-upli... come ad esempio
\[
\int_1^2 x^2 \ dx \qquad \int_1^2 \int_{0}^{2 \pi} \rho \sin \psi \ d\rho d\psi \qquad \iiint_E f(x,y,z) \ dxdydz, \ E = \{0 \le x^2 + y^2 \le z \}
\]
sono integrali "dritti", cioè il dominio di integrazione è "un pezzo dritto", in coordinate cartesiane ortogonali, cilindriche o altro che è contenuto nell'insieme \(\mathbb R^n\) in cui integri.
In particolare, puoi vedere che il dominio di integrazione è un sottoinsieme di \(\mathbb R^n\) a misura n-dimensionale non nulla [un segmento su una retta, un cerchio in un piano, un cubo nello spazio...].
Per tutti questi valgono considerazioni uguali a quelle per il caso dell'integrale 1-D visto già alle superiori.
Cosa diversa sono gli integrali "storti", cioè quando integri una certa funzione su un dominio che è un sottoinsieme tipicamente a misura nulla [una curva nel piano, una sfera nello spazio....].
In questo caso stai sempre integrando una funzione, però ristretta ad una curva o una superficie, e questi sono gli integrali appunto detti "curvilinei" o "di superficie" e sono del tipo
\[
\int_\gamma f(x,y,z) \ dxdydz , \gamma = \{ (\sin t, \cos t, t) \ t \in I \subset \mathbb R \} \qquad \int_S g(x,y,z) \ dx dy dz, S = \{f(x,y)\}.
\]
Fin qui ti è chiaro quello che ho scritto?
L'interpretazione fisica arriva solo quando hai capito questi concetti.
Vediamo di fare un po' di ordine!
Gli integrali singoli, doppi, tripli, n-upli... come ad esempio
\[
\int_1^2 x^2 \ dx \qquad \int_1^2 \int_{0}^{2 \pi} \rho \sin \psi \ d\rho d\psi \qquad \iiint_E f(x,y,z) \ dxdydz, \ E = \{0 \le x^2 + y^2 \le z \}
\]
sono integrali "dritti", cioè il dominio di integrazione è "un pezzo dritto", in coordinate cartesiane ortogonali, cilindriche o altro che è contenuto nell'insieme \(\mathbb R^n\) in cui integri.
In particolare, puoi vedere che il dominio di integrazione è un sottoinsieme di \(\mathbb R^n\) a misura n-dimensionale non nulla [un segmento su una retta, un cerchio in un piano, un cubo nello spazio...].
Per tutti questi valgono considerazioni uguali a quelle per il caso dell'integrale 1-D visto già alle superiori.
Cosa diversa sono gli integrali "storti", cioè quando integri una certa funzione su un dominio che è un sottoinsieme tipicamente a misura nulla [una curva nel piano, una sfera nello spazio....].
In questo caso stai sempre integrando una funzione, però ristretta ad una curva o una superficie, e questi sono gli integrali appunto detti "curvilinei" o "di superficie" e sono del tipo
\[
\int_\gamma f(x,y,z) \ dxdydz , \gamma = \{ (\sin t, \cos t, t) \ t \in I \subset \mathbb R \} \qquad \int_S g(x,y,z) \ dx dy dz, S = \{f(x,y)\}.
\]
Fin qui ti è chiaro quello che ho scritto?
L'interpretazione fisica arriva solo quando hai capito questi concetti.
Sono d'accordo con Raptorista. Segnalo questo sito che contiene un sacco di figure, animazioni e applet Java molto utili:
http://mathinsight.org
http://mathinsight.org
Oggi mi sono un po' chiarito le idee sugli integrali, ma ho ancora parecchi dubbi.
Per gli integrali "diritti" penso di aver capito, anche perchè si tratta semplicemente di estendere il significato dell'integrale normale (non so se ha un nome preciso) di una funzione ad una variabile, a più variabili reali. Geometricamente si tratta sempre di fare una misura di ciò che c'è sotto una funzione, area per l'integrale di una variabile, il volume per quello a 2 variabili un volume in R^4 per quello a tre variabili (che a quanto ho letto sul sito consigliatomi dda dissonance da una sorta di densità della funzione nel volume sul quale stiamo integrando?).
Per quanto riguarda invece gli integrali "storti" il fatto si complica. Non riesco a vedere come sia possibile restringere una curva ad una funzione (o comunque un sottoinsieme a misura nulla rispetto alla funzione che integro), mi spiego (per semplicità parlo di curve in R^3 e funzinoi a due variabili):
ovviamente so come si restringe una funzione ad una curva e cosa significa, ma in questo caso stiamo parlando di una curva che si muove lungo tutte e tre le direzioni, quindi mi sembra alquanto insensato "appiattire" la mia curva sulla funzione, in questo modo perdo un dato importante! per cui l'idea che mi sono fatto oggi di un integrale di linea è che sto calcolando l'area che sta tra la curva e il grafico della mia funzione. Spiegare a parole questa cosa non è esattamente semplice. Prendiamo come curva sulla quale integrare una circonferenza che giace nel piano z=1 e centro in (0,0,1) (perdonatemi se non scrivo le formule bene ma non ho ancora ben capito come si fa e non voglio perdere troppo tempo), e integriamo la funzione z=2. Ciò che sto calcolando, a quanto ho capito, è la superficie della superficie laterale di un cilindro di raggio 1 e altezza 1, compreso tra il piano e la curva. Maccheronicamente, poichè la curva è sotto al piano il risultato dovrebbe venire negativo?
Va meglio così come interpretazione? mi sto allontanando o avvicinando? A parole do dire che sto integrando la mia funzione sulla curva, o su di una superficie, ma il mio problema è che non riesco a capire cosa significa!
p.s. come si dice forma differenziale in inglese? ho ercato su mathinsight.org ma non ho trovato niente, non dovrebbe essere differential form?
Per gli integrali "diritti" penso di aver capito, anche perchè si tratta semplicemente di estendere il significato dell'integrale normale (non so se ha un nome preciso) di una funzione ad una variabile, a più variabili reali. Geometricamente si tratta sempre di fare una misura di ciò che c'è sotto una funzione, area per l'integrale di una variabile, il volume per quello a 2 variabili un volume in R^4 per quello a tre variabili (che a quanto ho letto sul sito consigliatomi dda dissonance da una sorta di densità della funzione nel volume sul quale stiamo integrando?).
Per quanto riguarda invece gli integrali "storti" il fatto si complica. Non riesco a vedere come sia possibile restringere una curva ad una funzione (o comunque un sottoinsieme a misura nulla rispetto alla funzione che integro), mi spiego (per semplicità parlo di curve in R^3 e funzinoi a due variabili):
ovviamente so come si restringe una funzione ad una curva e cosa significa, ma in questo caso stiamo parlando di una curva che si muove lungo tutte e tre le direzioni, quindi mi sembra alquanto insensato "appiattire" la mia curva sulla funzione, in questo modo perdo un dato importante! per cui l'idea che mi sono fatto oggi di un integrale di linea è che sto calcolando l'area che sta tra la curva e il grafico della mia funzione. Spiegare a parole questa cosa non è esattamente semplice. Prendiamo come curva sulla quale integrare una circonferenza che giace nel piano z=1 e centro in (0,0,1) (perdonatemi se non scrivo le formule bene ma non ho ancora ben capito come si fa e non voglio perdere troppo tempo), e integriamo la funzione z=2. Ciò che sto calcolando, a quanto ho capito, è la superficie della superficie laterale di un cilindro di raggio 1 e altezza 1, compreso tra il piano e la curva. Maccheronicamente, poichè la curva è sotto al piano il risultato dovrebbe venire negativo?
Va meglio così come interpretazione? mi sto allontanando o avvicinando? A parole do dire che sto integrando la mia funzione sulla curva, o su di una superficie, ma il mio problema è che non riesco a capire cosa significa!
p.s. come si dice forma differenziale in inglese? ho ercato su mathinsight.org ma non ho trovato niente, non dovrebbe essere differential form?
Ok, qualcosa si sta schiarendo, vediamo di chiarire le idee.
Prendiamo un integrale "storto", ad esempio un integrale di linea dove il dominio di integrazione è una curva in \(\mathbb R^3\).
\[
\int_\Gamma x^2e^{yz} \ d\mathbf x \qquad \qquad \Gamma = \left\{\begin{pmatrix}x = \cos t \\ y = \sin t \\ z = t \end{pmatrix}, t \in [1,3] \right\}.
\]
In questo esempio ho scelto un'elica cilindrica come curva \(\Gamma\), e voglio integrare la funzione \(f(x,y,z) = x^2e^{yz}\). Il simbolo \(d\mathbf x\) lo metto come comodo per indicare che integro rispetto ad uno spostamento tridimensionale.
Inizia guardando la funzione definita su tutto il suo dominio, \(\mathbb R^3\): ad ogni punto dello spazio associa un numero, dato dalla legge di composizione.
Ora, se tu volessi integrare la funzione sul cubo \([0,1]^3\), cioè fare un integrale "dritto", quello che faresti sarebbe, molto rozzamente, percorrere tutto il cubo "retta per retta", poi "piano per piano" [che è quello che si chiama integrazione per file o per fette, cioè l'applicazione delle formule di riduzione] fino a riempire il cubo, facendo la somma di tutti i valori che la funzione assume nei vari punti del cubo. Giusto?
Quando integri su una curva fai la stessa cosa, solamente che sommi i valori che la funzione assume su quella curva; è tutto qui, e non c'è nulla di trascendentale.
Concettualmente, quello che fai è di dire alla funzione di passare solamente per i punti della curva mentre tu integri.
Analiticamente, questo si traduce nel considerare solo i punti \((x,y,z)\) che ti interessano, usando la parametrizzazione della curva:
\[
\int_\Gamma x^2e^{yz} \ d\mathbf x = \int_\Gamma x(t)^2e^{y(t)z(t)} \ d\mathbf x(t) = \int_\Gamma \cos (t)^2e^{t \sin t} \ d\mathbf x(t).
\]
Ed il differenziale?
Moralmente, devi pensare ad una cosa del tipo \(d \mathbf x(t) = \mathbf x'(t) \ dt\), e quindi introduci nell'integrale la norma di \(\mathbf x'(t)\), cioè \(\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\), che sostanzialmente misura quanto ti stai spostando per quel valore di \(t\) [analogamente a quello che fa la derivata prima che compare quando fai un'integrazione per sostituzione].
In conclusione, ottieni
\[
\int_\Gamma \cos (t)^2e^{t \sin t} \ d\mathbf x(t) = \int_1^3 \cos (t)^2e^{t \sin t} \sqrt{\sin (t)^2 + \cos (t)^2 + 1} \ dt.
\]
Quello che abbiamo calcolato si chiama "integrale di linea prima specie".
Arrivato a questo punto, spero che qualcosa ti sia più chiaro.
Per ulteriori chiarimenti, comunque, dovresti aprire un libro e studiare: troveresti spiegazioni certamente migliori delle mie a tarda notte!
Edit: correggo una formula in cui mancavano dei quadrati
Prendiamo un integrale "storto", ad esempio un integrale di linea dove il dominio di integrazione è una curva in \(\mathbb R^3\).
\[
\int_\Gamma x^2e^{yz} \ d\mathbf x \qquad \qquad \Gamma = \left\{\begin{pmatrix}x = \cos t \\ y = \sin t \\ z = t \end{pmatrix}, t \in [1,3] \right\}.
\]
In questo esempio ho scelto un'elica cilindrica come curva \(\Gamma\), e voglio integrare la funzione \(f(x,y,z) = x^2e^{yz}\). Il simbolo \(d\mathbf x\) lo metto come comodo per indicare che integro rispetto ad uno spostamento tridimensionale.
Inizia guardando la funzione definita su tutto il suo dominio, \(\mathbb R^3\): ad ogni punto dello spazio associa un numero, dato dalla legge di composizione.
Ora, se tu volessi integrare la funzione sul cubo \([0,1]^3\), cioè fare un integrale "dritto", quello che faresti sarebbe, molto rozzamente, percorrere tutto il cubo "retta per retta", poi "piano per piano" [che è quello che si chiama integrazione per file o per fette, cioè l'applicazione delle formule di riduzione] fino a riempire il cubo, facendo la somma di tutti i valori che la funzione assume nei vari punti del cubo. Giusto?
Quando integri su una curva fai la stessa cosa, solamente che sommi i valori che la funzione assume su quella curva; è tutto qui, e non c'è nulla di trascendentale.
Concettualmente, quello che fai è di dire alla funzione di passare solamente per i punti della curva mentre tu integri.
Analiticamente, questo si traduce nel considerare solo i punti \((x,y,z)\) che ti interessano, usando la parametrizzazione della curva:
\[
\int_\Gamma x^2e^{yz} \ d\mathbf x = \int_\Gamma x(t)^2e^{y(t)z(t)} \ d\mathbf x(t) = \int_\Gamma \cos (t)^2e^{t \sin t} \ d\mathbf x(t).
\]
Ed il differenziale?
Moralmente, devi pensare ad una cosa del tipo \(d \mathbf x(t) = \mathbf x'(t) \ dt\), e quindi introduci nell'integrale la norma di \(\mathbf x'(t)\), cioè \(\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\), che sostanzialmente misura quanto ti stai spostando per quel valore di \(t\) [analogamente a quello che fa la derivata prima che compare quando fai un'integrazione per sostituzione].
In conclusione, ottieni
\[
\int_\Gamma \cos (t)^2e^{t \sin t} \ d\mathbf x(t) = \int_1^3 \cos (t)^2e^{t \sin t} \sqrt{\sin (t)^2 + \cos (t)^2 + 1} \ dt.
\]
Quello che abbiamo calcolato si chiama "integrale di linea prima specie".
Arrivato a questo punto, spero che qualcosa ti sia più chiaro.
Per ulteriori chiarimenti, comunque, dovresti aprire un libro e studiare: troveresti spiegazioni certamente migliori delle mie a tarda notte!
Edit: correggo una formula in cui mancavano dei quadrati
Una piccola aggiunta. Non è che per forza l'interpretazione intuitiva di un integrale deve essere data in termini di aree sotto curve o volumi sotto superfici. Gli integrali esistono in una molteplicità di tipi diversi e non sempre conviene pensarli in quei termini: specialmente con gli integrali di linea e di superficie, questa idea diventa astrusa e difficilmente applicabile.
Piuttosto io ho trovato molto illuminanti le spiegazioni trovate sui libri di fisica, specialmente nell'ambito dell'elettromagnetismo. Ad esempio sul Lectures on Physics di Feynman, secondo volume, ci sono alcuni capitoli dedicati al calcolo vettoriale che usano immagini intuitive assolutamente geniali.
Piuttosto io ho trovato molto illuminanti le spiegazioni trovate sui libri di fisica, specialmente nell'ambito dell'elettromagnetismo. Ad esempio sul Lectures on Physics di Feynman, secondo volume, ci sono alcuni capitoli dedicati al calcolo vettoriale che usano immagini intuitive assolutamente geniali.
Ora mi è tutto un po' più chiaro, ma posso chiederti di spiegarmi meglio cosa intendi con:
"Quando integri su una curva fai la stessa cosa, solamente che sommi i valori che la funzione assume su quella curva;
Concettualmente, quello che fai è di dire alla funzione di passare solamente per i punti della curva mentre tu integri."
Purtroppo, consultando due testi, Marellini Sbordone e Pagani Salsa, non sono riuscito a trovare una spiegazione di ciò che voglio. C'è sempre la solita descrizione formale dell'integrale (la stessa che si trova dappertutto su internet) come prodotto della funzione da integrare per la norma del vettore tangente alla curva, quello che tu hai chiamato x'(t), ma non c'è una spiegazione più alla buona.
Mi sapresti spiegare come si costruisce un integrale di linea? l'integrale semplice si costruisce attraverso le somme integrali superiori e inferiori, ossia la somma delle aree base (x2-x1) per l'altezza (massimo o minimo tra f(x1) e f(x2)). Sono più che certo che esista una cosa di questo tipo, ma purtroppo non riesco a trovarla!
Se riesco a capire come si costruisce riesco a capire effettivamente cosa sto calcolando: per me dire i valori che la funzione assume sulla curva sono solo belle parole, ma non so dare loro un significato ben preciso.
Faccio un esempio:
f(x,y) = x^2 + y^2 come curva Γ, prendiamo la retta Γ = ( t, t, t) , in forma cartesiana è data dall'intersezione di z=x e z=y (lascia stare la stupidità degli esempi, non sono bravo come te)
per me i valori che f(x,y) assume sulla curva sono quelli ottenuti da f(Γ(t)) che a quanto mi risulta è una parabola. Quello che sto facendo è deformare la curva sulla funzione, e vedere cosa esce fuori.
Immagino quindi che nell'integrale di linea sto facendo qualcosa di concettualmente non troppo lontano, però non riesco a capacitarmene! Con questo integrale sto calcolando un area, quale?!
esiste l'integrale di linea di una forma differenziale che dovrebbe praticamente essere la stessa cosa, solo che è svolto in maniera differente perchè si tratta di due "oggetti" matematici diversi, è giusto? ( a proposito di forme differenziali, per capire a fondo una cosa ho bisogno di immaginarmela in qualche modo, dove posso trovare "un'idea" di forma differenziale? mi sai consigliare qualche testo? )
mi sono ridotto alle 00:26 a pensare agli integrali, con questo ho detto tutto.
"Quando integri su una curva fai la stessa cosa, solamente che sommi i valori che la funzione assume su quella curva;
Concettualmente, quello che fai è di dire alla funzione di passare solamente per i punti della curva mentre tu integri."
Purtroppo, consultando due testi, Marellini Sbordone e Pagani Salsa, non sono riuscito a trovare una spiegazione di ciò che voglio. C'è sempre la solita descrizione formale dell'integrale (la stessa che si trova dappertutto su internet) come prodotto della funzione da integrare per la norma del vettore tangente alla curva, quello che tu hai chiamato x'(t), ma non c'è una spiegazione più alla buona.
Mi sapresti spiegare come si costruisce un integrale di linea? l'integrale semplice si costruisce attraverso le somme integrali superiori e inferiori, ossia la somma delle aree base (x2-x1) per l'altezza (massimo o minimo tra f(x1) e f(x2)). Sono più che certo che esista una cosa di questo tipo, ma purtroppo non riesco a trovarla!
Se riesco a capire come si costruisce riesco a capire effettivamente cosa sto calcolando: per me dire i valori che la funzione assume sulla curva sono solo belle parole, ma non so dare loro un significato ben preciso.
Faccio un esempio:
f(x,y) = x^2 + y^2 come curva Γ, prendiamo la retta Γ = ( t, t, t) , in forma cartesiana è data dall'intersezione di z=x e z=y (lascia stare la stupidità degli esempi, non sono bravo come te)
per me i valori che f(x,y) assume sulla curva sono quelli ottenuti da f(Γ(t)) che a quanto mi risulta è una parabola. Quello che sto facendo è deformare la curva sulla funzione, e vedere cosa esce fuori.
Immagino quindi che nell'integrale di linea sto facendo qualcosa di concettualmente non troppo lontano, però non riesco a capacitarmene! Con questo integrale sto calcolando un area, quale?!
esiste l'integrale di linea di una forma differenziale che dovrebbe praticamente essere la stessa cosa, solo che è svolto in maniera differente perchè si tratta di due "oggetti" matematici diversi, è giusto? ( a proposito di forme differenziali, per capire a fondo una cosa ho bisogno di immaginarmela in qualche modo, dove posso trovare "un'idea" di forma differenziale? mi sai consigliare qualche testo? )
mi sono ridotto alle 00:26 a pensare agli integrali, con questo ho detto tutto.
Se hai il magnifico Pagani-Salsa, il mio testo di analisi preferito, allora il problema è risolto!
Attacca a leggere a pagina 37 in basso, è tutto spiegato bene; l'interpretazione che cerchi puoi vederla, ad esempio, nella figura a pagina 39.
Davvero, non è che non abbia voglia di star qui a raccontarti di integrali e forme differenziali, ma è inutile che io ti riassuma i capitoli del Pagani-Salsa quando tu non hai idea di cosa parliamo, rischio solo di fare ulteriore confusione.
In conclusione, prendi il libro [che è un libro eccellente] e segui quello che ti dice, non è difficile!
Attacca a leggere a pagina 37 in basso, è tutto spiegato bene; l'interpretazione che cerchi puoi vederla, ad esempio, nella figura a pagina 39.
Davvero, non è che non abbia voglia di star qui a raccontarti di integrali e forme differenziali, ma è inutile che io ti riassuma i capitoli del Pagani-Salsa quando tu non hai idea di cosa parliamo, rischio solo di fare ulteriore confusione.
In conclusione, prendi il libro [che è un libro eccellente] e segui quello che ti dice, non è difficile!
purtroppo sono sfortunato, ho il Marcellini Sbordone a casa, il Pagani Salsa l'ho preso un paio di volte quanto ho studiato in biblioteca, ma non l'ho comprato. A me interesserebbe anche qualche informazione sulle forme differenziali, che se non sbaglio non ci sono sul pagani salsa, me lo confermi oppure mi ricordo male? nel caso non ci siano, mi consiglieresti un libro sul quale sono spiegate bene?
Ultime cose sull'integrale curvilineo:
quello che sto facendo è sommare f(Γ(t))*ds, dove con ds indico lo spostamento infinitesimo sulla curva e con f(Γ(t)) indico la restrizione della curva a f? (si o no sono sufficienti)
inoltre mi potresti svolgere un integrale su una curva qualsiasi della funzione f(x,y)=0? per quanto mi risulta dovrebbe fare zero a prescindere dalla curva, la qual cosa non torna molto con la mia affermazione precedente, mi sbaglio? Devo arrendermi al fatto che non esiste una interpretazione geometrica ben definita per l'integrale di linea?
comunque grazie mille dell'aiuto sei stato gentilissimo!
Ultime cose sull'integrale curvilineo:
quello che sto facendo è sommare f(Γ(t))*ds, dove con ds indico lo spostamento infinitesimo sulla curva e con f(Γ(t)) indico la restrizione della curva a f? (si o no sono sufficienti)
inoltre mi potresti svolgere un integrale su una curva qualsiasi della funzione f(x,y)=0? per quanto mi risulta dovrebbe fare zero a prescindere dalla curva, la qual cosa non torna molto con la mia affermazione precedente, mi sbaglio? Devo arrendermi al fatto che non esiste una interpretazione geometrica ben definita per l'integrale di linea?
comunque grazie mille dell'aiuto sei stato gentilissimo!
Il Pagani Salsa intendi quello del 1998 edito da Masson, o il Pagani-Salsa-Bramanti?
"pazkowski":
purtroppo sono sfortunato, ho il Marcellini Sbordone a casa, il Pagani Salsa l'ho preso un paio di volte quanto ho studiato in biblioteca, ma non l'ho comprato. A me interesserebbe anche qualche informazione sulle forme differenziali, che se non sbaglio non ci sono sul pagani salsa, me lo confermi oppure mi ricordo male? nel caso non ci siano, mi consiglieresti un libro sul quale sono spiegate bene?
Ci sono, ci sono!
C'è un paragrafo intitolato "Forme differenziali lineari. Integrali di linea di seconda specie", subito dopo il pezzo che ti ho indicato io.
In realtà le forme differenziali non sono così semplici da capire, anche perché sono oggetti che non appartengono propriamente all'analisi di base [le forme differenziali sono delle generalizzazioni di funzioni, sono dei particolari tensori], e quindi non è facile che siano spiegate con chiarezza su libri di analisi 2.
"pazkowski":
Ultime cose sull'integrale curvilineo:
quello che sto facendo è sommare f(Γ(t))*ds, dove con ds indico lo spostamento infinitesimo sulla curva e con f(Γ(t)) indico la restrizione della curva a f? (si o no sono sufficienti)
Sì, è quello che succede e che ho cercato di spiegarti prima.
"pazkowski":
inoltre mi potresti svolgere un integrale su una curva qualsiasi della funzione f(x,y)=0? per quanto mi risulta dovrebbe fare zero a prescindere dalla curva, la qual cosa non torna molto con la mia affermazione precedente, mi sbaglio? Devo arrendermi al fatto che non esiste una interpretazione geometrica ben definita per l'integrale di linea?
Infatti fa zero, dov'è il problema?
"pazkowski":
comunque grazie mille dell'aiuto sei stato gentilissimo!
De nada, ora tocca a te approfondire la cosa
"lordb":
Il Pagani Salsa intendi quello del 1998 edito da Masson, o il Pagani-Salsa-Bramanti?
Quello del 1998 di Masson, che poi è stato riedito anche da Zanichelli, ma sempre rimanendo il "vero" Pagani-Salsa.
Il Bramanti-Pagani-Salsa è un libro molto diverso, pensato più per ingegneri.
"pazkowski":
( a proposito di forme differenziali, per capire a fondo una cosa ho bisogno di immaginarmela in qualche modo, dove posso trovare "un'idea" di forma differenziale? mi sai consigliare qualche testo? )
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9807044
Io penso di aver capito "matematicamente" tutti i passaggi che vengono fatti per arrivare agli integrali, capisco "matematicamente" cosa significano tutti quei simboli e se devo fare un esercizio ci riesco senza troppi problemi, ma odio fermarmi alla pura definizione matematica, devo cercare di visualizzare ciò che faccio in qualche modo.
Per l'integrale di linea la mia professoressa mi ha spiegato che ciò che faccio è calcolare l'area al di sotto della curva (un po' come viene fatto con l'integrale normale), solo che questa curva si sposta in 3 dimensioni, e la base varia secondo una funzione f(xy) (spero di aver reso l'idea, senza un disegno non è proprio facilissimo). Trovo che questa definizione sia orribile, soprattutto perchè viene smentita facilmente dall'esempio che ho fatto con f(x,y)=0. C'è un area "al di sotto della curva" (la parte verticale) che è certamente diversa da zero.
∫f(Γ(t))*||φ'(t)|| dt È sostanzialmente una somma. Fa la somma del prodotto tra la funzione calcolata sulla curva e la norma del vettore tangente. Quello che non riesco a darmi è un idea intuitiva valida dicosa rappresenta effettivamente questo prodotto. Concordemente con quanto mi ha detto la professoressa il vettore tangente potrebbe essere visto come la base infinitesima di un rettangolino. Abbastanza ragionevolmente si può pensare che l'altezza di questo rettangolino è data da f, la quale essendo calcolata su Γ risulta essere una sorta di proiezione della curva sulla funzione. Allora perchè nell'esempio che ho fatto non si ha la stessa cosa? ora due sono le possibilità: sono io che non ho capito prorpio nulla di un integrale di linea (probabile) oppure l'idea che mi ha dato la professoressa ha qualche grossa falla.
Ti ripeto che il mio problema non sono i passaggi matematici che a volte sono davvero ovvi. Il vero problema sta nel fatto che non riesco a mettermi l'anima in pace su ciò che effettivamente sto calcolando, non mi basta sapere che sto calcolando quel prodotto, voglio sapere cos'è.
Per quanto riguarda le forme differenziali ho letto un po' su internet e a meno che non mi metto a studiare covarianza, tensori e l'algebra lineare in generale per conto mio non riuscirò mai a farmi un idea di cosa sia. Purtroppo (o per fortuna, non so) faccio ingegneria (aerospaziale) quindi non so se mai studierò queste cose a fondo. Però mi sembra davvero assurdo che vengano spiegati dei concetti così avanzati senza porre prima le basi.
p.s. scusa se insisto, ma purtroppo i libri non rispondono alle domande e andare tutti i giorni a fare domande ad un professore è prima di tutto faticoso data la lontananza, ed è inoltre alquanto imbarazzante già la seconda volta, soprattutto se ciò che si vuole avere non è una spiegazione prettamente matematica, ma più intuitiva! scusa ancora per il tempo che ti sto rubando!
Per l'integrale di linea la mia professoressa mi ha spiegato che ciò che faccio è calcolare l'area al di sotto della curva (un po' come viene fatto con l'integrale normale), solo che questa curva si sposta in 3 dimensioni, e la base varia secondo una funzione f(xy) (spero di aver reso l'idea, senza un disegno non è proprio facilissimo). Trovo che questa definizione sia orribile, soprattutto perchè viene smentita facilmente dall'esempio che ho fatto con f(x,y)=0. C'è un area "al di sotto della curva" (la parte verticale) che è certamente diversa da zero.
∫f(Γ(t))*||φ'(t)|| dt È sostanzialmente una somma. Fa la somma del prodotto tra la funzione calcolata sulla curva e la norma del vettore tangente. Quello che non riesco a darmi è un idea intuitiva valida dicosa rappresenta effettivamente questo prodotto. Concordemente con quanto mi ha detto la professoressa il vettore tangente potrebbe essere visto come la base infinitesima di un rettangolino. Abbastanza ragionevolmente si può pensare che l'altezza di questo rettangolino è data da f, la quale essendo calcolata su Γ risulta essere una sorta di proiezione della curva sulla funzione. Allora perchè nell'esempio che ho fatto non si ha la stessa cosa? ora due sono le possibilità: sono io che non ho capito prorpio nulla di un integrale di linea (probabile) oppure l'idea che mi ha dato la professoressa ha qualche grossa falla.
Ti ripeto che il mio problema non sono i passaggi matematici che a volte sono davvero ovvi. Il vero problema sta nel fatto che non riesco a mettermi l'anima in pace su ciò che effettivamente sto calcolando, non mi basta sapere che sto calcolando quel prodotto, voglio sapere cos'è.
Per quanto riguarda le forme differenziali ho letto un po' su internet e a meno che non mi metto a studiare covarianza, tensori e l'algebra lineare in generale per conto mio non riuscirò mai a farmi un idea di cosa sia. Purtroppo (o per fortuna, non so) faccio ingegneria (aerospaziale) quindi non so se mai studierò queste cose a fondo. Però mi sembra davvero assurdo che vengano spiegati dei concetti così avanzati senza porre prima le basi.
p.s. scusa se insisto, ma purtroppo i libri non rispondono alle domande e andare tutti i giorni a fare domande ad un professore è prima di tutto faticoso data la lontananza, ed è inoltre alquanto imbarazzante già la seconda volta, soprattutto se ciò che si vuole avere non è una spiegazione prettamente matematica, ma più intuitiva! scusa ancora per il tempo che ti sto rubando!
"dissonance":
[quote="pazkowski"]( a proposito di forme differenziali, per capire a fondo una cosa ho bisogno di immaginarmela in qualche modo, dove posso trovare "un'idea" di forma differenziale? mi sai consigliare qualche testo? )
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9807044[/quote]
Ho letto ciò che c'è scritto ma ci ho capito poco e niente
Intanto non ti devi scusare proprio di nulla e non stai rubando tempo a nessuno. Qua si viene per discutere e non c'è obbligo di risposta. Piuttosto impara a scrivere le formule come si deve, non è difficile (basta racchiuderle tra simboli del dollaro, in ultima analisi).
Sugli integrali io ti ripeto che l'interpretazione come "area sotto la curva" non è buona. Va bene per gli integrali sugli intervalli, o sui quadrati, ma già per integrali multidimensionali non è granché e diventa terribile per integrali di linea e di superficie. Meglio pensare a interpretazioni fisiche, come integrali di lavoro o di flusso. Magari dare un'occhiata alle Lectures on Physics di Feynman o al sito MathInsight.
Comunque tieni presente che l'intuizione avanza di pari passo con la conoscenza di una materia. Continua a studiare e vedrai che le immagini intuitive si formeranno da sole.
Sugli integrali io ti ripeto che l'interpretazione come "area sotto la curva" non è buona. Va bene per gli integrali sugli intervalli, o sui quadrati, ma già per integrali multidimensionali non è granché e diventa terribile per integrali di linea e di superficie. Meglio pensare a interpretazioni fisiche, come integrali di lavoro o di flusso. Magari dare un'occhiata alle Lectures on Physics di Feynman o al sito MathInsight.
Comunque tieni presente che l'intuizione avanza di pari passo con la conoscenza di una materia. Continua a studiare e vedrai che le immagini intuitive si formeranno da sole.
"pazkowski":
[quote="dissonance"][quote="pazkowski"]( a proposito di forme differenziali, per capire a fondo una cosa ho bisogno di immaginarmela in qualche modo, dove posso trovare "un'idea" di forma differenziale? mi sai consigliare qualche testo? )
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9807044[/quote]
Ho letto ciò che c'è scritto ma ci ho capito poco e niente[/quote]
Vabbè, non ti preoccupare, quello effettivamente è un po' avanzato. Lascialo stare per adesso, riprendilo più in là.
"dissonance":
Intanto non ti devi scusare proprio di nulla e non stai rubando tempo a nessuno. Qua si viene per discutere e non c'è obbligo di risposta. Piuttosto impara a scrivere le formule come si deve, non è difficile (basta racchiuderle tra simboli del dollaro, in ultima analisi).
Grazie mille! per quanto riguarda le formule per scrivere qualcosa di più complicato come si fa? non ci sono delle istruzioni da qualche parte?
"dissonance":
Sugli integrali io ti ripeto che l'interpretazione come "area sotto la curva" non è buona. Va bene per gli integrali sugli intervalli, o sui quadrati, ma già per integrali multidimensionali non è granché e diventa terribile per integrali di linea e di superficie. Meglio pensare a interpretazioni fisiche, come integrali di lavoro o di flusso.
Mi potresti dire qual è l'idea intuitiva che hai di un integrale di linea e di una forma differenzile? Dopo un paio di giorni passati a pensare giorno e notte agli integrali curvilinei penso di essermi creato una vaga idea di cos'è, però la tua idea deve essere necessariamente più precisa, e di certo meglio pensata.
"dissonance":
Magari dare un'occhiata alle Lectures on Physics di Feynman o al sito MathInsight.
Lectures of Physics è un libro o sono delle vere e proprie lezioni? ad ogni modo dove posso trovarle?
"pazkowski":
per quanto riguarda le formule per scrivere qualcosa di più complicato come si fa? non ci sono delle istruzioni da qualche parte?
box rosa in alto come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
"pazkowski":
Grazie mille! per quanto riguarda le formule per scrivere qualcosa di più complicato come si fa? non ci sono delle istruzioni da qualche parte?
Le istruzioni sono in un post nella sezione "Questioni tecniche del forum". Ecco il link
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Mi raccomando, usa TeX e non ASCIIMathML, che sta diventando obsoleto!
"pazkowski":
Lectures of Physics è un libro o sono delle vere e proprie lezioni? ad ogni modo dove posso trovarle?
È un libro, molto famoso. In realtà sono tre libri, molto famosi
Come suggerisce il nome, sono dei libri i cui capitoli sono le trasposizioni delle lezioni di Feynman sugli stessi argomenti.
Edit: crossposting con gio73, a cui non sfugge mai nulla
sono parecchio distratto 
farò del mio meglio per imparare a scrivere le formule
Prima mi sono dimenticato di rispondere: secondo te è normale che non è mai stato insegnato cos'è un covettore, cos'è la covarianza e la controvarianza, cos'è il prodotto wedge, cos'è un fibrato e cos'è una varietà differenziale? io cosa mai posso capire se quando trovo delle spiegazioni mettono in mezzo tutte queste cose che non ho mai sentito nominare?
farò del mio meglio per imparare a scrivere le formule"dissonance":
Vabbè, non ti preoccupare, quello effettivamente è un po' avanzato. Lascialo stare per adesso, riprendilo più in là.
Prima mi sono dimenticato di rispondere: secondo te è normale che non è mai stato insegnato cos'è un covettore, cos'è la covarianza e la controvarianza, cos'è il prodotto wedge, cos'è un fibrato e cos'è una varietà differenziale? io cosa mai posso capire se quando trovo delle spiegazioni mettono in mezzo tutte queste cose che non ho mai sentito nominare?
"pazkowski":Certo, è perfettamente normale.
Prima mi sono dimenticato di rispondere: secondo te è normale che non è mai stato insegnato cos'è un covettore, cos'è la covarianza e la controvarianza, cos'è il prodotto wedge, cos'è un fibrato e cos'è una varietà differenziale?
io cosa mai posso capire se quando trovo delle spiegazioni mettono in mezzo tutte queste cose che non ho mai sentito nominare?
Ma in realtà l'idea di quell'articolo è perfettamente accessibile, solo che dovresti riuscire a leggere oltre i paroloni. Non è una impresa facile, lo so.
PS: Questo è un grosso problema con cui ho a che fare sempre pure io mentre lavoro alla tesi di laurea, per cui mi tocca studiare in mezza giornata articoli che ad una prima occhiata richiederebbero come minimo mezzo anno per accumulare tutti i prerequisiti necessari. Alla fine, in qualche modo faccio!
Comunque, ho trovato un vecchio link che somiglia un po' a questo:
interpretazione-geometrica-integrazione-in-campo-complesso-t47663.html
qui si parla dell'integrale in campo complesso ma è grosso modo la stessa cosa. Il libro di Needham citato lì ha (mi pare) anche un capitolo dedicato alle forme differenziali nel piano e alla loro interpretazione geometrica. Inoltre è MOLTO più leggibile dell'articolo di arXiv, che è rivolto ad un pubblico di professionisti. Prova a buttare un occhio lì.
Scusa se non ti aiuto maggiormente ma purtroppo ho molto da fare con la tesi.
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