Integrali con parametri

[melli13]

Al variare di $n,m in NN$, calcolare:
$\int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)sin(mx) dx$

A me viene nulla, perchè esce fuori:
$[((m+n)sen(x(n-m))-(n-m)sen(x(n+m)))/(2(n^2-m^2))]$ da valutare da $-pi$ a $pi$ e siccome il seno a $pi$ vale 0 si annulla sempre, no? però nel caso $n=m$ il denominatore si annulla ed abbiamo una forma indetreminata...come faccio per risolvere? Grazie mille....

[piero_1]

per n = m si deve calcolare

$\int_{-\pi}^{\pi} sin^2(nx) dx$

[melli13]

Quindi devo risolvere quest'altro integrale? Dalla formula generale non posso ricavarne nulla?

[melli13]

E poi scusate lo stesso problema si crea risolvendo questo:
$\int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)cos(mx) dx$
Come si può fare se $n=m$?

[gugo82]

L'integrale:
\[
\int_{-\pi}^\pi \sin nx\ \sin mx\ \text{d} x
\]
si calcola distinguendo i casi \(n=m\) ed \(n\neq m\) (qui sto assumendo \(n,m>0\), altrimenti l'integrale è nullo): nel primo caso, si fa una sostituzione e ci si riduce al calcolo del classico integrale "ciclico" \(\int \sin^2 t\ \text{d} t\); nel secondo caso, usando una formula di Werner, si vede che l'integrale è nullo.

Le formule di Werner mostrano pure che ogni integrale del tipo:
\[
\int_{-\pi}^\pi \sin nx\ \cos mx\ \text{d} x
\]
è nullo (indipendentemente dai valori di \(n,m\)).

[melli13]

Ah ho capito...allora nel caso $\int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)cos(mx) dx$ studio i due casi separati. E viene.
Ma nel caso $\int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)cos(mx) dx$ mi esce:
$[-((n+m)(cos(x(n-m)))+(n-m)cos(x(n+m)))/(2(n^2-m^2))]$ da $\-pi$ a $\pi$ che sarebbe $0/(2(n^2-m^2))$ e quindi zero se $n!=m$..
Ma nel caso $n=m$ non ho una forma indeterminata $0/0$?